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1 给出下列说法:① 平角是一条直线;② 射线AB与射线BA表示同一条射线;③ 在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;④ 圆柱的表面展开图是长方形.其中,正确的有
(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
(
B
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1. B
解析
【分析】
我们需要逐个判断4个说法的正误，解题时依次回忆对应几何概念的定义和性质，先分析每个说法是否符合概念要求，最后统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
①平角是由射线绕端点旋转180°形成的角，它有顶点和两条边，仅两条边在同一直线上，和没有顶点的直线不是同一概念，该说法错误；
②射线表示方法中，第一个字母为射线的端点，射线AB端点是A，沿A向B的方向延伸，射线BA端点是B，沿B向A的方向延伸，二者不是同一条射线，该说法错误；
③符合平行公理的内容：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确；
④圆柱的表面包含侧面和两个圆形底面，其表面展开图是侧面的长方形加两个圆形，不是只有长方形，该说法错误。
综上，只有1个正确说法。
【答案】
B
【知识点】
平角的概念，射线的定义，平行公理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是混淆概念的细节，比如忽略平角的顶点、射线的端点、圆柱展开图包含底面等，解题时需要紧扣概念的本质判断。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个判断4个说法的正误，解题时依次回忆对应几何概念的定义和性质，先分析每个说法是否符合概念要求，最后统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
①平角是由射线绕端点旋转180°形成的角，它有顶点和两条边，仅两条边在同一直线上，和没有顶点的直线不是同一概念，该说法错误；
②射线表示方法中，第一个字母为射线的端点，射线AB端点是A，沿A向B的方向延伸，射线BA端点是B，沿B向A的方向延伸，二者不是同一条射线，该说法错误；
③符合平行公理的内容：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确；
④圆柱的表面包含侧面和两个圆形底面，其表面展开图是侧面的长方形加两个圆形，不是只有长方形，该说法错误。
综上，只有1个正确说法。
【答案】
B
【知识点】
平角的概念，射线的定义，平行公理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是混淆概念的细节，比如忽略平角的顶点、射线的端点、圆柱展开图包含底面等，解题时需要紧扣概念的本质判断。
【难度系数】
0.7
2 如图，$∠ AOB$ 是直角，$∠ AOC=50°$，射线 $OP$ 从边 $OA$ 出发，绕点 $O$ 逆时针旋转直至与边 $OB$ 重合. 在旋转过程中，下列情形不可能出现的是 （
A.$OP$ 平分$∠ AOC$
B.$OP$ 平分$∠ AOB$
C.$OC$ 平分$∠ BOP$
D.$OC$ 平分$∠ AOP$
D
）A.$OP$ 平分$∠ AOC$
B.$OP$ 平分$∠ AOB$
C.$OC$ 平分$∠ BOP$
D.$OC$ 平分$∠ AOP$
答案
2. D
解析
【分析】
首先明确已知条件：∠AOB为直角即90°，∠AOC=50°，射线OP从OA出发逆时针旋转至OB，旋转过程中∠AOP的取值范围是$0° \le ∠ AOP \le 90°$。解题时结合角平分线的定义，分别计算各选项成立时对应的∠AOP的度数，判断度数是否在上述范围内，超出范围的情形即为不可能出现的情况。
【解析】
已知$∠ AOB=90°$，$∠ AOC=50°$，OP旋转过程中$∠ AOP$的取值范围为$0° \le ∠ AOP \le 90°$。
1. 分析选项A：若OP平分$∠ AOC$，则$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，25°在$0°∼90°$范围内，该情形可能出现，不符合题意。
2. 分析选项B：若OP平分$∠ AOB$，则$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，45°在$0°∼90°$范围内，该情形可能出现，不符合题意。
3. 分析选项C：先计算$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=90°-50°=40°$，若OC平分$∠ BOP$，则$∠ COP=∠ BOC=40°$，此时$∠ AOP=∠ AOC+∠ COP=50°+40°=90°$，即OP与OB重合，属于旋转终止位置，该情形可能出现，不符合题意。
4. 分析选项D：若OC平分$∠ AOP$，则$∠ AOP=2∠ AOC=2×50°=100°$，100°＞90°，超出OP旋转时∠AOP的最大取值，该情形不可能出现，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角度计算，旋转的性质
【点评】
本题结合角的动态旋转考查角平分线性质与角度运算，解题核心是先确定旋转过程中相关角的取值范围，再结合角平分线定义逐一验证即可，属于基础的动态几何角度分析题。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：∠AOB为直角即90°，∠AOC=50°，射线OP从OA出发逆时针旋转至OB，旋转过程中∠AOP的取值范围是$0° \le ∠ AOP \le 90°$。解题时结合角平分线的定义，分别计算各选项成立时对应的∠AOP的度数，判断度数是否在上述范围内，超出范围的情形即为不可能出现的情况。
【解析】
已知$∠ AOB=90°$，$∠ AOC=50°$，OP旋转过程中$∠ AOP$的取值范围为$0° \le ∠ AOP \le 90°$。
1. 分析选项A：若OP平分$∠ AOC$，则$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，25°在$0°∼90°$范围内，该情形可能出现，不符合题意。
2. 分析选项B：若OP平分$∠ AOB$，则$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，45°在$0°∼90°$范围内，该情形可能出现，不符合题意。
3. 分析选项C：先计算$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=90°-50°=40°$，若OC平分$∠ BOP$，则$∠ COP=∠ BOC=40°$，此时$∠ AOP=∠ AOC+∠ COP=50°+40°=90°$，即OP与OB重合，属于旋转终止位置，该情形可能出现，不符合题意。
