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三、解答题
1. 如图，图1和图2均为$5×5$正方形网格，按下列要求作图：
(1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形。
(2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点P顺时针旋转$90°$后，得到的图形涂上阴影。
1. 如图，图1和图2均为$5×5$正方形网格，按下列要求作图：
(1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形。
(2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点P顺时针旋转$90°$后，得到的图形涂上阴影。
答案
解：
(1) 将图1中最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂上阴影，得到的全部阴影部分为中心对称图形，满足题目要求。
(2) 作图过程：
① 确定3个原有阴影小正方形的所有顶点，将每个顶点绕点P顺时针旋转90°，得到各点的对应点；
② 依次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求图形。
(1) 将图1中最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂上阴影，得到的全部阴影部分为中心对称图形，满足题目要求。
(2) 作图过程：
① 确定3个原有阴影小正方形的所有顶点，将每个顶点绕点P顺时针旋转90°，得到各点的对应点；
② 依次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求图形。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先明确中心对称图形的定义：图形绕某一点旋转180°后能与自身重合。先确定5×5网格的对称中心（即网格正中间的格点），再逐一排查空白小方格，找到添加后能让所有阴影方格绕对称中心旋转180°后两两对应的位置即可。
(2) 解决第二问要用到旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先找出原有阴影图形的所有顶点，分别作出各顶点绕P顺时针旋转90°的对应点，再按原图形的形状顺次连接对应点、涂阴影即可。
【解析】
(1) 根据中心对称图形的定义，先找到5×5网格的对称中心，观察现有4个阴影小方格的位置，将最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂成阴影后，整个阴影部分绕对称中心旋转180°能完全与自身重合，符合要求。
(2) 按照旋转作图的步骤操作：
① 标记原有3个阴影小正方形的所有顶点，分别将每个顶点与点P连接，把所得线段绕点P顺时针旋转90°，保持线段长度不变，得到各顶点的对应点；
② 按照原有阴影小正方形的连接顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求的旋转后图形。
【答案】
(1) 将图1中最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂上阴影，得到的全部阴影部分为中心对称图形，满足题目要求。
(2) 作图过程：
① 确定3个原有阴影小正方形的所有顶点，将每个顶点绕点P顺时针旋转90°，得到各点的对应点；
② 依次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求图形。
【知识点】
中心对称图形，旋转的性质，旋转作图
【点评】
本题属于网格基础作图题，重点考查对中心对称特征和旋转性质的灵活运用，只要掌握对应概念和作图的基本步骤，找准对应点就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需先明确中心对称图形的定义：图形绕某一点旋转180°后能与自身重合。先确定5×5网格的对称中心（即网格正中间的格点），再逐一排查空白小方格，找到添加后能让所有阴影方格绕对称中心旋转180°后两两对应的位置即可。
(2) 解决第二问要用到旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先找出原有阴影图形的所有顶点，分别作出各顶点绕P顺时针旋转90°的对应点，再按原图形的形状顺次连接对应点、涂阴影即可。
【解析】
(1) 根据中心对称图形的定义，先找到5×5网格的对称中心，观察现有4个阴影小方格的位置，将最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂成阴影后，整个阴影部分绕对称中心旋转180°能完全与自身重合，符合要求。
(2) 按照旋转作图的步骤操作：
① 标记原有3个阴影小正方形的所有顶点，分别将每个顶点与点P连接，把所得线段绕点P顺时针旋转90°，保持线段长度不变，得到各顶点的对应点；
② 按照原有阴影小正方形的连接顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求的旋转后图形。
【答案】
(1) 将图1中最下方阴影小方格左侧的白色小方格涂上阴影，得到的全部阴影部分为中心对称图形，满足题目要求。
(2) 作图过程：
① 确定3个原有阴影小正方形的所有顶点，将每个顶点绕点P顺时针旋转90°，得到各点的对应点；
② 依次连接所有对应点，得到旋转后的3个小正方形，将这3个小正方形全部涂上阴影，即为所求图形。
【知识点】
中心对称图形，旋转的性质，旋转作图
【点评】
本题属于网格基础作图题，重点考查对中心对称特征和旋转性质的灵活运用，只要掌握对应概念和作图的基本步骤，找准对应点就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,$∠ C = 30°$,$AB = 1$,将$△ ABC$绕顶点$A$旋转$180°$,点$C$落在$C'$处,求$CC'$的长度. 
