10. 如图，$∠ AOB = 60°$，$OC$是$∠ AOB$的平分线，$OC_1$是$∠ AOC$的平分线，$OC_2$是$∠ AOC_1$的平分线，…，$OC_n$是$∠ AOC_{n-1}$的平分线，则$∠ AOC_n =$ 。

解析:因为 OC 平分$∠AOB$,所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB$.当 n = 1 时,因为$OC_1$平分$∠AOC$,$∠AOB=60°$,所以$∠AOC_1=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2^2}×60°$.当 n = 2 时,因为$OC_2$是$∠AOC_1$的平分线,所以$∠AOC_2=\frac{1}{2}∠AOC_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}×60°=\frac{1}{2^3}×60°$.当 n = 3 时,因为$OC_3$是$∠AOC_2$的平分线,所以$∠AOC_3=\frac{1}{2}∠AOC_2=\frac{1}{2^4}×60°$,…,所以$∠AOC_n=\frac{1}{2^{n+1}}×60°$.

11. 如图，已知∠AOC=∠BOD=m°，将∠BOD绕点O旋转，使射线OC，OD的夹角为n°，OE平分∠AOD，m+n＜180，m＞n，则∠EOC的度数为°.(用含m，n的代数式表示)

解析:,如图①,当 OD 在$∠AOC$外部时,由题意可得$∠COD=n°$,因为$∠AOC=m°$,所以$∠AOD=∠AOC+∠COD=m°+n°=(m+n)°$.因为 OE 平分$∠AOD$,所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)°$,所以$∠COE=∠EOD-∠COD=(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)°-n°=(\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n)°$.
如图②,当 OD 在$∠AOC$内部时,由题意可得$∠COD=n°$,因为$∠AOC=m°$,所以$∠AOD=∠AOC-∠COD=m°-n°=(m-n)°$.因为 OE 平分$∠AOD$,所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=(\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n)°$,所以$∠COE=∠EOD+∠COD=(\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n)°+n°=(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)°$.
综上所述,$∠EOC$的度数为$(\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n)$或$(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)°$.

12. 如图，A,O,B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补.
(1) ∠AOC与∠BOD的度数相等吗？为什么？
(2)已知OM平分∠AOC,射线ON在∠COD的内部,且满足∠AOC与∠MON互余.
①若∠AOC=32°,求∠MON的度数；
②试探究∠AON与∠DON之间的数量关系,请写出结论并说明理由.

(1)$∠AOC$与$∠BOD$的度数相等.理由如下:因为$∠BOD$与$∠BOC$互补,所以$∠BOD+∠BOC=180°$.因为$∠AOC+∠BOC=180°$,所以$∠AOC$与$∠BOD$的度数相等.
(2)①因为$∠AOC$与$∠MON$互余,所以$∠MON=90°-∠AOC=90°-32°=58°$.
②$∠AON=∠DON$.理由如下:,因为 OM 平分$∠AOC$,所以$∠AOC=2∠AOM$,$∠COM=∠AOM$.因为$∠AOC$与$∠MON$互余,所以$∠AOC+∠MON=90°$,所以$∠AON=90°-∠AOM$,所以$∠CON=90°-3∠AOM$.因为$∠BOD$与$∠BOC$互补,所以$∠BOD+∠BOC=180°$,所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$.又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$,所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM=90°-∠AOM$,所以$∠AON=∠DON$.

13. 已知射线OB,OC在∠AOD内部,其中OB为∠AOC的三等分线,OE,OF分别平分∠BOD和∠COD,若∠EOF=14°,则∠AOC=.

解析:,因为 OB 为$∠AOC$的三等分线,设$∠AOC=3x$,则$∠BOC=x$或$2x$.因为 OF 平分$∠COD$,设$∠COD=2y$,则$∠DOF=∠COF=y$,则$∠BOD=∠BOC+∠COD=x+2y$或$2x+2y$.因为 OE 平分$∠BOD$,所以$∠DOE=∠BOE=0.5x+y$或$x+y$,所以$∠EOF=∠DOE-∠DOF=0.5x$或 x.因为$∠EOF=14°$,所以$x=28°$或$14°$,所以$∠AOC=3x=84°$或$42°$.

14. 点O为直线AB上一点,在直线AB同侧任作射线OC,OD,使得$∠ COD=90°$.
(1)如图①,过点O作射线OE,当OE恰好为$∠ AOC$的平分线时,另作射线OF,使得OF平分$∠ BOD$,则$∠ EOC + ∠ DOF$的度数是°;
(2)如图②,过点O作射线OG,当OG恰好为$∠ AOD$的平分线时,求出$∠ BOD$与$∠ COG$的数量关系;
(3)过点O作射线OH,当OC恰好为$∠ AOH$的平分线时,另作射线OK,使得OK平分$∠ COD$,若$∠ HOC=3∠ HOK$,求出$∠ AOH$的度数.

(1)解析:因为 OE 平分$∠AOC$,OF 平分$∠BOD$,所以$∠EOC=\frac{1}{2}∠AOC$,$∠DOF=\frac{1}{2}∠BOD$.因为$∠COD=90°$,所以$∠AOC+∠BOD=90°$,所以$∠EOC+∠DOF=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=\frac{1}{2}×90°=45°$.
(2)因为 OG 平分$∠AOD$,所以$∠GOA=∠GOD=\frac{1}{2}∠AOD$,根据题图可知$∠BOD=180°-∠AOD$,因为$∠COD=90°$,所以$∠COG=90°-∠GOD=90°-\frac{1}{2}∠AOD$.因为$∠BOD=180°-∠AOD$,所以$∠BOD=2∠COG$.
(3)当 OH 在 OK 左侧时,如图①所示.因为$∠HOC=3∠HOK$,所以$∠KOC=4∠HOK$.因为 OK 平分$∠COD$,所以$∠KOC=\frac{1}{2}∠COD=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠HOK=\frac{1}{4}∠KOC=\frac{1}{4}×45°=\frac{45}{4}$.因为 OC 平分$∠AOH$,所以$∠AOC=∠HOC=3∠HOK=\frac{135°}{4}$,所以$∠AOH=2∠AOC=2×\frac{135°}{4}=67.5°$.
当 OK 在 OH 左侧时,如图②所示.因为$∠HOC=3∠HOK$,所以$∠KOC=2∠HOK$.因为 OK 平分$∠COD$,所以$∠KOC=\frac{1}{2}∠COD=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠HOK=\frac{1}{2}∠KOC=22.5°$.因为 OC 平分$∠AOH$,所以$∠AOC=∠HOC=3∠HOK=67.5°$,所以$∠AOH=2∠AOC=2×67.5°=135°$.综上所述,$∠AOH$的度数为$135°$或$67.5°$.