13. 如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点。

Q

解：根据旋转的性质，旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点。
分别连接格点三角形甲与格点三角形乙的两组对应点，作出两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点Q，因此旋转中心是点Q。

14. 如图，在$□ ABCD$中，$AD=5$，对角线$AC=13$，以点$B$为圆心，$BC$的长为半径作弧交$AC$于点$E$；再分别以点$C$，$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}CE$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$，射线$BM$交$AC$于点$N$。若$BN=4$，则$AE$的长是。

$\boldsymbol{7}$

解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $BC = AD = 5$。
由作图过程可知：$BE=BC$，直线$BM$垂直平分线段$CE$，
∴ $BN ⊥ AC$，$EN = CN$。
在$\mathrm{Rt}△ BNC$中，$∠ BNC=90°$，$BC=5$，$BN=4$，
由勾股定理得：
$CN = \sqrt{BC^2 - BN^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$
∴ $CE = 2CN = 6$。
又∵ $AC=13$，
∴ $AE = AC - CE = 13 - 6 = 7$。

15.按照如下程序,输入x的值并计算。规定从“输入一个值x”到“判断结果是否≥110”为一次程序操作,如果程序操作进行了两次才停止,那么x的取值范围是。

解：
根据程序操作进行了两次才停止，可得不等式组：
$\begin{cases}5x + 10 ＜ 110 & \mathrm{第一次操作结果小于110，未停止} \\5(5x + 10) + 10 \ge 110 & \mathrm{第二次操作结果大于等于110，停止}\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x ＜ 100 \implies x ＜ 20$
解第二个不等式：
$25x + 50 + 10 \ge 110 \\25x \ge 50 \\x \ge 2$
综上，x的取值范围是$\boldsymbol{2 \le x ＜ 20}$。

16.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$CD$平分$∠ ACB$,过点$B$作$BD⊥ CD$,垂足为点$D$,连接$AD$。若$AB=6$,$AC=10$,则$△ ABD$的面积为。

$\boldsymbol{\dfrac{12}{5}}$

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=6$，$AC=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
延长$BD$交$AC$于点$E$。
因为$CD$平分$∠ ACB$，所以$∠ BCD=∠ ECD$。
又$BD⊥ CD$，所以$∠ CDB=∠ CDE=90°$。
在$△ CBD$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BCD=∠ ECD \\CD=CD \\∠ CDB=∠ CDE\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
得$BD=DE$，$CE=BC=8$。
因此$AE=AC-CE=10-8=2$。
$△ ABC$的面积为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
$△ ABE$和$△ CBE$同高（点$B$到$AC$的垂线段为公共高），面积比等于底边长之比：
$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，
所以$S_{△ ABE}=24×\frac{1}{5}=\frac{24}{5}$。
因为$BD=DE$，即$D$是$BE$中点，$AD$是$△ ABE$的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$。

17.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=6$，$P$是边$AB$上一动点(不与点$A,B$重合)，将$△ BCP$沿$CP$翻折，点$B$的对应点为点$D$。若$CD$与直线$BC$所夹的锐角为$60°$，则$AP$的长为________。

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=6$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3$，$∠ B=60°$，$AC=AB·\cos30°=3\sqrt{3}$。
由翻折性质得：$CD=BC=3$，$∠ DCP=∠ BCP$。
根据$CD$与直线$BC$所夹锐角为$60°$，分两种情况讨论：
① 当$∠ BCD=60°$，$CD$在$∠ ACB$内部时：
$∠ BCP=∠ DCP=\frac{1}{2}∠ BCD=30°$，
$\therefore ∠ ACP=∠ ACB-∠ BCP=90°-30°=60°$，
在$△ ACP$中，$∠ A=30°$，$∠ ACP=60°$，
$\therefore ∠ APC=180°-30°-60°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，$AP=AC·\cos30°=3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$。
② 当$∠ BCD=120°$，$CD$在$∠ ACB$外侧，与直线$BC$的夹角锐角为$60°$时：
$∠ BCP=∠ DCP=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △ BCP$为等边三角形，
$\therefore BP=BC=3$，
$\therefore AP=AB-BP=6-3=3$。
综上，$AP$的长为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$。

18.如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AE$平分$∠ BAD$交$BC$于点$E$，且$∠ ADC=60°$，$AB=\dfrac{1}{2}BC$，连接$OE$。有下列结论：①$∠ CAD=30°$；②$S_{□ ABCD}=AB· AC$；③$OB=AB$；④$OE=\dfrac{1}{4}BC$；⑤$∠ AEO=60°$。其中成立的有________（填序号）。

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=180°-∠ADC=120°，AD//BC，AB=CD，AD=BC。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠EAD=60°，
∴ △ABE中，∠BAE=∠ABE=60°，即△ABE为等边三角形，
∴ AB=BE=AE。
∵ AB=1/2 BC，
∴ EC=BC-BE=2AB-AB=AB，
∴ AE=EC=CD。
∵ ∠AEC=180°-∠AEB=120°，
∴ ∠EAC=∠ECA=1/2×(180°-120°)=30°，
∵ AD//BC，
∴ ∠CAD=∠ECA=30°，故①成立。
∵ ∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+30°=90°，即AB⊥AC，
∴ $S_{□ ABCD}=AB· AC$，故②成立。
∵ 平行四边形对角线互相平分，∴ $OB=\frac{1}{2}BD$，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=2AB，由勾股定理得$AC=\sqrt{3}AB$，
由平行四边形性质可得$BD=\sqrt{7}AB$，即$OB=\frac{\sqrt{7}}{2}AB＞AB$，故③不成立。
∵ O是AC中点，E是BC中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AB$，
又∵ $AB=\frac{1}{2}BC$，
∴ $OE=\frac{1}{4}BC$，故④成立。
∵ OE//AB，∴ ∠OEC=∠ABC=60°，
∵ ∠AEB=60°，
∴ ∠AEO=180°-∠AEB-∠OEC=180°-60°-60°=60°，故⑤成立。
综上，成立的有$\boldsymbol{①②④⑤}$。