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4，BC=7，则EF的长为
1.5
.答案
3.1.5
4.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=2，则EF的长为
5
。答案
4.5
1. 如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，$△ ABC$的三个顶点都在网格中的格点上.
(1)求$△ ABC$的周长.
(2)判断$△ ABC$的形状，并求$△ ABC$边$AC$上的高.
(1)求$△ ABC$的周长.
(2)判断$△ ABC$的形状，并求$△ ABC$边$AC$上的高.
答案
1. 解：(1) $AB = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}, AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5, BC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}, \therefore C_{△ ABC} = 2\sqrt{5}+5+\sqrt{5} = 5+3\sqrt{5}$.
(2) $\because AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20, BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5, AC^2 = 5^2 = 25, \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$, 故$△ ABC$是直角三角形. 设$△ ABC$边$AC$上的高为$h$,
$\therefore \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = \frac{1}{2} × 5 · h$, 解得 $h = 2$, 则$△ ABC$边$AC$上的高为2.
(2) $\because AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20, BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5, AC^2 = 5^2 = 25, \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$, 故$△ ABC$是直角三角形. 设$△ ABC$边$AC$上的高为$h$,
$\therefore \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = \frac{1}{2} × 5 · h$, 解得 $h = 2$, 则$△ ABC$边$AC$上的高为2.
解析
【分析】
(1) 要求△ABC的周长，需先求出三边的长度。网格中格点线段的长度可通过勾股定理计算：将所求线段作为直角三角形的斜边，横向、纵向的格距作为直角边，即可求出每条边的长度，再相加得到周长。
(2) 判断三角形形状时，已知三边长可通过勾股定理的逆定理验证：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。求AC边上的高可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，列等式即可求出高的长度。
【解析】
(1) 根据勾股定理计算三边长度：
AB横向相差2格，纵向相差4格，因此$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
AC横向相差4格，纵向相差3格，因此$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
BC横向相差2格，纵向相差1格，因此$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
则△ABC的周长为$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt{5}+5+\sqrt{5}=5+3\sqrt{5}$。
(2) 验证三边平方的关系：
$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=20+5=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ B=90°$。
设AC边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × h$
代入数值化简：$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = \frac{1}{2} × 5 · h$，
解得$h=2$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$5+3\sqrt{5}$；
(2) $△ ABC$是直角三角形，边$AC$上的高为$2$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等面积法求高
【点评】
本题结合网格背景考查三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理求格点线段长度的方法，灵活运用勾股定理逆定理判断直角三角形，等面积法是求三角形高的常用技巧，需熟练运用。
【难度系数】
0.8
(1) 要求△ABC的周长，需先求出三边的长度。网格中格点线段的长度可通过勾股定理计算：将所求线段作为直角三角形的斜边，横向、纵向的格距作为直角边，即可求出每条边的长度，再相加得到周长。
(2) 判断三角形形状时，已知三边长可通过勾股定理的逆定理验证：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。求AC边上的高可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，列等式即可求出高的长度。
【解析】
(1) 根据勾股定理计算三边长度：
AB横向相差2格，纵向相差4格，因此$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
AC横向相差4格，纵向相差3格，因此$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
BC横向相差2格，纵向相差1格，因此$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
则△ABC的周长为$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt{5}+5+\sqrt{5}=5+3\sqrt{5}$。
(2) 验证三边平方的关系：
$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=20+5=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ B=90°$。
设AC边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × h$
代入数值化简：$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = \frac{1}{2} × 5 · h$，
解得$h=2$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$5+3\sqrt{5}$；
(2) $△ ABC$是直角三角形，边$AC$上的高为$2$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等面积法求高
【点评】
本题结合网格背景考查三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理求格点线段长度的方法，灵活运用勾股定理逆定理判断直角三角形，等面积法是求三角形高的常用技巧，需熟练运用。
【难度系数】
0.8
2. 某校开展“珍爱生命，牢记安全”为主题的知识竞赛（满分100分）. 该校从八(1)班学生中随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）作为一个样本进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表.
【收集数据】八(1)班学生成绩的抽样数据：85,95,100,90,90,80,85,90,80,100,80,85,90,95,90,95,95,95,95,100,95.
【描述数据】抽样成绩的条形统计图如下：
【分析数据】八(1)班抽样成绩分析表如下：
【应用数据】根据以上信息，解答下列问题.
(1)请补全条形统计图.
(2)求$m,n,p$的值.
(3)如果下表是从八(2)班学生抽样的分析数据：
对比(1)班、(2)班的抽样分析数据，你认为哪个班级学生的成绩更好一些？请说明理由.
【收集数据】八(1)班学生成绩的抽样数据：85,95,100,90,90,80,85,90,80,100,80,85,90,95,90,95,95,95,95,100,95.
【描述数据】抽样成绩的条形统计图如下：
【分析数据】八(1)班抽样成绩分析表如下：
【应用数据】根据以上信息，解答下列问题.
(1)请补全条形统计图.
(2)求$m,n,p$的值.
(3)如果下表是从八(2)班学生抽样的分析数据：
对比(1)班、(2)班的抽样分析数据，你认为哪个班级学生的成绩更好一些？请说明理由.
