登录
13. [新课标·综合与实践题]小李同学探究$\sqrt{137}$的近似值的过程如下：
因为面积为137的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
所以设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$。
画出示意图，如图所示.
根据示意图，可得图中大正方形的面积$S_{\mathrm{大正方形}}=11^2+2×11x+x^2$.
又因为$S_{\mathrm{大正方形}}=137$，所以$11^2+2×11x+x^2=137$.
由于$x^2＜1$，可忽略$x^2$，得$22x+121\approx137$，得到$x\approx0.73$，
即$\sqrt{137}=11+x\approx11.73$.
根据以上内容解决下列问题：
(1)写出$\sqrt{249}$的整数部分的值；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{249}$的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
因为面积为137的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
所以设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$。
画出示意图，如图所示.
根据示意图，可得图中大正方形的面积$S_{\mathrm{大正方形}}=11^2+2×11x+x^2$.
又因为$S_{\mathrm{大正方形}}=137$，所以$11^2+2×11x+x^2=137$.
由于$x^2＜1$，可忽略$x^2$，得$22x+121\approx137$，得到$x\approx0.73$，
即$\sqrt{137}=11+x\approx11.73$.
根据以上内容解决下列问题：
(1)写出$\sqrt{249}$的整数部分的值；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{249}$的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
答案
13. 解:(1)因为$\sqrt{225}＜\sqrt{249}＜\sqrt{256}$,所以$15＜\sqrt{249}＜16$,所以$\sqrt{249}$的整数部分是15.
(2)因为面积为249的正方形的边长是$\sqrt{249}$,且$15＜\sqrt{249}＜16$,所以设$\sqrt{249}=15+x$,其中$0＜x＜1$. 画出示意图,如图所示.
根据示意图,可得图中大正方形的面积$S_{\mathrm{大正方形}}=15^2+2×15x+x^2$. 又因为$S_{\mathrm{大正方形}}=249$,所以$15^2+2×15x+x^2=249$. 由于$x^2＜1$,可忽略$x^2$,得$30x+225\approx249$,得到$x\approx0.8$,即$\sqrt{249}=15+x\approx15.8$.
解析
【分析】
（1）求$\sqrt{249}$的整数部分，只需找到和249相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{249}$的取值范围，范围中较小的整数就是它的整数部分。已知$15^2=225$，$16^2=256$，可得$15＜\sqrt{249}＜16$，即可得到整数部分。
（2）仿照题目给出的探究方法：首先设$\sqrt{249}=15+x$（$0＜x＜1$），再根据大正方形面积等于各拆分部分面积和列等式，由于$x$小于1，$x^2$数值极小可忽略，求解得到$x$的近似值后，即可推出$\sqrt{249}$的近似值，对应的示意图将例题中的边长15替换11即可。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方：$15^2=225$，$16^2=256$，因为$225＜249＜256$，根据算术平方根的性质可得$\sqrt{225}＜\sqrt{249}＜\sqrt{256}$，即$15＜\sqrt{249}＜16$，因此$\sqrt{249}$的整数部分为15。
(2) 面积为249的正方形边长为$\sqrt{249}$，结合$15＜\sqrt{249}＜16$，设$\sqrt{249}=15+x$（$0＜x＜1$）。
根据正方形面积拆分规则，大正方形面积为各部分面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=15^2+2×15x+x^2$
已知大正方形面积为249，代入得：
$15^2+2×15x+x^2=249$
由于$0＜x＜1$，$x^2＜1$，数值极小可忽略，因此近似得：
$30x+225\approx249$
解得$x\approx(249-225)÷30=0.8$，因此$\sqrt{249}\approx15+0.8=15.8$。
【答案】
13. 解:(1)因为$\sqrt{225}＜\sqrt{249}＜\sqrt{256}$,所以$15＜\sqrt{249}＜16$,所以$\sqrt{249}$的整数部分是15.
(2)因为面积为249的正方形的边长是$\sqrt{249}$,且$15＜\sqrt{249}＜16$,所以设$\sqrt{249}=15+x$,其中$0＜x＜1$. 画出示意图,如图所示.
根据示意图,可得图中大正方形的面积$S_{\mathrm{大正方形}}=15^2+2×15x+x^2$. 又因为$S_{\mathrm{大正方形}}=249$,所以$15^2+2×15x+x^2=249$. 由于$x^2＜1$,可忽略$x^2$,得$30x+225\approx249$,得到$x\approx0.8$,即$\sqrt{249}=15+x\approx15.8$.
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 完全平方公式几何意义
3. 近似计算
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，通过直观的面积拆分推导无理数的近似值，既考查了无理数估算的基础方法，也能加深对完全平方公式的理解，侧重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
（1）求$\sqrt{249}$的整数部分，只需找到和249相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{249}$的取值范围，范围中较小的整数就是它的整数部分。已知$15^2=225$，$16^2=256$，可得$15＜\sqrt{249}＜16$，即可得到整数部分。
（2）仿照题目给出的探究方法：首先设$\sqrt{249}=15+x$（$0＜x＜1$），再根据大正方形面积等于各拆分部分面积和列等式，由于$x$小于1，$x^2$数值极小可忽略，求解得到$x$的近似值后，即可推出$\sqrt{249}$的近似值，对应的示意图将例题中的边长15替换11即可。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方：$15^2=225$，$16^2=256$，因为$225＜249＜256$，根据算术平方根的性质可得$\sqrt{225}＜\sqrt{249}＜\sqrt{256}$，即$15＜\sqrt{249}＜16$，因此$\sqrt{249}$的整数部分为15。
(2) 面积为249的正方形边长为$\sqrt{249}$，结合$15＜\sqrt{249}＜16$，设$\sqrt{249}=15+x$（$0＜x＜1$）。
根据正方形面积拆分规则，大正方形面积为各部分面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=15^2+2×15x+x^2$
已知大正方形面积为249，代入得：
$15^2+2×15x+x^2=249$
由于$0＜x＜1$，$x^2＜1$，数值极小可忽略，因此近似得：
$30x+225\approx249$
解得$x\approx(249-225)÷30=0.8$，因此$\sqrt{249}\approx15+0.8=15.8$。
【答案】
13. 解:(1)因为$\sqrt{225}＜\sqrt{249}＜\sqrt{256}$,所以$15＜\sqrt{249}＜16$,所以$\sqrt{249}$的整数部分是15.
(2)因为面积为249的正方形的边长是$\sqrt{249}$,且$15＜\sqrt{249}＜16$,所以设$\sqrt{249}=15+x$,其中$0＜x＜1$. 画出示意图,如图所示.
根据示意图,可得图中大正方形的面积$S_{\mathrm{大正方形}}=15^2+2×15x+x^2$. 又因为$S_{\mathrm{大正方形}}=249$,所以$15^2+2×15x+x^2=249$. 由于$x^2＜1$,可忽略$x^2$,得$30x+225\approx249$,得到$x\approx0.8$,即$\sqrt{249}=15+x\approx15.8$.
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 完全平方公式几何意义
3. 近似计算
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，通过直观的面积拆分推导无理数的近似值，既考查了无理数估算的基础方法，也能加深对完全平方公式的理解，侧重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
