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1. 已知∠AOB和∠AOC是同一个平面内的两个角，OD是∠BOC的平分线.
(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,分别求出图①,图②中∠AOD的度数；
(2)若∠AOB=m,∠AOC=n,其中0°＜m＜90°,0°＜n＜90°,m+n＜180°且m＜n,直接写出∠AOD的度数.(结果用含m,n的代数式表示)
类型二 双角平分线模型
(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,分别求出图①,图②中∠AOD的度数；
(2)若∠AOB=m,∠AOC=n,其中0°＜m＜90°,0°＜n＜90°,m+n＜180°且m＜n,直接写出∠AOD的度数.(结果用含m,n的代数式表示)
类型二 双角平分线模型
答案
(1)题图①中，∠BOC=∠AOC-∠AOB=20°. 因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD = 1/2 ∠BOC = 1/2 ×20° =10°,所以∠AOD = ∠AOC - ∠COD =70°-10°=60°;题图②中,∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°.因为OD是∠BOC的平分线,所以∠BOD=1/2∠BOC=1/2×120°=60°,所以∠AOD=∠BOD-∠AOB=60°-50°=10°.
(2)∠AOD=(n+m)/2或(n-m)/2. 解析:
当OB在∠AOC的内部时,∠BOC=∠AOC-∠AOB=n-m. 因为OD是∠BOC的平分线,所以∠BOD = 1/2 ∠BOC = (n-m)/2,所以∠AOD = ∠AOB+∠BOD=(n+m)/2.
当OB在∠AOC的外部时,∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = n+m. 因为OD是∠BOC的平分线,所以∠BOD = 1/2 ∠BOC=(n+m)/2,所以∠AOD = ∠BOD - ∠AOB=(n-m)/2.2. 如图,过点 O 在∠AOB 内部作射线 OC.OE,OF 分别平分∠AOC 和∠BOC,∠AOC 与∠AOB 互补.
(1)如图①,若∠AOC=70°,求∠EOF 的度数.
(2)如图②,OD 平分∠AOB.
①若∠AOC - 3∠COD = 32°,求∠EOF 的度数;
②试探索:当 k 为何值时, $\frac{k∠AOB - ∠COD}{∠DOE}$ 的值是一个定值,并求出这个定值.
(1)如图①,若∠AOC=70°,求∠EOF 的度数.
(2)如图②,OD 平分∠AOB.
①若∠AOC - 3∠COD = 32°,求∠EOF 的度数;
②试探索:当 k 为何值时, $\frac{k∠AOB - ∠COD}{∠DOE}$ 的值是一个定值,并求出这个定值.
答案
(1)因为∠AOC与∠AOB互补,∠AOC=70°,所以∠AOB=180°-∠AOC=180°-70°=110°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=110°-70°=40°.因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COE=1/2∠AOC=1/2×70°=35°,∠COF=1/2∠BOC=1/2×40°=20°,所以∠EOF=∠COE+∠COF=35°+20°=55°.
(2)①因为∠AOC与∠AOB互补,所以∠AOB=180°-∠AOC.又因为OD平分∠AOB,所以∠AOD=1/2∠AOB=1/2(180°-∠AOC)=90°-1/2∠AOC,所以∠COD=∠AOC-∠AOD=∠AOC-(90°-1/2∠AOC)=3/2∠AOC-90°,所以∠AOC-3∠COD=∠AOC-3(3/2∠AOC-90°)=32°,解得∠AOC=68°,所以∠AOB=180°-∠AOC=112°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=44°.因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COE=1/2∠AOC=1/2×68°=34°,∠COF=1/2∠BOC=1/2×44°=22°,所以∠EOF=∠COE+∠COF=34°+22°=56°.
