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8. 某小区有一块面积为$196\ \mathrm{m}^2$的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为$100\ \mathrm{m}^2$的长方形花坛(位置如图所示)，使长方形的长是宽的2倍.请你通过计算说明开发商能否实现这个计划.(参考数据：$\sqrt{50}\approx7.071$)
答案
8. 解:设长方形花坛的宽为$x$ m,则长为$2x$ m. 由题意,得$2x · x=100$,即$x^2=50$. 因为$x＞0$,所以$x=\sqrt{50},2x=2\sqrt{50}$. 由题意,知正方形的边长为$\sqrt{196}=14(\mathrm{m})$. 因为$2\sqrt{50}\approx2×7.071=14.142＞14$,所以开发商不能实现这个计划.
解析
【分析】
要判断开发商能否实现计划，核心是对比长方形花坛的长和正方形空地的边长：若长方形的长不超过正方形边长则计划可行，反之不可行。解题时首先根据长方形的面积和长宽的倍数关系，设未知数列方程求出长方形的长；再计算出正方形空地的边长；最后将二者比较大小即可得出结论。
【解析】
解：设长方形花坛的宽为$x$ m，则长为$2x$ m。
根据长方形面积公式，得$2x· x=100$，整理得$x^2=50$。
因为长度为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{50}$，长方形的长为$2x=2\sqrt{50}$。
已知正方形空地的面积为$196\ \mathrm{m}^2$，所以正方形的边长为$\sqrt{196}=14\ \mathrm{m}$。
计算长方形长的近似值：$2\sqrt{50}\approx2×7.071=14.142$，因为$14.142＞14$，即长方形的长大于正方形空地的边长，所以无法建成符合要求的花坛。
【答案】
开发商不能实现这个计划。
【知识点】
算术平方根计算，面积公式应用，实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查无理数的实际应用，解题的关键是抓住“长方形的长不能超过正方形边长”这一隐含限制，计算时注意实际问题中长度为正的要求，通过估算无理数的大小即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断开发商能否实现计划，核心是对比长方形花坛的长和正方形空地的边长：若长方形的长不超过正方形边长则计划可行，反之不可行。解题时首先根据长方形的面积和长宽的倍数关系，设未知数列方程求出长方形的长；再计算出正方形空地的边长；最后将二者比较大小即可得出结论。
【解析】
解：设长方形花坛的宽为$x$ m，则长为$2x$ m。
根据长方形面积公式，得$2x· x=100$，整理得$x^2=50$。
因为长度为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{50}$，长方形的长为$2x=2\sqrt{50}$。
已知正方形空地的面积为$196\ \mathrm{m}^2$，所以正方形的边长为$\sqrt{196}=14\ \mathrm{m}$。
计算长方形长的近似值：$2\sqrt{50}\approx2×7.071=14.142$，因为$14.142＞14$，即长方形的长大于正方形空地的边长，所以无法建成符合要求的花坛。
【答案】
开发商不能实现这个计划。
【知识点】
算术平方根计算，面积公式应用，实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查无理数的实际应用，解题的关键是抓住“长方形的长不能超过正方形边长”这一隐含限制，计算时注意实际问题中长度为正的要求，通过估算无理数的大小即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
9. 如图是面积分别为$1,2,3,\dots,2\,015$的正方形,则边长是有理数的正方形有________个.
