3.某校为优化智能机器人编程的校本课程，计划购买A，B两种型号的机器人模型用于教学.
据市场调查发现:A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，且购进5台A型机器人模型和6台B型机器人模型刚好花费4 300元.
(1)A型和B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)若学校准备再次购买A型和B型的机器人模型共40台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，应如何购买，才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，并求出最低费用.

3. 解:(1)设 A 型机器人模型的单价是 $a$ 元,B型机器人模型的单价是 $b$ 元.
根据题意,得 $\begin{cases} a-b=200, \\ 5a+6b=4300, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=500, \\ b=300. \end{cases}$
故 A 型机器人模型的单价是 500 元,B 型机器人模型的单价是 300 元.
(2)设购买 A 型机器人模型 $x$ 台,则购买 B 型机器人模型 $(40-x)$ 台. 根据题意,得 $40-x \le 3x$, 解得 $x \ge 10$. 设购买总费用为 $W$ 元,则 $W = 500x + 300(40-x) = 200x + 12000$. $\because 200＞0$, $\therefore W$ 随 $x$ 的增大而增大. $\because x \ge 10$, $\therefore$ 当 $x=10$ 时, $W$ 的值最小, $W_{\mathrm{最小}} = 200 × 10 + 12000 = 14000$, 此时购买 B 型机器人模型 $40-10=30$(台).
故购买 A 型机器人模型 10 台、B 型机器人模型 30 台才能使 A,B 两种型号的机器人模型的购买总费用最低,最低费用为 14000 元.

【分析】
（1）第一问求解两种机器人模型的单价，题目给出两个明确等量关系：①A型单价比B型单价多200元；②5台A型和6台B型总花费4300元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问求总费用最低的购买方案，首先设A型购买数量为x，可得B型购买数量为(40-x)，先根据“B型数量不超过A型数量的3倍”列不等式求出x的取值范围；再列出总费用关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，就能在x的取值范围内找到总费用最小值对应的购买方案。
【解析】
(1)设A型机器人模型的单价是$a$元，B型机器人模型的单价是$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a-b=200 \\ 5a+6b=4300 \end{cases}$
将$a=b+200$代入第二个方程，得$5(b+200)+6b=4300$，解得$b=300$，则$a=300+200=500$。
(2)设购买A型机器人模型$x$台，则购买B型机器人模型$(40-x)$台。
根据题意列不等式：$40-x \le 3x$，解得$x \ge 10$。
设购买总费用为$W$元，则$W=500x+300(40-x)=200x+12000$。
$\because 200＞0$，$\therefore W$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值10时，$W$最小。
此时$W_{\mathrm{最小}}=200×10+12000=14000$元，对应B型购买数量为$40-10=30$台。
【答案】
(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元；
(2)购买A型机器人模型10台、B型机器人模型30台时总费用最低，最低费用为14000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是生活实际类综合应用题，核心考点是梳理题目中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求最优方案，是应用题的高频考法，掌握解题逻辑后可快速解答同类型题目。
【难度系数】
0.6

4. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作$CE // OD$，过点D作$DE // AC$，CE与DE相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形.
(2)若$CD=6$，$CE=3\sqrt{3}$，求AD与BC之间的距离.

4. (1)证明: $\because CE // OD, DE // AC, \therefore$ 四边形 OCED 是平行四边形. $\because$ 四边形 ABCD 是菱形, $\therefore AC ⊥ BD, \therefore ∠ COD = 90°, \therefore$ 四边形 OCED 是矩形.
(2)解:如图,过点 C 作 $CM ⊥ AD$.

由(1)得四边形 OCED 是矩形, $\therefore OD = CE = 3\sqrt{3}$. 由(1)得 $∠ COD = 90°$, 在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中, $CD=6, OD=3\sqrt{3}$. 由勾股定理得 $OC = \sqrt{CD^2-OD^2} = \sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2} = 3$. $\because$ 四边形 ABCD 是菱形, $OD=3\sqrt{3}, OC=3, AD=6$, $\therefore BD=2OD=6\sqrt{3}, AC=2OC=6, AD=CD=6$. $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2} × 6 × 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}, \therefore CM = \frac{18\sqrt{3}}{AD} = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$, 即 AD 与 BC 之间的距离为 $3\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要证明四边形OCED是矩形，可按照“先判定平行四边形，再证明有一个内角为直角”的思路推导：首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证得四边形OCED是平行四边形；再结合菱形对角线互相垂直的性质，得到∠COD=90°，即可证明该平行四边形是矩形。
(2) AD与BC是菱形的一组对边，二者的距离就是菱形对应边上的高，可通过面积法求解：先利用矩形的性质得到OD的长度，在Rt△COD中用勾股定理求出OC的长，进而得到菱形两条对角线的长度，计算出菱形的面积后，用面积除以菱形边长即可得到所求的距离。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE//OD，DE//AC，
∴ 四边形OCED是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴ 平行四边形OCED是矩形。
(2) 解：
过点C作CM⊥AD，CM即为AD与BC之间的距离。
由(1)得四边形OCED是矩形，
∴ OD=CE=3√3。
在Rt△COD中，∠COD=90°，CD=6，OD=3√3，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC=2OC=6，BD=2OD=6√3，AD=CD=6。
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$，
又
∵ $S=AD·CM$，
∴ $CM=\frac{S}{AD}=\frac{18\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明: $\because CE // OD, DE // AC, \therefore$ 四边形 OCED 是平行四边形. $\because$ 四边形 ABCD 是菱形, $\therefore AC ⊥ BD, \therefore ∠ COD = 90°, \therefore$ 四边形 OCED 是矩形.
(2)解:如图,过点 C 作 $CM ⊥ AD$.

由(1)得四边形 OCED 是矩形, $\therefore OD = CE = 3\sqrt{3}$. 由(1)得 $∠ COD = 90°$, 在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中, $CD=6, OD=3\sqrt{3}$. 由勾股定理得 $OC = \sqrt{CD^2-OD^2} = \sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2} = 3$. $\because$ 四边形 ABCD 是菱形, $OD=3\sqrt{3}, OC=3, AD=6$, $\therefore BD=2OD=6\sqrt{3}, AC=2OC=6, AD=CD=6$. $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2} × 6 × 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}, \therefore CM = \frac{18\sqrt{3}}{AD} = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$, 即 AD 与 BC 之间的距离为 $3\sqrt{3}$.
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质，以及勾股定理、面积法的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理，灵活运用面积法求解平行线间的距离，对巩固四边形相关核心知识有较好的作用。
【难度系数】
0.7