8. (2025·河北)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:△ABC≌△AFD.
(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.

8. (1)$\because ∠ BAF=∠ EAD$,$\therefore ∠ BAF-∠ CAF=∠ EAD-∠ CAF$,即 $∠ BAC=∠ FAD$. 在 $△ ABC$ 和 $△ AFD$ 中,$\begin{cases}∠ BAC=∠ FAD,\\AC=AD,\\∠ ACB=∠ ADF,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{ASA})$.(2)由(1)得,$△ ABC≌△ AFD$,$\therefore AB=AF$.$\because BE=FE$,$\therefore AC⊥ BF$,即 $AC⊥ BD$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△AFD，首先梳理已知条件：已知AC=AD，∠ACB=∠ADB，结合全等三角形的ASA判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。结合给出的∠BAF=∠EAD，将两个角同时减去公共角∠CAF，可推导出∠BAC=∠FAD，刚好满足ASA判定的全部条件，即可完成全等证明。
(2) 要证明AC⊥BD，可借助第一问的全等结论推导：由全等可得AB=AF，即△ABF是等腰三角形，已知BE=FE，说明AE是等腰△ABF底边BF上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，中线同时也是底边上的高，因此AE⊥BF，即AC⊥BD。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAF=∠EAD，
∴ ∠BAF - ∠CAF = ∠EAD - ∠CAF，即∠BAC=∠FAD。
在△ABC和△AFD中：
$\begin{cases}∠BAC=∠FAD, \\AC=AD, \\∠ACB=∠ADF,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AFD（ASA）。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得AB=AF，即△ABF为等腰三角形。
∵ BE=FE，
∴ AE是等腰△ABF底边BF上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AE⊥BF。
∵ AE在AC上，BF在BD上，
∴ AC⊥BD。
【答案】
(1)$\because ∠ BAF=∠ EAD$,$\therefore ∠ BAF-∠ CAF=∠ EAD-∠ CAF$,即 $∠ BAC=∠ FAD$. 在 $△ ABC$ 和 $△ AFD$ 中,$\begin{cases}∠ BAC=∠ FAD,\\AC=AD,\\∠ ACB=∠ ADF,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{ASA})$.
(2)由(1)得,$△ ABC≌△ AFD$,$\therefore AB=AF$.$\because BE=FE$,$\therefore AC⊥ BF$,即 $AC⊥ BD$.
【知识点】
全等三角形的ASA判定、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形判定和等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过角的和差关系得到全等所需的对应角相等，再结合全等的性质得到等腰三角形，进而推导垂直关系，要求熟练掌握几何基础定理，理清证明的逻辑链条。
【难度系数】
0.7

9. (2025·福建)如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AB$的中点，$CE⊥ BC$，垂足为$C$，$EF$是由$CD$沿$CE$方向平移得到的.已知$EF$过点$A$，$BE$交$CD$于点$G$.
(1)求$∠ DCE$的度数.
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形.

9. (1)$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°$.$\because D$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$.$\because CE⊥ BC$,$\therefore ∠ BCE=90°$,$\therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°$.(2)证明:由平移可知,$CD// EF$,$\therefore ∠ EAC=∠ DCA=30°$. 又 $\because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°$,$\therefore ∠ EAC=∠ ECA$,$\therefore AE=CE$,$∠ AEC=120°$. 又 $\because AB=CB$,$\therefore BE$ 垂直平分 $AC$,$\therefore ∠ GEC=\frac{1}{2}∠ AEC=\frac{1}{2}×120°=60°$,由(1)知,$∠ GCE=60°$,$\therefore ∠ EGC=60°$,$\therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC$,$\therefore △ CEG$ 是等边三角形.

【分析】
(1)求∠DCE的度数时，先利用等边三角形三线合一的性质，结合D是AB中点得到CD平分∠ACB，算出∠DCB的度数，再根据CE⊥BC得到∠BCE=90°，用∠BCE减去∠DCB即可得到结果。
(2)证明△CEG是等边三角形，首先根据平移的性质得到CD//EF，推导角的关系得出AE=CE，再结合AB=CB推出BE垂直平分AC，得到∠GEC=60°，结合(1)中得到的∠GCE=60°，可证△CEG三个内角均为60°，即可完成判定。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵D是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴$∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴$∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=90°-30°=60°$。
(2)证明：由平移的性质可知，$CD// EF$，
∴∠EAC=∠DCA=30°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=90°-60°=30°$，
∴∠EAC=∠ECA，
∴$AE=CE$，且$∠ AEC=180°-30°-30°=120°$。
又
∵$AB=CB$，$AE=CE$，
∴点B、E都在AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴BE平分∠AEC，
∴$∠ GEC=\frac{1}{2}∠ AEC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
由(1)知∠GCE=60°，
∴在△CEG中，$∠ EGC=180°-60°-60°=60°$，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
(1)$∠ DCE=60°$；(2)△CEG是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定；平移的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练运用等边三角形、平移的相关性质推导角和线段的等量关系，侧重考查几何逻辑推理能力，适合巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.7

10. (2025·南充)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC.
(1)求证:△ABC≌△AED.
(2)求证:∠BCD=∠EDC.

10. (1)$\because ∠ BAD=∠ EAC$,$\therefore ∠ BAD-∠ CAD=∠ EAC-∠ CAD$,即 $∠ BAC=∠ EAD$. 在 $△ ABC$ 与 $△ AED$ 中,$\begin{cases}AB=AE,\\∠ BAC=∠ EAD,\\AC=AD,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$.(2)$\because AC=AD$,$\therefore ∠ ACD=∠ ADC$. 由(1)可知,$△ ABC≌△ AED$,$\therefore ∠ ACB=∠ ADE$,$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=∠ ADE+∠ ADC$,即 $∠ BCD=∠ EDC$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△AED，已知两组对应边相等AB=AE、AC=AD，只需证明两边的夹角相等即可。由已知∠BAD=∠EAC，两个角同时减去公共角∠CAD，即可得到夹角∠BAC=∠EAD，满足SAS全等判定的条件。
(2) 要证明∠BCD=∠EDC，首先由AC=AD可得等腰△ACD的两个底角∠ACD=∠ADC；再结合(1)中全等三角形对应角相等的性质，得到∠ACB=∠ADE，将两组等角分别相加即可得到待证结论。
【解析】
(1) $\because ∠BAD=∠EAC$，
$\therefore ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD$，即 $∠BAC=∠EAD$。
在 $△ ABC$ 与 $△ AED$ 中，
$\begin{cases}AB=AE,\\∠BAC=∠EAD,\\AC=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$。
(2) $\because AC=AD$，
$\therefore ∠ACD=∠ADC$。
由(1)可知，$△ ABC≌△ AED$，
$\therefore ∠ACB=∠ADE$，
$\therefore ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC$，即 $∠BCD=∠EDC$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ AED$，得证；
(2) $∠BCD=∠EDC$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是先通过已知角的等量关系推导全等所需的夹角，完成三角形全等的证明后，结合等腰三角形底角相等的性质，通过角的和差运算推导待证等角，是全等三角形与等腰三角形相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.8