答案
9.44
解析
【分析】
要解决这个问题，首先结合正方形面积和边长的关系思考：正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。如果边长是有理数，说明这个算术平方根是有理数，也就是对应的面积必须是完全平方数（即某个正整数的平方）。接下来只需找出1到2015之间共有多少个完全平方数，就能得到答案。
【解析】
设正方形的面积为$S$，边长为$a$，根据正方形面积公式可得：$S=a^2$，因此$a=\sqrt{S}$。
若边长$a$是有理数，则$\sqrt{S}$必须是有理数，即$S$是正整数的平方（完全平方数）。
计算相邻正整数的平方：
$44^2=1936$，$45^2=2025$
因为$1936＜2015＜2025$，所以1到2015之间的完全平方数为$1^2,2^2,3^2,\dots,44^2$，共44个。
【答案】
44
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的概念；完全平方数
【点评】
本题属于基础概念应用题，将正方形面积公式与有理数、算术平方根的知识结合考察，解题核心是将“边长为有理数”的条件转化为“面积是完全平方数”，再通过估算平方数的范围即可得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先结合正方形面积和边长的关系思考：正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。如果边长是有理数，说明这个算术平方根是有理数，也就是对应的面积必须是完全平方数（即某个正整数的平方）。接下来只需找出1到2015之间共有多少个完全平方数，就能得到答案。
【解析】
设正方形的面积为$S$，边长为$a$，根据正方形面积公式可得：$S=a^2$，因此$a=\sqrt{S}$。
若边长$a$是有理数，则$\sqrt{S}$必须是有理数，即$S$是正整数的平方（完全平方数）。
计算相邻正整数的平方：
$44^2=1936$，$45^2=2025$
因为$1936＜2015＜2025$，所以1到2015之间的完全平方数为$1^2,2^2,3^2,\dots,44^2$，共44个。
【答案】
44
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的概念；完全平方数
【点评】
本题属于基础概念应用题，将正方形面积公式与有理数、算术平方根的知识结合考察，解题核心是将“边长为有理数”的条件转化为“面积是完全平方数”，再通过估算平方数的范围即可得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图，实数$-\sqrt{5}$，$\sqrt{15}$，$m$在数轴上所对应的点分别为$A$，$B$，$C$，点$B$关于原点$O$的对称点为$D$。若$m$为整数，则$m$的值为________。
答案
10.$-3$
解析
【分析】
解题第一步先求点D对应的数：点B关于原点对称的点D对应的数是$\sqrt{15}$的相反数，即$-\sqrt{15}$。第二步结合数轴确定m的范围：观察数轴可知点C在D、A之间，因此m大于$-\sqrt{15}$且小于$-\sqrt{5}$。第三步估算两个无理数的范围：通过对比相邻整数的平方，确定$-\sqrt{15}$和$-\sqrt{5}$分别介于哪两个整数之间，最后在这个范围内找整数m即可。
【解析】
解：
∵ 点B对应的数为$\sqrt{15}$，点D是点B关于原点O的对称点，
∴ 点D对应的数为$-\sqrt{15}$。
由数轴可得，点C在点D和点A之间，点A对应的数为$-\sqrt{5}$，因此：
$-\sqrt{15} ＜ m ＜ -\sqrt{5}$
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，$9＜15＜16$，
∴ $3＜\sqrt{15}＜4$，不等式两边同乘$-1$得：$-4 ＜ -\sqrt{15} ＜ -3$；
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同乘$-1$得：$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$。
综上，m的取值范围为大于-4~-3之间的数，小于-3~-2之间的数，又
∵m为整数，
∴ $m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
实数与数轴，无理数估算，相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查了相反数性质和无理数的大小估算，解题的核心是先通过对称关系和数轴位置确定未知数的取值范围，再结合整数的限定条件求解，需要注意不等式两边乘负数时不等号方向要反向。
【难度系数】
0.7
解题第一步先求点D对应的数：点B关于原点对称的点D对应的数是$\sqrt{15}$的相反数，即$-\sqrt{15}$。第二步结合数轴确定m的范围：观察数轴可知点C在D、A之间，因此m大于$-\sqrt{15}$且小于$-\sqrt{5}$。第三步估算两个无理数的范围：通过对比相邻整数的平方，确定$-\sqrt{15}$和$-\sqrt{5}$分别介于哪两个整数之间，最后在这个范围内找整数m即可。
【解析】
解：
∵ 点B对应的数为$\sqrt{15}$，点D是点B关于原点O的对称点，
∴ 点D对应的数为$-\sqrt{15}$。
由数轴可得，点C在点D和点A之间，点A对应的数为$-\sqrt{5}$，因此：
$-\sqrt{15} ＜ m ＜ -\sqrt{5}$
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，$9＜15＜16$，
∴ $3＜\sqrt{15}＜4$，不等式两边同乘$-1$得：$-4 ＜ -\sqrt{15} ＜ -3$；
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同乘$-1$得：$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$。
综上，m的取值范围为大于-4~-3之间的数，小于-3~-2之间的数，又
∵m为整数，
∴ $m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
实数与数轴，无理数估算，相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查了相反数性质和无理数的大小估算，解题的核心是先通过对称关系和数轴位置确定未知数的取值范围，再结合整数的限定条件求解，需要注意不等式两边乘负数时不等号方向要反向。
【难度系数】
0.7
11. 一个正数$ x $的两个不同的平方根分别是$ a+1 $和$ 2-2a $。
(1)求$ a $和$ x $的值；
(2)判断$\sqrt[a]{x-8}$是有理数还是无理数，并说明理由。
(1)求$ a $和$ x $的值；
(2)判断$\sqrt[a]{x-8}$是有理数还是无理数，并说明理由。
答案
11. 解:(1)由题意,得$(a+1)+(2-2a)=0$,解得$a=3$,则$x=(a+1)^2=4^2=16$.
