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9. 如果等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$和$5\sqrt{2}$,那么这个三角形的周长等于 ()
A.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
A.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
答案
B
解析
分两种情况讨论：
1. 若腰长为$2\sqrt{3}$，则两腰之和为$2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。计算平方比较：$(4\sqrt{3})^2=48$，$(5\sqrt{2})^2=50$，$48＜50$，即$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 若腰长为$5\sqrt{2}$，则两腰之和为$2×5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，此时周长为$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
综上，三角形的周长为$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
1. 若腰长为$2\sqrt{3}$，则两腰之和为$2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。计算平方比较：$(4\sqrt{3})^2=48$，$(5\sqrt{2})^2=50$，$48＜50$，即$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 若腰长为$5\sqrt{2}$，则两腰之和为$2×5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，此时周长为$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
综上，三角形的周长为$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
10. 若$a-\frac{1}{a}=\sqrt{11}$,则$a+\frac{1}{a}$的值为 ()
A.$\sqrt{15}$
B.$-\sqrt{15}$
C.$\pm\sqrt{15}$
D.15
A.$\sqrt{15}$
B.$-\sqrt{15}$
C.$\pm\sqrt{15}$
D.15
答案
C
解析
对$a-\frac{1}{a}=\sqrt{11}$两边平方得：$(a-\frac{1}{a})^2=(\sqrt{11})^2$，展开得$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}=11$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=13$。
再计算$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=13+2=15$，因此$a+\frac{1}{a}=\pm\sqrt{15}$。
再计算$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=13+2=15$，因此$a+\frac{1}{a}=\pm\sqrt{15}$。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 比较大小:$-3\sqrt{5}\_\_\_\_\_\_-2\sqrt{7}$.
11. 比较大小:$-3\sqrt{5}\_\_\_\_\_\_-2\sqrt{7}$.
答案
解：
$|-3\sqrt{5}|=3\sqrt{5}=\sqrt{3^2×5}=\sqrt{45}$，
$|-2\sqrt{7}|=2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$，
$\because \sqrt{45}＞\sqrt{28}$，
$\therefore 3\sqrt{5}＞2\sqrt{7}$，
$\therefore -3\sqrt{5}＜-2\sqrt{7}$。
$|-3\sqrt{5}|=3\sqrt{5}=\sqrt{3^2×5}=\sqrt{45}$，
$|-2\sqrt{7}|=2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$，
$\because \sqrt{45}＞\sqrt{28}$，
$\therefore 3\sqrt{5}＞2\sqrt{7}$，
$\therefore -3\sqrt{5}＜-2\sqrt{7}$。
12. 计算$\sqrt{24}-\sqrt{\frac{6}{5}}×\sqrt{45}$的结果是.
答案
$-\sqrt{6}$
解析
1. 根据二次根式乘法法则计算乘法项：$\sqrt{\frac{6}{5}}×\sqrt{45}=\sqrt{\frac{6}{5}×45}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$；
2. 化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$；
3. 合并同类二次根式：$2\sqrt{6}-3\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。
2. 化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$；
3. 合并同类二次根式：$2\sqrt{6}-3\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。
13. 当$x≤0$时,化简$|1-x|-\sqrt{x^{2}}$的结果是.
答案
1
解析
因为$x≤0$，所以$1-x＞0$，则$|1-x|=1-x$；根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，又$x≤0$，所以$|x|=-x$。
将结果代入原式：
$|1-x|-\sqrt{x^2}=(1-x)-(-x)=1-x+x=1$
将结果代入原式：
$|1-x|-\sqrt{x^2}=(1-x)-(-x)=1-x+x=1$
14. 在如图所示的方格中,横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果,则两个空格中的实数之和为.