②由①可得∠AOB=180°-∠AOC,∠COD=3/2∠AOC-90°,∠DOE=∠COE-∠COD=1/2∠AOC-(3/2∠AOC-90°)=90°-∠AOC,
所以$\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE} = \frac{k(180°-∠AOC)-(\frac{3}{2}∠AOC-90°)}{90°-∠AOC} = \frac{90°×(2k+1)-(\frac{3}{2} +k)∠AOC}{90°-∠AOC}$.因为$\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE}$的值是一个定值,所以2k+1=$\frac{3}{2}$ +k,解得k=$\frac{1}{2}$,所以定值为2k+1=2.
(2)①因为∠AOC与∠AOB互补,所以∠AOB=180°-∠AOC.又因为OD平分∠AOB,所以∠AOD=1/2∠AOB=1/2(180°-∠AOC)=90°-1/2∠AOC,所以∠COD=∠AOC-∠AOD=∠AOC-(90°-1/2∠AOC)=3/2∠AOC-90°,所以∠AOC-3∠COD=∠AOC-3(3/2∠AOC-90°)=32°,解得∠AOC=68°,所以∠AOB=180°-∠AOC=112°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=44°.因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COE=1/2∠AOC=1/2×68°=34°,∠COF=1/2∠BOC=1/2×44°=22°,所以∠EOF=∠COE+∠COF=34°+22°=56°.
②由①可得∠AOB=180°-∠AOC,∠COD=3/2∠AOC-90°,∠DOE=∠COE-∠COD=1/2∠AOC-(3/2∠AOC-90°)=90°-∠AOC,
所以$\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE} = \frac{k(180°-∠AOC)-(\frac{3}{2}∠AOC-90°)}{90°-∠AOC} = \frac{90°×(2k+1)-(\frac{3}{2} +k)∠AOC}{90°-∠AOC}$.因为$\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE}$的值是一个定值,所以2k+1=$\frac{3}{2}$ +k,解得k=$\frac{1}{2}$,所以定值为2k+1=2.
3. (2025·吉安期末)如图,以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD,OE,并且使OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)若∠AOB=50°,∠DOE=30°,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOD=110°,∠BOE=100°,求∠BOD的度数;
(3)当∠AOD+∠BOE=n时,求∠BOD的度数.(用含n的式子表示)
(1)若∠AOB=50°,∠DOE=30°,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOD=110°,∠BOE=100°,求∠BOD的度数;
(3)当∠AOD+∠BOE=n时,求∠BOD的度数.(用含n的式子表示)
答案
(1)因为OB是∠AOC的平分线,所以∠BOC=∠AOB=50°.因为OD是∠COE的平分线,所以∠COD=∠DOE=30°,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=50°+30°=80°.
(2)因为OB平分∠AOC,OD平分∠COE,所以∠EOD=∠DOC,∠AOB=∠COB.设∠EOD=∠DOC=x°,则∠AOB=∠COB=(100-2x)°.因为∠COD+∠COB+∠AOB=110°,所以x+100-2x+100-2x=110,解得x=30,即∠EOD=∠DOC=30°,所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=100°-30°=70°.
(3)设∠AOB=∠BOC=x,∠EOD=∠DOC=y,依题意可知∠AOD=2x+y,∠BOE=x+2y.由∠AOD+∠BOE=n,得3x+3y=n,即x+y=$\frac{1}{3}$n,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=x+y=$\frac{1}{3}$n.
(2)因为OB平分∠AOC,OD平分∠COE,所以∠EOD=∠DOC,∠AOB=∠COB.设∠EOD=∠DOC=x°,则∠AOB=∠COB=(100-2x)°.因为∠COD+∠COB+∠AOB=110°,所以x+100-2x+100-2x=110,解得x=30,即∠EOD=∠DOC=30°,所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=100°-30°=70°.
(3)设∠AOB=∠BOC=x,∠EOD=∠DOC=y,依题意可知∠AOD=2x+y,∠BOE=x+2y.由∠AOD+∠BOE=n,得3x+3y=n,即x+y=$\frac{1}{3}$n,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=x+y=$\frac{1}{3}$n.
