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1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是 （
A.$(x+3)(x-2)=x^2 + x -6$
B.$ax - ay -1 = a(x - y) -1$
C.$8a^2 · b^2 = 2a^2 · 4b^2$
D.$x^2 -4 = (x+2)(x-2)$
D
）A.$(x+3)(x-2)=x^2 + x -6$
B.$ax - ay -1 = a(x - y) -1$
C.$8a^2 · b^2 = 2a^2 · 4b^2$
D.$x^2 -4 = (x+2)(x-2)$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是紧扣因式分解的定义来判断：因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的变形。判断时要抓住三个关键特征：①变形的对象是多项式；②变形后的结果必须是几个整式相乘的形式；③变形前后等式恒成立。我们可以对照这三个特征逐一排查选项：首先看变形方向，因式分解和整式乘法是互逆变形，A是乘积变多项式，属于整式乘法，直接排除；再看结果是否为乘积形式，B的结果是“乘积+常数”，不是纯乘积形式，排除；再看变形对象，C的左边是单项式，不是多项式，不符合要求，排除；剩下的D符合所有特征，即为正确选项。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：等式右边为$a(x-y)-1$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求；
选项C：等式左边$8a^2b^2$是单项式，因式分解的变形对象必须是多项式，不符合要求；
选项D：将多项式$x^2-4$变形为两个整式$(x+2)$和$(x-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对因式分解定义的理解与辨析，解题时只要抓住“变形对象为多项式、最终结果为整式乘积”这两个核心要点，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣因式分解的定义来判断：因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的变形。判断时要抓住三个关键特征：①变形的对象是多项式；②变形后的结果必须是几个整式相乘的形式；③变形前后等式恒成立。我们可以对照这三个特征逐一排查选项：首先看变形方向，因式分解和整式乘法是互逆变形，A是乘积变多项式，属于整式乘法，直接排除；再看结果是否为乘积形式，B的结果是“乘积+常数”，不是纯乘积形式，排除；再看变形对象，C的左边是单项式，不是多项式，不符合要求，排除；剩下的D符合所有特征，即为正确选项。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：等式右边为$a(x-y)-1$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求；
选项C：等式左边$8a^2b^2$是单项式，因式分解的变形对象必须是多项式，不符合要求；
选项D：将多项式$x^2-4$变形为两个整式$(x+2)$和$(x-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对因式分解定义的理解与辨析，解题时只要抓住“变形对象为多项式、最终结果为整式乘积”这两个核心要点，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列从左到右的变形:①$15x^2y=3x· 5xy$;②$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$;③$a^2 -2a +1=(a-1)^2$;④$x^2 +3x +1=x(x +3 +\frac{1}{x})$. 其中是因式分解的有 (
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2.B
解析
【分析】
要判断各变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的判定标准：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后是恒等变形。接下来我们对照标准逐一分析四个变形即可得到答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对四个变形逐一判断：
1. ①中左边$15x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
2. ②中左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
3. ③中左边$a^2-2a+1$是多项式，右边$(a-1)^2$是两个整式$(a-1)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
4. ④中右边的$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，不属于因式分解。
综上，只有③是因式分解，共1个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式的概念
【点评】
此类题目重点考查对因式分解定义的掌握，解题时要紧扣定义的核心要点逐一排查，尤其要注意区分因式分解和整式乘法，还要保证分解后的每一个因式都是整式。
【难度系数】
0.7
要判断各变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的判定标准：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后是恒等变形。接下来我们对照标准逐一分析四个变形即可得到答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对四个变形逐一判断：
1. ①中左边$15x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
2. ②中左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
3. ③中左边$a^2-2a+1$是多项式，右边$(a-1)^2$是两个整式$(a-1)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