(2)由(1)知$a=3,x=16$,所以$\sqrt[a]{x-8}=\sqrt[3]{16-8}=\sqrt[3]{8}=2$,所以$\sqrt[a]{x-8}$是有理数.
(2)由(1)知$a=3,x=16$,所以$\sqrt[a]{x-8}=\sqrt[3]{16-8}=\sqrt[3]{8}=2$,所以$\sqrt[a]{x-8}$是有理数.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，因此可根据两个平方根相加等于0列关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再将a代入任意一个平方根，平方后即可得到x的值。解决第(2)问时，将第(1)问求出的a、x的值代入待求式，先计算根号内的数值，再开方得到结果，最后结合有理数的定义判断即可。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数可得：
$(a+1)+(2-2a)=0$
合并同类项得：$3 - a = 0$
解得：$a=3$
则$x=(a+1)^2=(3+1)^2=16$
(2) $\sqrt[a]{x-8}$是有理数，理由如下：
将$a=3$，$x=16$代入得：
$\sqrt[a]{x-8}=\sqrt[3]{16-8}=\sqrt[3]{8}=2$
∵2是整数，属于有理数
∴$\sqrt[a]{x-8}$是有理数
【答案】
(1) $a=3$，$x=16$；
(2) $\sqrt[a]{x-8}$是有理数。
【知识点】
平方根的性质；立方根运算；有理数的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，代入计算后即可顺利求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，因此可根据两个平方根相加等于0列关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再将a代入任意一个平方根，平方后即可得到x的值。解决第(2)问时，将第(1)问求出的a、x的值代入待求式，先计算根号内的数值，再开方得到结果，最后结合有理数的定义判断即可。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数可得：
$(a+1)+(2-2a)=0$
合并同类项得：$3 - a = 0$
解得：$a=3$
则$x=(a+1)^2=(3+1)^2=16$
(2) $\sqrt[a]{x-8}$是有理数，理由如下：
将$a=3$，$x=16$代入得：
$\sqrt[a]{x-8}=\sqrt[3]{16-8}=\sqrt[3]{8}=2$
∵2是整数，属于有理数
∴$\sqrt[a]{x-8}$是有理数
【答案】
(1) $a=3$，$x=16$；
(2) $\sqrt[a]{x-8}$是有理数。
【知识点】
平方根的性质；立方根运算；有理数的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，代入计算后即可顺利求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
12. 课堂上,老师讲解了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.解法如下:
解:$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.因为$4^2=16＜19$,所以$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-4＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请根据以上材料,解答下列问题:
【分析归纳】(1)填空(在横线上填“＞”“=”或“＜”).
①若$a-b＞0$,则$a$
②若$a-b=0$,则$a$
③若$a-b＜0$,则$a$
【应用拓展】(2)利用作差法比较实数$\frac{3-\sqrt{12}}{4}$与$-\frac{1}{4}$的大小.
解:$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.因为$4^2=16＜19$,所以$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-4＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请根据以上材料,解答下列问题:
【分析归纳】(1)填空(在横线上填“＞”“=”或“＜”).
①若$a-b＞0$,则$a$
＞
$b$;②若$a-b=0$,则$a$
=
$b$;③若$a-b＜0$,则$a$
＜
$b$.【应用拓展】(2)利用作差法比较实数$\frac{3-\sqrt{12}}{4}$与$-\frac{1}{4}$的大小.
