1.（2025·扬州期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行.小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的平分线，经过m min后，秒针又一次成为时针与分针夹角的平分线，则m的最小值是.

$\frac{720}{13}$
解析:如图,因为3点整时,秒针正好是时针与分针夹角的平分线,分针在秒针的左侧,秒针不动,所以当分针转一圈再回到秒针左侧时,秒针再次平分时针与分针夹角,此时经过的时间最少,分针每分钟走$\frac{360°}{60}=6°$,时针每分钟走$\frac{30°}{60}=(\frac{1}{2})°$,根据题意得$∠ AOB=∠ BOC=45°$,经过$m$ min后,$∠ AOA_1=360°-6°× m$,$∠ COC_1=(\frac{1}{2})°× m$,因为$OB$平分$∠ A_1OC_1$,所以$∠ A_1OB=∠ BOC_1$,所以$∠ A_1OA+∠ AOB=∠ BOC+∠ C_1OC$,所以$360-6m+45=45+\frac{1}{2}m$,解得$m=\frac{720}{13}$.

2. (2026·宿迁期末)以下是两张不同类型火车(“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁)的车票：
(1)根据车票中的信息填空:该列动车和高铁是(填“相”或“同”)向而行,该列动车比高铁发车(填“早”或“晚”).
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h,300 km/h,两列火车的长度不计,高铁比动车早到1 h,求A,B两地之间的距离.
(3)在(2)的条件下,求高铁出发多少小时后两车相距150 km.

(1)同 早
解析:由信息可得该列动车和高铁是同向而行,该列动车比高铁发车早.
(2)设 A,B 两地之间的距离为 $x$ km.
根据题意得$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+1$,解得 $x=1\ 200$.
答:A,B 两地之间的距离为 1 200 km.
(3)设高铁出发 $y$ 小时后两车相距 150 km.
①当高铁还未追上动车时,$200(y+1)-300y=150$,解得 $y=\frac{1}{2}$;②当高铁追上动车后但未到达 B 地时,$300y-200(y+1)=150$,解得 $y=\frac{7}{2}$;③当高铁到达 B 地后,$200(y+1)=1\ 200-150$,解得 $y=\frac{17}{4}$.
答:当高铁出发$\frac{1}{2}$ h 或$\frac{7}{2}$ h 或$\frac{17}{4}$ h 后两车相距 150 km.

3. (2026·常州期末)在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟$\frac{2}{3}$圈，乙每分钟$\frac{3}{4}$圈，丙每分钟$\frac{1}{2}$圈，他们同时出发，起点如图所示(甲、乙、丙分别从A点、B点、C点出发)，沿环形赛场顺时针运动，则：
(1)出发后第几分钟甲、丙第一次相遇？
(2)出发后第几分钟乙、丙第一次相遇？
(3)出发后第几分钟三人第一次相遇？

(1)设出发后第 $x$ 分钟甲、丙第一次相遇,依题意得$(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})x=\frac{1}{6}$,解得 $x=1$.所以出发后第 1 分钟甲、丙第一次相遇.
(2)设出发后第 $y$ 分钟乙、丙第一次相遇,依题意得$(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})y=1-\frac{1}{4}$,解得 $y=3$.所以出发后第 3 分钟乙、丙第一次相遇.
(3)设出发后第 $z$ 分钟甲、乙第一次相遇,依题意得$(\frac{3}{4}-\frac{2}{3})z=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$,解得 $z=7$. 则 $1÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=6$(分钟),所以甲、丙第一次相遇后每隔6分钟相遇一次.则 $1+6=7$(分钟),所以出发后第7分钟甲、丙再次相遇,所以出发后第7分钟三人第一次相遇.

4. (2026·盐城期末)某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价80元,售价100元;乙种商品每件的售价为60元,利润率为50% (利润率=$\frac{售价-进价}{进价}$×100%).
(1)每件甲种商品的利润率为,乙种商品每件的进价为元.
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件,总进价恰好为3600元,求购进甲种商品多少件.
下的优惠促销活动:

在商场优惠促销活动期间,若小宇一次性购买商品实际付款981元,求小宇所购商品优惠前的总金额为多少元.

(1)25% 40
解析:每件甲种商品利润率为$\frac{100-80}{80}×100\%=25\%$,每件乙种商品进价为$\frac{60}{1+50\%}=40$(元).
(2)设购进甲种商品 $x$ 件,则购进乙种商品$(60-x)$件,根据题意得 $80x+40(60-x)=3\ 600$,解得 $x=30$.
答:购进甲种商品 30 件.
(3)设小宇所购商品优惠前的总金额为 $y$ 元.
①当优惠前一次性购物总金额超过 900 元,但不超过1 200 元时,根据题意得 $0.9y=981$,解得 $y=1\ 090$,符合条件.②当优惠前一次性购物总金额超过 1 200 元时,根据题意得 $1200×0.8+0.7(y-1\ 200)=981$,解得 $y=1\ 230$.符合条件.
答:小宇所购商品优惠前的总金额为 1 090 元或 1 230 元.