4. ④中右边的$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，不属于因式分解。
综上，只有③是因式分解，共1个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式的概念
【点评】
此类题目重点考查对因式分解定义的掌握，解题时要紧扣定义的核心要点逐一排查，尤其要注意区分因式分解和整式乘法，还要保证分解后的每一个因式都是整式。
【难度系数】
0.7
3.如图,轩轩利用两种不同的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式,此等式是 (
A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
C.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
B
)A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
C.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
答案
3.B
解析
【分析】
本题可通过面积法推导因式分解等式，解题思路如下：首先计算大长方形的整体面积，用长乘宽直接求解；再将大长方形拆分为多个小正方形和小长方形，分别计算各小块面积后求和，由于两种方法计算的是同一图形的面积，结果相等，即可得到对应的因式分解等式，匹配选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算大长方形的总面积：
观察图形可得，大长方形的长为$a + b + b = a + 2b$，宽为$a + b$，根据长方形面积公式可得总面积为：
$S=(a + 2b)(a + b)$
2. 计算各小图形的面积和：
图形包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；3个长为$b$、宽为$a$的长方形，总面积为$3ab$；2个边长为$b$的正方形，总面积为$2b^2$，因此各部分面积和为：
$S=a^2 + 3ab + 2b^2$
3. 联立两个面积表达式：
因为两种方法计算的是同一图形的面积，所以可得等式：
$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的几何意义，整式乘法，面积法计算
【点评】
本题是数形结合思想在因式分解中的典型应用，将抽象的因式分解和直观的面积计算相结合，能帮助大家更好地理解因式分解的本质，解题时只要细心计算两种方式的面积，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
本题可通过面积法推导因式分解等式，解题思路如下：首先计算大长方形的整体面积，用长乘宽直接求解；再将大长方形拆分为多个小正方形和小长方形，分别计算各小块面积后求和，由于两种方法计算的是同一图形的面积，结果相等，即可得到对应的因式分解等式，匹配选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算大长方形的总面积：
观察图形可得，大长方形的长为$a + b + b = a + 2b$，宽为$a + b$，根据长方形面积公式可得总面积为：
$S=(a + 2b)(a + b)$
2. 计算各小图形的面积和：
图形包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；3个长为$b$、宽为$a$的长方形，总面积为$3ab$；2个边长为$b$的正方形，总面积为$2b^2$，因此各部分面积和为：
$S=a^2 + 3ab + 2b^2$
3. 联立两个面积表达式：
因为两种方法计算的是同一图形的面积，所以可得等式：
$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的几何意义，整式乘法，面积法计算
【点评】
本题是数形结合思想在因式分解中的典型应用，将抽象的因式分解和直观的面积计算相结合，能帮助大家更好地理解因式分解的本质，解题时只要细心计算两种方式的面积，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
4.若$x^2 + mx + 4 = (x - 2)^2$，则下列结论正确的是（
A.等式从左到右的变形是乘法公式，$m = 4$
B.等式从左到右的变形是因式分解，$m = 4$
C.等式从左到右的变形是乘法公式，$m = -4$
D.等式从左到右的变形是因式分解，$m = -4$
D
）A.等式从左到右的变形是乘法公式，$m = 4$
B.等式从左到右的变形是因式分解，$m = 4$
C.等式从左到右的变形是乘法公式，$m = -4$
D.等式从左到右的变形是因式分解，$m = -4$
答案
4.D
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，先利用完全平方公式将等式右侧的$(x-2)^2$展开，通过左右两边多项式对应项系数相等求出$m$的值；第二步，结合因式分解和整式乘法（乘法公式应用）的定义，判断等式从左到右的变形类型，再对应选出正确选项。首先要明确：因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，整式乘法是把整式乘积的形式展开为多项式，二者是互逆的变形。
【解析】
1. 计算等式右侧的完全平方：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-2)^2=x^2 - 2× x×2 + 2^2=x^2-4x+4$。
2. 对比等式左右两边的多项式求$m$：
左边为$x^2+mx+4$，右边为$x^2-4x+4$，两个多项式相等则对应项系数相等，因此一次项系数$m=-4$，排除A、B选项。
3. 判断变形类型：
等式左边是多项式$x^2+mx+4$，右边是$(x-2)^2$，即两个相同整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此该变形是因式分解，排除C选项。
综上，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题易错点有两个：一是展开完全平方时符号出错，导致$m$的值计算错误；二是混淆因式分解和整式乘法的变形方向，需要注意二者是互逆的过程，从多项式到乘积是因式分解，反过来则是整式乘法。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步，先利用完全平方公式将等式右侧的$(x-2)^2$展开，通过左右两边多项式对应项系数相等求出$m$的值；第二步，结合因式分解和整式乘法（乘法公式应用）的定义，判断等式从左到右的变形类型，再对应选出正确选项。首先要明确：因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，整式乘法是把整式乘积的形式展开为多项式，二者是互逆的变形。
