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一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列二次根式中,与$\sqrt{3}$可以合并的是 ()
A. $\sqrt{18}$
B. $\sqrt{\frac{1}{3}}$
C. $\sqrt{24}$
D. $\sqrt{0.3}$
1. 下列二次根式中,与$\sqrt{3}$可以合并的是 ()
A. $\sqrt{18}$
B. $\sqrt{\frac{1}{3}}$
C. $\sqrt{24}$
D. $\sqrt{0.3}$
答案
解：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$被开方数相同，可以合并；
C. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并；
D. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并。
故选B。
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$被开方数相同，可以合并；
C. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并；
D. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并。
故选B。
2. 下列二次根式中,是最简二次根式的是 ()
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{\frac{1}{5}}$
D.$\sqrt{a^{2}}$
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{\frac{1}{5}}$
D.$\sqrt{a^{2}}$
答案
A
解析
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式），逐一分析：
A选项：$-\sqrt{2}$的被开方数2不含分母，且不能开得尽方，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{a^2}=|a|$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式。
综上，符合最简二次根式的是A选项。
A选项：$-\sqrt{2}$的被开方数2不含分母，且不能开得尽方，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{a^2}=|a|$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式。
综上，符合最简二次根式的是A选项。
3. 设$m=5\sqrt{\frac{1}{5}}-\sqrt{45}$,则实数$m$所在的范围是 ()
A.$m＜-5$
B.$-5＜m＜-4$
C.$-4＜m＜-3$
D.$m＞-3$
A.$m＜-5$
B.$-5＜m＜-4$
C.$-4＜m＜-3$
D.$m＞-3$
答案
B
解析
先化简二次根式：$5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，则$m=\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$；
因为$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，两边同乘$-2$（不等号方向改变）得：$-4.6＜-2\sqrt{5}＜-4.4$，即$-5＜m＜-4$。
因为$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，两边同乘$-2$（不等号方向改变）得：$-4.6＜-2\sqrt{5}＜-4.4$，即$-5＜m＜-4$。
4. 下列各数中,与$3\sqrt{5}$的积为有理数的是 ()
A.$3-\sqrt{5}$
B.$3+\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-3+\sqrt{5}$
A.$3-\sqrt{5}$
B.$3+\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-3+\sqrt{5}$
答案
C
解析
分别计算各选项与$3\sqrt{5}$的积：
A选项：$3\sqrt{5}×(3-\sqrt{5})=9\sqrt{5}-15$，结果为无理数；
B选项：$3\sqrt{5}×(3+\sqrt{5})=9\sqrt{5}+15$，结果为无理数；
C选项：$3\sqrt{5}×\sqrt{5}=3×5=15$，结果为有理数；
D选项：$3\sqrt{5}×(-3+\sqrt{5})=-9\sqrt{5}+15$，结果为无理数。
综上，与$3\sqrt{5}$的积为有理数的是C选项。
A选项：$3\sqrt{5}×(3-\sqrt{5})=9\sqrt{5}-15$，结果为无理数；
B选项：$3\sqrt{5}×(3+\sqrt{5})=9\sqrt{5}+15$，结果为无理数；
C选项：$3\sqrt{5}×\sqrt{5}=3×5=15$，结果为有理数；
D选项：$3\sqrt{5}×(-3+\sqrt{5})=-9\sqrt{5}+15$，结果为无理数。
综上，与$3\sqrt{5}$的积为有理数的是C选项。
5. 估计$\sqrt{5}×(\sqrt{6}-\frac{1}{\sqrt{5}})$的值在 ()
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
A
解析
先根据乘法分配律展开计算：$\sqrt{5}×(\sqrt{6}-\frac{1}{\sqrt{5}})=\sqrt{5}×\sqrt{6}-\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{30}-1$。
因为$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，两边减1得$4＜\sqrt{30}-1＜5$，故原式的值在4和5之间。
因为$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，两边减1得$4＜\sqrt{30}-1＜5$，故原式的值在4和5之间。
6. 计算$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)-(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}$的结果是 ()
A.$-6+4\sqrt{3}$
B.$-12-4\sqrt{3}$
C.$6+4\sqrt{3}$
D.$12+4\sqrt{3}$
A.$-6+4\sqrt{3}$
B.$-12-4\sqrt{3}$
C.$6+4\sqrt{3}$
D.$12+4\sqrt{3}$
答案
B
解析
1. 利用平方差公式计算$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)$：
$(\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4$
2. 利用完全平方公式计算$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$：
$(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6$，化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，得$2 + 4\sqrt{3} + 6 = 8 + 4\sqrt{3}$
3. 计算原式：
$-4 - (8 + 4\sqrt{3}) = -4 - 8 - 4\sqrt{3} = -12 - 4\sqrt{3}$
$(\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4$
2. 利用完全平方公式计算$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$：
$(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6$，化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，得$2 + 4\sqrt{3} + 6 = 8 + 4\sqrt{3}$
3. 计算原式：
$-4 - (8 + 4\sqrt{3}) = -4 - 8 - 4\sqrt{3} = -12 - 4\sqrt{3}$
7. 若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$,小数部分为$y$,则$\sqrt{3}x-y$的值是()
A.$3\sqrt{3}-3$
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.3
A.$3\sqrt{3}-3$
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.3
答案
C
解析
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$，小数部分$y=\sqrt{3}-1$。将$x=1$，$y=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}x-y$得：$\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1=1$。
8. 若$a=3-\sqrt{10}$,则代数式$a^{2}-6a-2$的值为 ()
A.0
B.-1
C.1
D.$\sqrt{10}$
A.0
B.-1
C.1
D.$\sqrt{10}$
答案
B
解析
先对代数式配方：$a^{2}-6a-2=(a-3)^2 - 9 - 2=(a-3)^2 - 11$；
将$a=3-\sqrt{10}$代入，得$(a-3)^2=(-\sqrt{10})^2=10$；
则原式$=10-11=-1$。
将$a=3-\sqrt{10}$代入，得$(a-3)^2=(-\sqrt{10})^2=10$；
则原式$=10-11=-1$。
