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1. (2026·泰州期末)观察下列计算结果：$3^1 - 2^1 = 1$，$3^2 - 2^2 = 5$，$3^3 - 2^3 = 19$，$3^4 - 2^4 = 65$，$3^5 - 2^5 = 211$，$3^6 - 2^6 = 665$……通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测$3^{2025} - 2^{2025}$的个位数字是（
A.1
B.5
C.9
D.2
A
）A.1
B.5
C.9
D.2
答案
1. A 解析:当 n=1 时,3¹-2¹=1,个位数字是 1;当 n=2 时,3²-2²=5,个位数字是 5;当 n=3 时,3³-2³=19,个位数字是 9;当 n=4 时,3⁴-2⁴=65,个位数字是 5;当 n=5 时,3⁵-2⁵=211,个位数字是 1;…,所以 3ⁿ-2ⁿ 的个位数字以 1,5,9,5每 4 个数为一个周期循环,2 025÷4=506……1,所以 3²⁰²⁵-2²⁰²⁵的个位数字与 n=1 时相同,为 1.故选 A.
2. (2026·宿迁期末)如图①是一根起点为1且标有单位长度的射线,现有同学将它弯折成图②的形状,弯折后落在虚线上的点,从起点开始往右上方第一个数是1,第二个数是13,第三个数是57,…,依此规律,落在虚线上的第六个点对应的数是 (
A.241
B.247
C.363
D.381
D
)A.241
B.247
C.363
D.381
答案
2. D 解析:第 1 个数为 1,由第 1 个数到第 2 个数,折线长为(1+2+3)个单位长度,所以第 2 个数增加(2+4+6),即第2 个数为 1+2+4+6=13,以此类推,第 3 个数为 13+8+10+12+14=57,第 4 个数为 57+16+18+20+22=133,第 5 个数为 133+24+26+28+30=241,第 6 个数为 241+32+34+36+38=381.故选 D.
3. (2026·盐城期末)杨辉三角形是一个由数排列成的三角形数表，如图，它的两条斜边都是1，而其余的数则等于它“肩”上的两个数之和。通常，我们将行数从0开始数，即第0行、第1行、第2行、第3行，…，则第0行至第9行所有数之和=
1 023
。答案
3. 1 023 解析:由题图可得,第 0 行的数之和为 1;第 1 行的数之和为 1+1=2=2¹;第 2 行的数之和为 1+2+1=4=2²;第3 行的数之和为 1+3+3+1=8=2³;第 4 行的数之和为 1+4+6+4+1=16=2⁴;…;第 9 行的数之和为 2⁹;所以第 0 行至第9 行所有数之和 = 1+2¹+2²+2³+…+2⁹,设 S = 1+2¹+2²+2³+…+2⁹ ①,所以 2S=2¹+2²+2³+2⁴…+2¹⁰ ②,所以②-①得 S=2¹⁰-1=1 023.
4. (2026·宿迁期末)如图,圆上有九个点,这九个点将圆分成九等份(每一份称为一段弧长),把这九个点按顺时针方向依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,若从某一点开始,沿圆周顺时针方向行走,点的编号是数字几,就走几段弧长,则称这种走
法为一次“移位”.如:小明在编号为3的点,那么他应走3段弧长,即从3→4→5→6为第一次“移位”,这时他到达编号为6的点,然后从6→7→8→9→1→2→3为第二次“移位”.若小明从编号为1的点开始,沿顺时针方向,按上述“移位”方式行走,当“移位”2 026次时,小明到达圆弧点编号为
法为一次“移位”.如:小明在编号为3的点,那么他应走3段弧长,即从3→4→5→6为第一次“移位”,这时他到达编号为6的点,然后从6→7→8→9→1→2→3为第二次“移位”.若小明从编号为1的点开始,沿顺时针方向,按上述“移位”方式行走,当“移位”2 026次时,小明到达圆弧点编号为
7
.答案
4. 7 解析:由题知,因为小明从编号为 1 的点开始,所以当“移位”1 次时,小明到达的圆弧点编号为 2,当“移位”2 次时,小明到达的圆弧点编号为 4,当“移位”3 次时,小明到达的圆弧点编号为 8,当“移位”4 次时,小明到达的圆弧点编号为 7,当“移位”5 次时,小明到达的圆弧点编号为 5,当“移位”6 次时,小明到达的圆弧点编号为 1,…,由此可见,从第 1 次“移位”开始,每经过 6 次“移位”,小明到达的圆弧点编号按 2,4,8,7,5,1 循环.因为 2 026÷6=337……4,所以当“移位”2 026 次时,小明到达的圆弧点编号为 7.
5. (2026·苏州期末)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点,…,按此规律第5个图中共有点的个数是 (
A.31
B.46
C.51
D.66
B
)A.31
B.46
C.51
D.66
答案
5. B 解析:由题图可知,第 1 个图中共有 1+1×3=4(个)点,第 2 个图中共有 1+1×3+2×3=10(个)点,第 3 个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19(个)点,…,由此规律得出第 n 个图中有(1+1×3+2×3+3×3+…+3n)个点.所以第 5 个图中共有点的个数是 1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46.故选 B.
6. (2026·苏州期末)图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感.例如：$\frac{1}{21}=0.\dot{0}4761\dot{9}$.图①是将$0.\dot{0}4761\dot{9}$从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”“△”“◇”“□”“☆”“⚙”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案.图②是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是（
A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
A
）A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
6. A 解析:因为$\frac{4}{27}≈0.148 148$,$\frac{3}{13}≈0.230 769 230 769$,$\frac{2}{11}≈0.181 8$,$\frac{1}{9}≈0.111$,由题图②可知,该数字仅有一个“○”,其他为“△”“◇”“☆”三种图形,则“○”应表示数字 0,然后这个数的循环节有三位,所以该数为$\frac{4}{27}$,故选 A.