答案
$4\sqrt{2}$
解析
首先计算横向、纵向及对角线的共同乘积：$3×\sqrt{6}×2=6\sqrt{6}$。
求第一行第三个空格的数：$6\sqrt{6}÷(2\sqrt{3}×1)=6\sqrt{6}÷2\sqrt{3}=3\sqrt{2}$；
求第三行第一个空格的数：$6\sqrt{6}÷(6×\sqrt{3})=6\sqrt{6}÷6\sqrt{3}=\sqrt{2}$；
计算两个空格的实数之和：$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
求第一行第三个空格的数：$6\sqrt{6}÷(2\sqrt{3}×1)=6\sqrt{6}÷2\sqrt{3}=3\sqrt{2}$；
求第三行第一个空格的数：$6\sqrt{6}÷(6×\sqrt{3})=6\sqrt{6}÷6\sqrt{3}=\sqrt{2}$；
计算两个空格的实数之和：$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
15. 若$a+b=-3,ab=2$,则$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}=$.
答案
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
由$a+b=-3$，$ab=2$，可知$a＜0$，$b＜0$。
对$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}$化简：
$\begin{aligned}\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}&=\sqrt{\frac{ab}{a^2}}+\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}+\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{-a}+\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=\sqrt{ab}·(-\frac{a+b}{ab})\end{aligned}$
代入$a+b=-3$，$ab=2$：
$\sqrt{2}·(-\frac{-3}{2})=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
对$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}$化简：
$\begin{aligned}\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}&=\sqrt{\frac{ab}{a^2}}+\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}+\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{-a}+\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=\sqrt{ab}·(-\frac{a+b}{ab})\end{aligned}$
代入$a+b=-3$，$ab=2$：
$\sqrt{2}·(-\frac{-3}{2})=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
三、解答题(共75分)
16. (12分)计算:
(1)$3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{1\frac{2}{3}})$;
(2)$\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$;
(3)$3\sqrt{54}×(-\sqrt{\frac{8}{9}})÷7\sqrt{1\frac{1}{5}}$.
16. (12分)计算:
(1)$3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{1\frac{2}{3}})$;
(2)$\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$;
(3)$3\sqrt{54}×(-\sqrt{\frac{8}{9}})÷7\sqrt{1\frac{1}{5}}$.
答案
解：
(1) $3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{1\frac{2}{3}})$
$=3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{3}})$
$=[3÷(-\frac{1}{2})]×(\sqrt{\frac{3}{4}}÷\sqrt{\frac{5}{3}})$
$=-6×\sqrt{\frac{3}{4}×\frac{3}{5}}$
$=-6×\sqrt{\frac{9}{20}}$
$=-6×\frac{3\sqrt{5}}{10}$
$=-\frac{9\sqrt{5}}{5}$
(2) $\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=12\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $3\sqrt{54}×(-\sqrt{\frac{8}{9}})÷7\sqrt{1\frac{1}{5}}$
$=[3×(-1)÷7]×(\sqrt{54}×\sqrt{\frac{8}{9}}÷\sqrt{\frac{6}{5}})$
$=-\frac{3}{7}×\sqrt{54×\frac{8}{9}×\frac{5}{6}}$
$=-\frac{3}{7}×\sqrt{40}$
$=-\frac{3}{7}×2\sqrt{10}$
$=-\frac{6\sqrt{10}}{7}$
(1) $3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{1\frac{2}{3}})$
$=3\sqrt{\frac{3}{4}}÷(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{3}})$
$=[3÷(-\frac{1}{2})]×(\sqrt{\frac{3}{4}}÷\sqrt{\frac{5}{3}})$
$=-6×\sqrt{\frac{3}{4}×\frac{3}{5}}$
$=-6×\sqrt{\frac{9}{20}}$
$=-6×\frac{3\sqrt{5}}{10}$
$=-\frac{9\sqrt{5}}{5}$
(2) $\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=12\sqrt{2}-6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $3\sqrt{54}×(-\sqrt{\frac{8}{9}})÷7\sqrt{1\frac{1}{5}}$
$=[3×(-1)÷7]×(\sqrt{54}×\sqrt{\frac{8}{9}}÷\sqrt{\frac{6}{5}})$
$=-\frac{3}{7}×\sqrt{54×\frac{8}{9}×\frac{5}{6}}$
$=-\frac{3}{7}×\sqrt{40}$
$=-\frac{3}{7}×2\sqrt{10}$
$=-\frac{6\sqrt{10}}{7}$