答案
2. 解:(1)由题意可知,八(1)班学生成绩为90分的有4人,为95分的有7人,补全条形统计图如下：
(2)$m=\frac{80 × 3 + 85 × 3 + 90 × 4 + 95 × 7 + 100 × 3}{20} = 91$. 把八(1)班的抽样成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别是 90,95,故中位数 $n = \frac{90+95}{2} = 92.5$. 八(1)班抽样成绩的方差 $p = \frac{1}{20} × [3 × (80-91)^2 + 3 × (85-91)^2 + 4 × (90-91)^2 + 7 × (95-91)^2 + 3 × (100-91)^2] = 41.5$.
(3)八(2)班学生的成绩更好一些. 理由如下:虽然两个班学生成绩的平均数相同,但八(2)班学生的成绩的方差比八(1)班的小,成绩更稳定,所以八(2)班学生的成绩更好一些.(合理即可).
解析
【分析】
1. 第(1)问：先统计抽样数据中各分数对应的人数，和已给出的条形图标注数据核对后，补全对应分数的条形高度即可。
2. 第(2)问：m为平均数，使用加权平均数公式，将各分数乘对应人数求和，再除以总人数20计算；n为中位数，将20个成绩从小到大排序后，取第10、11个数据的平均数即可；p为方差，根据方差公式，先计算每个分数与平均数的差的平方，乘对应人数求和后，除以总人数20得到结果。
3. 第(3)问：对比两个班级的平均数、中位数、方差等统计量，从平均水平、成绩稳定性等角度分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 统计各分数人数：80分3人，85分3人，90分4人，95分7人，100分3人，按照上述人数补全条形统计图的对应高度即可。
(2) 计算平均数$m$：
根据加权平均数公式：
$m=\frac{80 × 3 + 85 × 3 + 90 × 4 + 95 × 7 + 100 × 3}{20}=\frac{1820}{20}=91$
求中位数$n$：
将20个成绩从小到大排列后，第10个数据为90，第11个数据为95，因此$n=\frac{90+95}{2}=92.5$
计算方差$p$：
根据方差公式：
$p = \frac{1}{20} × [3 × (80-91)^2 + 3 × (85-91)^2 + 4 × (90-91)^2 + 7 × (95-91)^2 + 3 × (100-91)^2]$
$=\frac{1}{20}×(3×121+3×36+4×1+7×16+3×81)=\frac{830}{20}=41.5$
(3) 可从统计量特征分析：若两个班平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此方差更小的班级成绩更好，结论合理即可。
【答案】
(1)补全条形统计图如下：
(2)$m=91$，$n=92.5$，$p=41.5$
(3)八(2)班学生的成绩更好一些。理由如下:虽然两个班学生成绩的平均数相同,但八(2)班学生的成绩的方差比八(1)班的小,成绩更稳定,所以八(2)班学生的成绩更好一些。(合理即可)
【知识点】
条形统计图；统计量计算；数据分析
【点评】
本题结合实际情景考查统计模块的基础知识点，要求掌握条形图的绘制、常见统计量的计算方法，同时能利用统计量的实际意义对数据进行分析比较，侧重基础能力的考察。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先统计抽样数据中各分数对应的人数，和已给出的条形图标注数据核对后，补全对应分数的条形高度即可。
2. 第(2)问：m为平均数，使用加权平均数公式，将各分数乘对应人数求和，再除以总人数20计算；n为中位数，将20个成绩从小到大排序后，取第10、11个数据的平均数即可；p为方差，根据方差公式，先计算每个分数与平均数的差的平方，乘对应人数求和后，除以总人数20得到结果。
3. 第(3)问：对比两个班级的平均数、中位数、方差等统计量，从平均水平、成绩稳定性等角度分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 统计各分数人数：80分3人，85分3人，90分4人，95分7人，100分3人，按照上述人数补全条形统计图的对应高度即可。
(2) 计算平均数$m$：
根据加权平均数公式：
$m=\frac{80 × 3 + 85 × 3 + 90 × 4 + 95 × 7 + 100 × 3}{20}=\frac{1820}{20}=91$
求中位数$n$：
将20个成绩从小到大排列后，第10个数据为90，第11个数据为95，因此$n=\frac{90+95}{2}=92.5$
计算方差$p$：
根据方差公式：
$p = \frac{1}{20} × [3 × (80-91)^2 + 3 × (85-91)^2 + 4 × (90-91)^2 + 7 × (95-91)^2 + 3 × (100-91)^2]$
$=\frac{1}{20}×(3×121+3×36+4×1+7×16+3×81)=\frac{830}{20}=41.5$
(3) 可从统计量特征分析：若两个班平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此方差更小的班级成绩更好，结论合理即可。
【答案】
(1)补全条形统计图如下：
(2)$m=91$，$n=92.5$，$p=41.5$
(3)八(2)班学生的成绩更好一些。理由如下:虽然两个班学生成绩的平均数相同,但八(2)班学生的成绩的方差比八(1)班的小,成绩更稳定,所以八(2)班学生的成绩更好一些。(合理即可)
【知识点】
条形统计图；统计量计算；数据分析
【点评】
本题结合实际情景考查统计模块的基础知识点，要求掌握条形图的绘制、常见统计量的计算方法，同时能利用统计量的实际意义对数据进行分析比较，侧重基础能力的考察。
【难度系数】
0.7
