1. (1) 如图①,直线 $m$ 经过 $△ ABC$ 的顶点 $A$,$AB=AC$,在直线 $m$ 上取两点 $D,E$,使 $∠ ADB=$$∠ AEC=α$,补充 $∠ BAC=$(用含 $α$ 的式子表示),可使得线段 $BD$,$CE$ 与 $DE$ 之间满足$BD+CE=DE$,补充条件后证明；
(2) 在(1)的 $△ ABC$ 中,使 $∠ BAC=β$,将直线 $m$ 绕着点 $A$ 按逆时针方向旋转一个角度到如图②所示的位置,并改变条件 $∠ ADB=∠ AEC=$(用含 $β$ 的式子表示),通过观察或测量,猜想线段 $BD$,$CE$ 与 $DE$ 之间满足的数量关系,并予以证明.

1.解:(1)α 证明:
∵∠ADB=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB 和△CEA 中,
$\begin{cases}∠ADB=∠CEA, \\∠ABD=∠CAE, \\AB=CA,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD+CE=AE+AD=DE.
(2)180°−β
线段 BD,CE 与 DE 之间满足的数量关系为 BD+DE=CE. 证明:
∵∠ADB=180°−β,
∴∠ABD+∠BAD=β.
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE=β,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,
$\begin{cases}∠ADB=∠CEA, \\∠ABD=∠CAE, \\AB=CA,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD+DE=AE+DE=AD=CE.

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC$ 平分$∠ BAD,CE\bot AB$ 于点 $E,∠ B+∠ D=180°.$ 求证:$AE=AD+BE.$

2. 证明:过点 C 作 CH⊥AD,交 AD 的延长线于点 H,如答图,则∠CHA=90°.
∵AC 平分∠BAD,CE⊥AB,
∴∠BAC=∠DAC,∠CEB=∠CEA=90°.
在△AHC 和△AEC 中,
$\begin{cases}∠CAH=∠CAE, \\∠H=∠CEA, \\AC=AC,\end{cases}$
∴△AHC≌△AEC(AAS),
∴CH=CE,AH=AE.
∵∠B+∠ADC=180°,∠CDH+∠ADC=180°,
∴∠CDH=∠B.
在△CDH 和△CBE 中,
$\begin{cases}∠CDH=∠B, \\∠CHD=∠CEB, \\CH=CE,\end{cases}$
∴△CDH≌△CBE(AAS),
∴BE=DH,
∴AE=AH=AD+DH=AD+BE.