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15. 在"探索一次函数$y=kx+b$的系数k,b与图象的关系"活动中,老师给出了平面直角坐标系中的三个点:$A(0,2),$$B(2,3),C(3,1)$.同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数解析式$y_{1}=k_{1}x+$$b_{1},y_{2}=k_{2}x+b_{2},y_{3}=k_{3}x+b_{3}$.分别计算$k_{1}+b_{1},k_{2}+b_{2},$$k_{3}+b_{3}$的值,则其中最大的值等于.
答案
5
解析
1. 求过$A(0,2)$、$B(2,3)$的一次函数：
代入$A$得$b_1=2$，将$B(2,3)$代入$y=k_1x+2$，得$3=2k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，则$k_1+b_1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
2. 求过$A(0,2)$、$C(3,1)$的一次函数：
代入$A$得$b_2=2$，将$C(3,1)$代入$y=k_2x+2$，得$1=3k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{3}$，则$k_2+b_2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$。
3. 求过$B(2,3)$、$C(3,1)$的一次函数：
代入两点得方程组$\begin{cases}2k_3+b_3=3\\3k_3+b_3=1\end{cases}$，解得$k_3=-2$，$b_3=7$，则$k_3+b_3=-2+7=5$。
4. 比较$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{3}$、$5$，可知最大的值为$5$。
代入$A$得$b_1=2$，将$B(2,3)$代入$y=k_1x+2$，得$3=2k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，则$k_1+b_1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
2. 求过$A(0,2)$、$C(3,1)$的一次函数：
代入$A$得$b_2=2$，将$C(3,1)$代入$y=k_2x+2$，得$1=3k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{3}$，则$k_2+b_2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$。
3. 求过$B(2,3)$、$C(3,1)$的一次函数：
代入两点得方程组$\begin{cases}2k_3+b_3=3\\3k_3+b_3=1\end{cases}$，解得$k_3=-2$，$b_3=7$，则$k_3+b_3=-2+7=5$。
4. 比较$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{3}$、$5$，可知最大的值为$5$。
三、解答题(共75分)
16. (6分)已知$y-3$与x成正比例,且$x=2$时,$y=7$.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)将所得的函数图象平移,使它过点$(2,-1)$,求平移后直线的解析式.
16. (6分)已知$y-3$与x成正比例,且$x=2$时,$y=7$.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)将所得的函数图象平移,使它过点$(2,-1)$,求平移后直线的解析式.
答案
解：
(1) 设$y-3=kx$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=7$代入得：$7-3=2k$，
解得$k=2$，
整理得$y=2x+3$。
(2) 设平移后直线的解析式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2+b$，
解得$b=-5$，
所以平移后直线的解析式为$y=2x-5$。
(1) 设$y-3=kx$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=7$代入得：$7-3=2k$，
解得$k=2$，
整理得$y=2x+3$。
(2) 设平移后直线的解析式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2+b$，
解得$b=-5$，
所以平移后直线的解析式为$y=2x-5$。
17. (6分)已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点$A(3,4)$,点B在x轴负半轴上,且$OA=OB$.
(1)求两个函数的解析式;
(2)求$△ AOB$的面积.
(1)求两个函数的解析式;
(2)求$△ AOB$的面积.
答案
解：
(1) 设正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
将$A(3,4)$代入得：$4=3k$，解得$k=\frac{4}{3}$，
故正比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{3}x}$。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因为$OA=OB$，所以$OB=5$，
又点$B$在$x$轴负半轴上，故$B(-5,0)$。
设一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(3,4)$、$B(-5,0)$代入得：
$\begin{cases}3a+b=4 \\ -5a+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{5}{2}\end{cases}$，
故一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$。
(2) $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OB×|y_A|=\frac{1}{2}×5×4=10$，
即$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{10}$。
(1) 设正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
将$A(3,4)$代入得：$4=3k$，解得$k=\frac{4}{3}$，
故正比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{3}x}$。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因为$OA=OB$，所以$OB=5$，
又点$B$在$x$轴负半轴上，故$B(-5,0)$。
设一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(3,4)$、$B(-5,0)$代入得：
$\begin{cases}3a+b=4 \\ -5a+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{5}{2}\end{cases}$，
故一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$。
(2) $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OB×|y_A|=\frac{1}{2}×5×4=10$，
即$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{10}$。
18. (6分)已知一次函数$y=(1-2m)x+m+1$,求当m为何值时:
(1)y随x的增大而增大;
(2)图象经过第一、二、四象限;
(3)图象只经过第一、三象限;
(4)图象与y轴的交点在x轴的上方.
(1)y随x的增大而增大;
(2)图象经过第一、二、四象限;
(3)图象只经过第一、三象限;
(4)图象与y轴的交点在x轴的上方.
答案
解：
(1) 由一次函数性质可知，当$1-2m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
解不等式$1-2m＞0$得：$m＜\frac{1}{2}$，
故当$m＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 若图象经过第一、二、四象限，则需满足：
$\begin{cases}1-2m＜0 \\ m+1＞0\end{cases}$
解$1-2m＜0$得：$m＞\frac{1}{2}$，
解$m+1＞0$得：$m＞-1$，
综上，当$m＞\frac{1}{2}$时，图象经过第一、二、四象限。
(3) 若图象只经过第一、三象限，则函数为正比例函数，需满足：
$\begin{cases}1-2m＞0 \\ m+1=0\end{cases}$
由$m+1=0$得：$m=-1$，
将$m=-1$代入$1-2m$得：$1-2×(-1)=3＞0$，符合条件，
故当$m=-1$时，图象只经过第一、三象限。
(4) 图象与$y$轴交点的纵坐标为$m+1$，若交点在$x$轴上方，则需满足：
$\begin{cases}m+1＞0 \\ 1-2m≠0\end{cases}$
解$m+1＞0$得：$m＞-1$，
解$1-2m≠0$得：$m≠\frac{1}{2}$，
综上，当$m＞-1$且$m≠\frac{1}{2}$时，图象与$y$轴的交点在$x$轴的上方。
(1) 由一次函数性质可知，当$1-2m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
解不等式$1-2m＞0$得：$m＜\frac{1}{2}$，
故当$m＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 若图象经过第一、二、四象限，则需满足：
$\begin{cases}1-2m＜0 \\ m+1＞0\end{cases}$
解$1-2m＜0$得：$m＞\frac{1}{2}$，
解$m+1＞0$得：$m＞-1$，
综上，当$m＞\frac{1}{2}$时，图象经过第一、二、四象限。
(3) 若图象只经过第一、三象限，则函数为正比例函数，需满足：
$\begin{cases}1-2m＞0 \\ m+1=0\end{cases}$
由$m+1=0$得：$m=-1$，
将$m=-1$代入$1-2m$得：$1-2×(-1)=3＞0$，符合条件，
故当$m=-1$时，图象只经过第一、三象限。
(4) 图象与$y$轴交点的纵坐标为$m+1$，若交点在$x$轴上方，则需满足：
$\begin{cases}m+1＞0 \\ 1-2m≠0\end{cases}$
解$m+1＞0$得：$m＞-1$，
解$1-2m≠0$得：$m≠\frac{1}{2}$，
综上，当$m＞-1$且$m≠\frac{1}{2}$时，图象与$y$轴的交点在$x$轴的上方。