【解析】
1. 计算等式右侧的完全平方：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-2)^2=x^2 - 2× x×2 + 2^2=x^2-4x+4$。
2. 对比等式左右两边的多项式求$m$：
左边为$x^2+mx+4$，右边为$x^2-4x+4$，两个多项式相等则对应项系数相等，因此一次项系数$m=-4$，排除A、B选项。
3. 判断变形类型：
等式左边是多项式$x^2+mx+4$，右边是$(x-2)^2$，即两个相同整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此该变形是因式分解，排除C选项。
综上，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题易错点有两个：一是展开完全平方时符号出错，导致$m$的值计算错误；二是混淆因式分解和整式乘法的变形方向，需要注意二者是互逆的过程，从多项式到乘积是因式分解，反过来则是整式乘法。
【难度系数】
0.7
1. 如果$2x^2 + px + q$因式分解的结果为$(x + 3)(2x - 1)$，那么$p + q =$
2
.答案
1.2
解析
【分析】
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：因式分解是把多项式化成整式乘积的形式，反过来把乘积展开得到的多项式应该和原式完全相等。我们先将右侧的两个一次多项式相乘展开，合并同类项后，与左侧的二次三项式对应项的系数对比，即可求出p、q的值，最后计算p+q的结果即可。
【解析】
首先对$(x+3)(2x-1)$展开计算：
根据多项式乘多项式法则：
$(x+3)(2x-1)=x·2x + x·(-1) + 3·2x + 3·(-1)$
$=2x^2 - x + 6x - 3$
合并同类项得：$2x^2 + 5x - 3$
由题意可知$2x^2 + px + q = 2x^2 + 5x - 3$，两个多项式相等则对应项的系数相等，因此：
$p=5$，$q=-3$
所以$p+q=5 + (-3) = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题属于基础常考题，考察对因式分解本质的理解和多项式乘法的运算能力，只要掌握整式乘法的计算规则和多项式相等的对应关系，就可以顺利求解，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：因式分解是把多项式化成整式乘积的形式，反过来把乘积展开得到的多项式应该和原式完全相等。我们先将右侧的两个一次多项式相乘展开，合并同类项后，与左侧的二次三项式对应项的系数对比，即可求出p、q的值，最后计算p+q的结果即可。
【解析】
首先对$(x+3)(2x-1)$展开计算：
根据多项式乘多项式法则：
$(x+3)(2x-1)=x·2x + x·(-1) + 3·2x + 3·(-1)$
$=2x^2 - x + 6x - 3$
合并同类项得：$2x^2 + 5x - 3$
由题意可知$2x^2 + px + q = 2x^2 + 5x - 3$，两个多项式相等则对应项的系数相等，因此：
$p=5$，$q=-3$
所以$p+q=5 + (-3) = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题属于基础常考题，考察对因式分解本质的理解和多项式乘法的运算能力，只要掌握整式乘法的计算规则和多项式相等的对应关系，就可以顺利求解，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
2. 已知整式$mx^2 +7x -20$（$m$是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是$2x +5$，则另一个因式是
3x-4
。答案
2.3x-4
解析
【分析】
已知二次整式可分解为两个一次因式的乘积，且已知其中一个一次因式，我们可以先设出另一个一次因式的一般形式为$ax+b$（$a$、$b$为常数），再根据因式分解与整式乘法是互逆运算，将两个一次因式相乘展开，最后让展开式与原整式的对应项系数相等，列方程求解出$a$、$b$的值，即可得到另一个因式。
【解析】
设另一个因式为$ax + b$（$a$、$b$为常数），根据题意可得：
$mx^2 +7x -20=(2x +5)(ax + b)$
将等式右侧展开：
$(2x +5)(ax + b)=2ax^2 + 2bx +5ax +5b=2ax^2 + (2b +5a)x +5b$
根据等式两边对应项系数相等：
1. 常数项对应：$5b=-20$，解得$b=-4$
2. 一次项系数对应：$2b +5a=7$，将$b=-4$代入得：$2×(-4)+5a=7$，即$-8 +5a=7$，解得$a=3$
因此另一个因式为$3x -4$。
【答案】
$3x-4$
【知识点】
因式分解；多项式乘多项式；待定系数法
【点评】
本题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解未知因式，解题关键是掌握多项式相乘后对应项系数相等的性质，计算过程简单，只要细心求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
已知二次整式可分解为两个一次因式的乘积，且已知其中一个一次因式，我们可以先设出另一个一次因式的一般形式为$ax+b$（$a$、$b$为常数），再根据因式分解与整式乘法是互逆运算，将两个一次因式相乘展开，最后让展开式与原整式的对应项系数相等，列方程求解出$a$、$b$的值，即可得到另一个因式。
【解析】
设另一个因式为$ax + b$（$a$、$b$为常数），根据题意可得：
$mx^2 +7x -20=(2x +5)(ax + b)$
将等式右侧展开：
$(2x +5)(ax + b)=2ax^2 + 2bx +5ax +5b=2ax^2 + (2b +5a)x +5b$
根据等式两边对应项系数相等：
1. 常数项对应：$5b=-20$，解得$b=-4$
2. 一次项系数对应：$2b +5a=7$，将$b=-4$代入得：$2×(-4)+5a=7$，即$-8 +5a=7$，解得$a=3$
因此另一个因式为$3x -4$。
【答案】
$3x-4$
【知识点】
因式分解；多项式乘多项式；待定系数法
【点评】
本题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解未知因式，解题关键是掌握多项式相乘后对应项系数相等的性质，计算过程简单，只要细心求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