答案
12. 解:(1)①$＞$ ②$=$ ③$＜$
(2)$\frac{3-\sqrt{12}}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{3-\sqrt{12}+1}{4}=\frac{4-\sqrt{12}}{4}$. 因为$4^2=16＞12$,所以$4＞\sqrt{12}$,所以$4-\sqrt{12}＞0$,所以$\frac{4-\sqrt{12}}{4}＞0$,所以$\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}$.
(2)$\frac{3-\sqrt{12}}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{3-\sqrt{12}+1}{4}=\frac{4-\sqrt{12}}{4}$. 因为$4^2=16＞12$,所以$4＞\sqrt{12}$,所以$4-\sqrt{12}＞0$,所以$\frac{4-\sqrt{12}}{4}＞0$,所以$\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题考查作差法比较实数大小的原理及应用。对于第(1)问，根据等式和不等式的基本性质，对a-b的结果移项即可得到a与b的大小关系，这是作差法的核心依据。对于第(2)问，严格遵循作差法的步骤解题即可：先将两个实数作差，再化简差的结果，接着通过估算无理数的大小判断差的正负，最后根据差的正负得出两个实数的大小关系。
【解析】
(1) ①若$a-b＞0$，两边同时加$b$，可得$a＞b$；
②若$a-b=0$，两边同时加$b$，可得$a=b$；
③若$a-b＜0$，两边同时加$b$，可得$a＜b$。
(2) 按照作差法步骤计算：
第一步：作差：$\frac{3-\sqrt{12}}{4}-(-\frac{1}{4})$
第二步：化简差：$\frac{3-\sqrt{12}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3-\sqrt{12}+1}{4}=\frac{4-\sqrt{12}}{4}$
第三步：判断差的正负：因为$4^2=16$，$(\sqrt{12})^2=12$，$16＞12$，所以$4＞\sqrt{12}$，因此$4-\sqrt{12}＞0$，可得$\frac{4-\sqrt{12}}{4}＞0$。
第四步：得出大小关系：差大于0，说明被减数大于减数，即$\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{＞}$；②$\boldsymbol{=}$；③$\boldsymbol{＜}$
(2)$\boldsymbol{\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}}$
【知识点】
作差法比较大小；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查作差法的使用逻辑，解题时只需严格遵循作差、化简、判号、定论的步骤即可求解，其中无理数的大小估算是判断差的符号的关键，熟练掌握常见整数的平方能快速完成无理数范围的判断。
【难度系数】
0.8
本题考查作差法比较实数大小的原理及应用。对于第(1)问，根据等式和不等式的基本性质，对a-b的结果移项即可得到a与b的大小关系，这是作差法的核心依据。对于第(2)问，严格遵循作差法的步骤解题即可：先将两个实数作差，再化简差的结果，接着通过估算无理数的大小判断差的正负，最后根据差的正负得出两个实数的大小关系。
【解析】
(1) ①若$a-b＞0$，两边同时加$b$，可得$a＞b$；
②若$a-b=0$，两边同时加$b$，可得$a=b$；
③若$a-b＜0$，两边同时加$b$，可得$a＜b$。
(2) 按照作差法步骤计算：
第一步：作差：$\frac{3-\sqrt{12}}{4}-(-\frac{1}{4})$
第二步：化简差：$\frac{3-\sqrt{12}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3-\sqrt{12}+1}{4}=\frac{4-\sqrt{12}}{4}$
第三步：判断差的正负：因为$4^2=16$，$(\sqrt{12})^2=12$，$16＞12$，所以$4＞\sqrt{12}$，因此$4-\sqrt{12}＞0$，可得$\frac{4-\sqrt{12}}{4}＞0$。
第四步：得出大小关系：差大于0，说明被减数大于减数，即$\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{＞}$；②$\boldsymbol{=}$；③$\boldsymbol{＜}$
(2)$\boldsymbol{\frac{3-\sqrt{12}}{4}＞-\frac{1}{4}}$
【知识点】
作差法比较大小；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查作差法的使用逻辑，解题时只需严格遵循作差、化简、判号、定论的步骤即可求解，其中无理数的大小估算是判断差的符号的关键，熟练掌握常见整数的平方能快速完成无理数范围的判断。
【难度系数】
0.8
