3. 已知$△ ABC$和$△ DEF$为等腰三角形，$AB=AC$，$DE=DF$，$∠ BAC=∠ EDF$，点$E$在$AB$上，点$F$在射线$AC$上.
(1)如图①，若$∠ BAC=60°$，点$F$与点$C$重合，求证：$AF=AE+AD$；
(2)如图②，若$AD=AB$，求证：$AF=AE+BC$.

3. 证明:(1)
∵∠BAC=∠EDF=60°,AB=AC,DE=DF,
∴△ABC,△DEF 为等边三角形,
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°,
∴∠BCE=∠DCA.
在△BCE 和△ACD 中,
$\begin{cases}BC=AC, \\∠BCE=∠ACD, \\CE=CD,\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,
∴AE+AD=AE+BE=AB=AF.
(2)如答图,在 FA 上截取 FM=AE,连接 DM,设 AF 与 DE 的交点为 G.
∵∠BAC=∠EDF,∠AGE=∠DGF,
∴∠AED=∠MFD.
在△AED 和△MFD 中,
$\begin{cases}AE=MF, \\∠AED=∠MFD, \\ED=FD,\end{cases}$
∴△AED≌△MFD(SAS),
∴DA=DM=AB=AC,∠ADE=∠MDF,
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM,
即∠ADM=∠EDF=∠BAC.
在△ABC 和△DAM 中,
$\begin{cases}AB=DA, \\∠BAC=∠ADM, \\AC=DM,\end{cases}$
∴△ABC≌△DAM(SAS),
∴AM=BC,
∴AE+BC=FM+AM=AF,即 AF=AE+BC.

4. (1) 如图①,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ A=∠ C=90°$,$∠ D=60°$,$AB=BC$,点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上,且$∠ EBF=60°$. 求证:$EF=AE+CF$;
(2) 如图②,若点 $E,F$ 分别在 $AD,DC$ 的延长线上,其余条件不变,求证:$AE=EF+CF$.

4. 证明:(1)如答图①,延长 EA 至点 G,使 AG=CF,连接 BG,则∠BAG=90°.
在△ABG 和△CBF 中,
$\begin{cases}BA=BC, \\∠BAG=∠C, \\AG=CF,\end{cases}$
∴△ABG≌△CBF(SAS),
∴BG=BF,∠CBF=∠ABG.
∵∠BAE=∠C=90°,∠D=60°,
∴∠ABC=360°−90°×2−60°=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠EBG=∠ABG+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠ABC−∠EBF=120°−60°=60°,
∴∠EBG=∠EBF.
在△BEG 和△BEF 中,
$\begin{cases}BG=BF, \\∠EBG=∠EBF, \\BE=BE,\end{cases}$
∴△BEG≌△BEF(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=AE+AG,
∴EF=AE+CF.
(2)如答图②,在 AE 上截取 AG=FC,连接 BG.
在△ABG 和△CBF 中,
$\begin{cases}BA=BC, \\∠A=∠BCF, \\AG=CF,\end{cases}$
∴△ABG≌△CBF(SAS),
∴BG=BF,∠CBF=∠ABG.
∵∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°,
∴∠ABC=360°−90°×2−60°=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠EBG=∠ABC−∠ABG−∠CBE=∠ABC−∠CBF−∠CBE=∠ABC−∠EBF=120°−60°=60°,
∴∠EBG=∠EBF.
在△BEF 和△BEG 中,
$\begin{cases}BF=BG, \\∠EBF=∠EBG, \\BE=BE,\end{cases}$
∴△BEF≌△BEG(SAS),
∴EF=EG.
∵AE=GE+AG,
∴AE=EF+CF.