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4. (2026·保山校级月考)已知:如图①,OB,OC分别为锐角$∠ AOD$内部的两条动射线,当OB,OC运动到如图①的位置时,$∠ AOC + ∠ BOD=100°$,$∠ AOB+∠ COD=40°$.
(1)求$∠ BOC$的度数;
(2)如图②,射线OM,ON分别为$∠ AOB$,$∠ COD$的平分线,求$∠ MON$的度数.
(1)求$∠ BOC$的度数;
(2)如图②,射线OM,ON分别为$∠ AOB$,$∠ COD$的平分线,求$∠ MON$的度数.
答案
(1)因为∠AOC+∠BOD=100°,∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠BOD=∠BOC+∠COD,所以∠AOB+∠COD+2∠BOC=100°.因为∠AOB+∠COD=40°,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$[100°-(∠AOB+∠COD)]=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
(2)因为射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线,所以∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠CON=$\frac{1}{2}$∠COD,所以∠MON=∠BOM+∠CON+∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD)+∠BOC=$\frac{1}{2}$×40°+30°=50°.
(2)因为射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线,所以∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠CON=$\frac{1}{2}$∠COD,所以∠MON=∠BOM+∠CON+∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD)+∠BOC=$\frac{1}{2}$×40°+30°=50°.
5. 新趋势 项目式学习 (2026·驻马店期末)操作与实践:在综合与实践活动课上,老师将一副三角尺按图①所示的位置摆放,分别在∠AOC,∠BOD的内部作射线OM,ON,然后提出如下问题:先添加一个适当条件,再求∠MON的度数.
(1)特例探究:“兴趣小组”的同学添加了“若OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD”,画出如图②所示图形.小组3号同学佳佳的做法:由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.请你根据佳佳的做法,写出解答过程.
(2)特例探究:“发现小组”的同学添加了“若∠MOC=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{3}$∠BOD”,画出如图③所示图形.小组2号同学乐乐的做法:设∠AOC的度数为x,我们就能用含有x的式子表示出∠COM和∠DON的度数,这样就能求出∠MON的度数,请你根据乐乐的做法,写出解答过程.
(3)类比拓展:受“兴趣小组”和“发现小组”的启发,“创新小组”的同学添加了“若∠MOC=$\frac{1}{n}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{n}$∠BOD”.请你直接写出∠MON的度数.
(1)特例探究:“兴趣小组”的同学添加了“若OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD”,画出如图②所示图形.小组3号同学佳佳的做法:由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.请你根据佳佳的做法,写出解答过程.
(2)特例探究:“发现小组”的同学添加了“若∠MOC=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{3}$∠BOD”,画出如图③所示图形.小组2号同学乐乐的做法:设∠AOC的度数为x,我们就能用含有x的式子表示出∠COM和∠DON的度数,这样就能求出∠MON的度数,请你根据乐乐的做法,写出解答过程.
(3)类比拓展:受“兴趣小组”和“发现小组”的启发,“创新小组”的同学添加了“若∠MOC=$\frac{1}{n}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{n}$∠BOD”.请你直接写出∠MON的度数.
答案
(1)因为OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD.因为∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°,所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)+90°=45°+90°=135°.
(2)设∠AOC的度数为x,则∠BOD的度数为90°-x.因为∠MOC=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{3}$∠BOD,所以∠COM+∠DON=$\frac{1}{3}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{3}$(x+90°-x)=30°,所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=30°+90°=120°.
(3)∠MON=$\frac{90°}{n}$+90°. 解析:因为∠MOC=$\frac{1}{n}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{n}$∠BOD,所以∠COM+∠DON=$\frac{1}{n}$(∠AOC+∠BOD),所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=$\frac{1}{n}$(∠AOC+∠BOD)+90°=$\frac{90°}{n}$+90°.
(2)设∠AOC的度数为x,则∠BOD的度数为90°-x.因为∠MOC=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{3}$∠BOD,所以∠COM+∠DON=$\frac{1}{3}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{3}$(x+90°-x)=30°,所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=30°+90°=120°.
(3)∠MON=$\frac{90°}{n}$+90°. 解析:因为∠MOC=$\frac{1}{n}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{n}$∠BOD,所以∠COM+∠DON=$\frac{1}{n}$(∠AOC+∠BOD),所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=$\frac{1}{n}$(∠AOC+∠BOD)+90°=$\frac{90°}{n}$+90°.
