1. 如图,公园在点 M 处,与少年宫 O 处相距 80 km.下列用方向和距离描述少年宫 O 相对于公园 M 的位置,正确的是()

A.南偏东 $20°,80\ \mathrm{km}$
B.东偏南 $70°,80\ \mathrm{km}$
C.北偏西 $20°,80\ \mathrm{km}$
D.北偏东 $70°,80\ \mathrm{km}$

C

1. 先以少年宫O为观测点：由图可知OM与正东方向夹角为70°，正东与正南方向夹角为90°，可得点M在O的南偏东20°方向，两点相距80km。
2. 描述O相对于M的位置时，观测点变为公园M，根据位置的相对性：两点相对位置的方向相反，角度、距离均不变，因此少年宫O在公园M的北偏西20°方向，距离为80km。

2. 已知$P(0,-4),Q(6,1)$，将线段$PQ$平移至$P_1Q_1$。若$P_1(m,-3)$，$Q_1(3,n)$，则$n^m$的值是（）

A.$-8$
B.$-6$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$9$

C

根据平移的性质，线段平移过程中所有点的横、纵坐标变化量完全相同：
1. 计算横坐标变化量：Q点原横坐标为6，平移后$Q_1$横坐标为3，横坐标变化量为$3-6=-3$，因此P点平移后的横坐标$m=0+(-3)=-3$。
2. 计算纵坐标变化量：P点原纵坐标为-4，平移后$P_1$纵坐标为-3，纵坐标变化量为$-3-(-4)=1$，因此Q点平移后的纵坐标$n=1+1=2$。
3. 计算$n^m=2^{-3}=\frac{1}{8}$。

3.若点$P(m,1-2m)$在第二、四象限的角平分线上，则$m$的值为________.

1

根据平面直角坐标系的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，即横纵坐标之和为0。将点$P(m,1-2m)$的坐标代入该规律可得方程：$m + (1 - 2m) = 0$，化简后得到$1 - m = 0$，解得$m=1$。

4.若点$A(x,y)$的坐标满足等式$x+y-xy=0$，则该点$A$为“和谐点”.若某个“和谐点”到$x$轴的距离为3，则该点的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

$(\frac{3}{2},3)$和$(\frac{3}{4},-3)$

根据平面直角坐标系的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，由题意可知该“和谐点”的纵坐标满足|y|=3，即y=3或y=-3，分两种情况代入等式x+y-xy=0计算：
① 当y=3时，代入等式得：x + 3 - 3x = 0，解得$x=\frac{3}{2}$；
② 当y=-3时，代入等式得：x - 3 + 3x = 0，解得$x=\frac{3}{4}$。
综上即可得到符合条件的点的坐标。

5.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈$1→4→2→1$,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中,将点$(x,y)$中的$x,y$分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中$x,y$均为正整数.例如,点$(6,3)$经过第1次运算得到点$(3,10)$,经过第2次运算得到点$(10,5)$.以此类推,点$(1,4)$经过2 026次运算后得到点$\underline{\hspace{5cm}}$.

(4,2)

我们先依次计算点(1,4)前几次的运算结果，寻找循环规律：
1. 第1次运算：x=1是奇数，按规则得1×3+1=4；y=4是偶数，按规则得4÷2=2，得到点(4,2)。
2. 第2次运算：x=4是偶数，按规则得4÷2=2；y=2是偶数，按规则得2÷2=1，得到点(2,1)。
3. 第3次运算：x=2是偶数，按规则得2÷2=1；y=1是奇数，按规则得1×3+1=4，回到初始点(1,4)。
由此可得运算周期为3，每3次运算完成一次循环。
计算2026除以3：2026 = 3×675 + 1，余数为1，说明2026次运算后的结果和第1次运算后的结果一致。

6. 在平面直角坐标系中，$O$为原点，点$A(0,-3),B(-2,0)$。
(1) 如图①，三角形$OAB$的面积为________。
(2) 如图②，将线段$AB$向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段$A'B'$，连接$OA',OB'$。
①求三角形$OA'B'$的面积；
②$P(-1,m)(m＞0)$是一动点，若$S_{\mathrm{三角形}POB}=10$，请直接写出点$P$的坐标。

(1) $\boldsymbol{3}$
(2) ① 三角形$OA'B'$的面积为$\boldsymbol{\frac{17}{2}}$（或$8.5$）；② 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-1,10)}$。

(1) 已知点$A(0,-3)$，$B(-2,0)$，可得$OA=3$，$OB=2$，且$∠ AOB=90°$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(2) ① 先根据平移规则求对应点坐标：
点$A(0,-3)$向右平移5个单位、向上平移4个单位，得$A'(0+5,-3+4)$，即$A'(5,1)$；
点$B(-2,0)$向右平移5个单位、向上平移4个单位，得$B'(-2+5,0+4)$，即$B'(3,4)$。
用割补法计算面积：过$A'$作$A'N⊥ x$轴于$N$，过$B'$作$B'M⊥ x$轴于$M$，
$S_{△ OA'B'}=S_{△ OB'M}+S_{\mathrm{梯形}B'MNA'}-S_{△ OA'N}$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×(4+1)×(5-3)-\frac{1}{2}×5×1$
$=6+5-2.5=\frac{17}{2}$。
② 点$B(-2,0)$，$OB$在$x$轴上，长度为2，点$P(-1,m)$到$OB$（$x$轴）的距离为$m$，由$S_{△ POB}=10$得：
$\frac{1}{2}×2× m=10$，解得$m=10$，因此点$P$坐标为$(-1,10)$。