答案
2. 4
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，△ABC是含30°角的直角三角形，可先利用直角三角形30°角的性质求出斜边AC的长度；再结合旋转180°的性质：旋转180°后对应点的连线经过旋转中心，且被旋转中心平分，可知A是线段CC'的中点，因此CC'的长度是AC的2倍，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，$AB=1$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AC=2AB=2×1=2$。
$\because △ ABC$绕顶点$A$旋转$180°$，点$C$落在$C'$处，
$\therefore$ 点$A$是$CC'$的中点（旋转180°的性质：对应点连线过旋转中心，且被旋转中心平分），
$\therefore CC'=2AC=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角的性质、旋转的性质、线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的特殊边角关系和旋转的基本性质，只要理清AC和CC'的数量关系即可快速求解，有助于巩固基础几何概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，△ABC是含30°角的直角三角形，可先利用直角三角形30°角的性质求出斜边AC的长度；再结合旋转180°的性质：旋转180°后对应点的连线经过旋转中心，且被旋转中心平分，可知A是线段CC'的中点，因此CC'的长度是AC的2倍，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，$AB=1$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AC=2AB=2×1=2$。
$\because △ ABC$绕顶点$A$旋转$180°$，点$C$落在$C'$处，
$\therefore$ 点$A$是$CC'$的中点（旋转180°的性质：对应点连线过旋转中心，且被旋转中心平分），
$\therefore CC'=2AC=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角的性质、旋转的性质、线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的特殊边角关系和旋转的基本性质，只要理清AC和CC'的数量关系即可快速求解，有助于巩固基础几何概念。
【难度系数】
0.8
3. 用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形，如图②，请你分别在图③、图④中各画一种与图②不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且其中至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
答案
解：
拼法示例：
1. 图③拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左上指向右下，所得图案沿大正方形的水平中线成轴对称，是轴对称图形，与图②拼法不同。
2. 图④拼法：左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条从左上指向右下，所得图案既关于大正方形的竖直中线成轴对称，绕大正方形中心旋转180°后也与自身重合，同时是中心对称图形，满足既是轴对称又是中心对称的要求，且与图③、图②拼法均不相同。
拼法示例：
1. 图③拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左上指向右下，所得图案沿大正方形的水平中线成轴对称，是轴对称图形，与图②拼法不同。
2. 图④拼法：左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条从左上指向右下，所得图案既关于大正方形的竖直中线成轴对称，绕大正方形中心旋转180°后也与自身重合，同时是中心对称图形，满足既是轴对称又是中心对称的要求，且与图③、图②拼法均不相同。
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕中心点旋转180°后能与自身重合的图形。我们需要将4块图①的瓷砖放入2×2的大正方形方格中，设计两种和图②不同的拼法，且至少有一种同时满足轴对称和中心对称的要求：可以先设计仅满足轴对称的拼法放在图③，再设计同时满足两种对称的拼法放在图④，确保两种拼法互不相同，也和图②的拼法有区别。
【解析】
1. 图③拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均调整为从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均调整为从左上指向右下。沿大正方形的水平中线对折，上下两部分完全重合，属于轴对称图形，拼法与图②不同。
2. 图④拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条调整为从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条调整为从左上指向右下。沿大正方形的竖直中线对折左右两部分完全重合，是轴对称图形；将该图案绕大正方形的中心旋转180°后，图案与原图案完全重合，因此也是中心对称图形，该拼法与图②、图③的拼法均不相同，符合要求。
【答案】
拼法不唯一，示例如下：
1. 图③：上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左上指向右下，所得图案为轴对称图形；
2. 图④：左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条从左上指向右下，所得图案既是轴对称图形又是中心对称图形。
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；图案设计
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称概念的理解与实际应用，需要通过调整瓷砖的摆放方向满足对称要求，能有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心概念：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕中心点旋转180°后能与自身重合的图形。我们需要将4块图①的瓷砖放入2×2的大正方形方格中，设计两种和图②不同的拼法，且至少有一种同时满足轴对称和中心对称的要求：可以先设计仅满足轴对称的拼法放在图③，再设计同时满足两种对称的拼法放在图④，确保两种拼法互不相同，也和图②的拼法有区别。
【解析】
1. 图③拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均调整为从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均调整为从左上指向右下。沿大正方形的水平中线对折，上下两部分完全重合，属于轴对称图形，拼法与图②不同。
2. 图④拼法：将四块瓷砖分别放入2×2大正方形的四个小方格中，左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条调整为从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条调整为从左上指向右下。沿大正方形的竖直中线对折左右两部分完全重合，是轴对称图形；将该图案绕大正方形的中心旋转180°后，图案与原图案完全重合，因此也是中心对称图形，该拼法与图②、图③的拼法均不相同，符合要求。
【答案】
拼法不唯一，示例如下：
1. 图③：上方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左下指向右上，下方两个小方格内的瓷砖灰色斜条均从左上指向右下，所得图案为轴对称图形；
2. 图④：左上、右下小方格内的瓷砖灰色斜条从左下指向右上，右上、左下小方格内的瓷砖灰色斜条从左上指向右下，所得图案既是轴对称图形又是中心对称图形。
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；图案设计
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称概念的理解与实际应用，需要通过调整瓷砖的摆放方向满足对称要求，能有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
