三、解答题
19. (1)解分式方程：$\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2 - 4}$；
(2)计算：$( \frac{x^2}{1+x} - x ) ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x +1}$。

(1) 解分式方程
解：方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得
$x(x+2) - (x+2)(x-2) = 8$
展开并化简：
$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 8$
合并同类项得：
$2x = 4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
$\therefore$ 原分式方程无解。
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(2) 分式计算
解：先计算括号内的运算：
$\frac{x^2}{1+x} - x = \frac{x^2 - x(1+x)}{1+x} = \frac{x^2 - x - x^2}{1+x} = \frac{-x}{x+1}$
对除式的分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{-x}{x+1} ÷ \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2} \\&= \frac{-x}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} \\&= -\frac{x}{x-1}\end{aligned}$

20. 先化简，再求值：$\frac{m^2 + 4m + 4}{m - 1} ÷ ( \frac{3}{m - 1} - m - 1 )$，其中 $m = \sqrt{2}$。

解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+2)^2}{m-1} ÷ ( \frac{3}{m-1} - \frac{(m+1)(m-1)}{m-1} )\\&=\frac{(m+2)^2}{m-1} ÷ \frac{3 - m^2 + 1}{m-1}\\&=\frac{(m+2)^2}{m-1} ÷ \frac{4 - m^2}{m-1}\\&=\frac{(m+2)^2}{m-1} · \frac{m-1}{(2-m)(2+m)}\\&=\frac{m+2}{2-m}\end{aligned}$
当$m=\sqrt{2}$时：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{2}+2}{2-\sqrt{2}}\\&=\frac{(\sqrt{2}+2)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}\\&=\frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4-2}\\&=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}\\&=3+2\sqrt{2}\end{aligned}$

21. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$E$是$BD$上一点，$EA⊥ AB$，且$EB=EC$。
(1)若$∠ ABC=40°$，求$∠ DEC$的度数；
(2)求证：$BC=2AB$。

解：
(1)
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=40°
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 20°$
∵ $EB = EC$
∴ $∠ ECB = ∠ EBC = 20°$
∵ $∠ DEC$是$△ BEC$的外角
∴ $∠ DEC = ∠ ECB + ∠ EBC = 20° + 20° = 40°$
(2) 证明：
过点E作$EF ⊥ BC$于点F，
∵ $EA ⊥ AB$，$EF ⊥ BC$，BD平分$∠ ABC$，
∴ $EA = EF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ FBE$中，
$\begin{cases} BE=BE \\ EA=EF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ FBE \ (\mathrm{HL})$
∴ $AB = BF$
∵ $EB = EC$，$EF ⊥ BC$，
∴ F为BC中点（等腰三角形三线合一），即 $BC = 2BF$
∴ $BC = 2AB$