4. 分析选项D：若OC平分$∠ AOP$，则$∠ AOP=2∠ AOC=2×50°=100°$，100°＞90°，超出OP旋转时∠AOP的最大取值，该情形不可能出现，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角度计算，旋转的性质
【点评】
本题结合角的动态旋转考查角平分线性质与角度运算，解题核心是先确定旋转过程中相关角的取值范围，再结合角平分线定义逐一验证即可，属于基础的动态几何角度分析题。
【难度系数】
0.7
3 新考向 结论开放题 用一个平面去截正方体(如图),有下列关于截面的形状的结论:① 可能是锐角三角形;② 可能是直角三角形;③ 可能是钝角三角形;④ 可能是六边形.其中,正确的是 (
A.①②
B.①④
C.①②④
D.①②③④
B
)A.①②
B.①④
C.①②④
D.①②③④
答案
3. B
解析
【分析】
解题时我们分情况讨论平面截正方体的截面形状：首先看截面为三角形的情况，思考平面和正方体3个面相交时得到的三角形的内角特征；再看截面为多边形的情况，明确平面和正方体相交的面数决定了截面的边数，正方体共6个面，最多可以和6个面相交，判断是否能得到六边形，最后结合结论选出正确选项。
【解析】
用平面去截正方体：
① 当平面与正方体的3个面相交时，截面为三角形，通过实际操作或几何直观可判断，此时得到的三角形三个内角都是锐角，不可能出现直角或钝角，因此①正确，②③错误；
② 当平面与正方体的6个面均相交时，截面的边数为6，即可得到六边形，因此④正确。
综上，正确的结论是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体的截面判断
2. 截几何体
3. 截面与相交面的关系
【点评】
本题属于结论开放类题型，重点考查对正方体截面形状的掌握，需要具备一定的空间想象能力，也可通过实际动手操作验证结论，熟记平面截正方体的常见截面类型可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时我们分情况讨论平面截正方体的截面形状：首先看截面为三角形的情况，思考平面和正方体3个面相交时得到的三角形的内角特征；再看截面为多边形的情况，明确平面和正方体相交的面数决定了截面的边数，正方体共6个面，最多可以和6个面相交，判断是否能得到六边形，最后结合结论选出正确选项。
【解析】
用平面去截正方体：
① 当平面与正方体的3个面相交时，截面为三角形，通过实际操作或几何直观可判断，此时得到的三角形三个内角都是锐角，不可能出现直角或钝角，因此①正确，②③错误；
② 当平面与正方体的6个面均相交时，截面的边数为6，即可得到六边形，因此④正确。
综上，正确的结论是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体的截面判断
2. 截几何体
3. 截面与相交面的关系
【点评】
本题属于结论开放类题型，重点考查对正方体截面形状的掌握，需要具备一定的空间想象能力，也可通过实际动手操作验证结论，熟记平面截正方体的常见截面类型可快速解题。
【难度系数】
0.7
4 [2024 广安]将“共”“建”“平”“安”“校”“园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示为它的一种表面展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是 （
A.校
B.安
C.平
D.园
A
）A.校
B.安
C.平
D.园
答案
4. A
解析
【分析】
要解决正方体展开图找相对面的问题，首先牢记正方体展开图相对面的判定规律：相间、“Z”端是对面，且相对的面在展开图中不相邻、没有公共顶点。第一步先找同行或同列中间隔一个面的两个面，确定为相对面；第二步再用“Z”型两端的面是相对面的规律确定剩余的相对面，最后就能找到“共”的对面。
【解析】
根据正方体表面展开图相对面的判定规则：
1. 观察第二行的“建”“平”“安”三个面，“建”和“安”中间间隔了“平”，属于“相间”的情况，因此“建”与“安”是一组相对面；
2. 剩余的面中，“平”和“园”位于“Z”字型的两端，是第二组相对面；
3. 最后剩下的“共”和“校”就是第三组相对面，因此与“共”字所在面相对的面上的汉字是校。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图；相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的基础考题，核心考查展开图中相对面的识别，熟练掌握“相间、Z端是对面”的判定口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决正方体展开图找相对面的问题，首先牢记正方体展开图相对面的判定规律：相间、“Z”端是对面，且相对的面在展开图中不相邻、没有公共顶点。第一步先找同行或同列中间隔一个面的两个面，确定为相对面；第二步再用“Z”型两端的面是相对面的规律确定剩余的相对面，最后就能找到“共”的对面。
【解析】
根据正方体表面展开图相对面的判定规则：
1. 观察第二行的“建”“平”“安”三个面，“建”和“安”中间间隔了“平”，属于“相间”的情况，因此“建”与“安”是一组相对面；
2. 剩余的面中，“平”和“园”位于“Z”字型的两端，是第二组相对面；
3. 最后剩下的“共”和“校”就是第三组相对面，因此与“共”字所在面相对的面上的汉字是校。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图；相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的基础考题，核心考查展开图中相对面的识别，熟练掌握“相间、Z端是对面”的判定口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5 [2025 扬州]如图,平行于主光轴 PQ 的光线 AB 和 CD 经过凸透镜折射后,折射光线 BE,DF 交于主光轴上一点 G.若$∠ABE=130°,∠CDF=150°$,则$∠EGF$的度数是 （
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
C
）A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
5. C
解析
【分析】
首先明确已知条件：光线AB、CD均平行于主光轴PQ，已知∠ABE和∠CDF的度数，要求∠EGF的度数。解题思路为：先根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得到AB//PQ、CD//PQ，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出折射光线与主光轴的两个夹角度数，最后将两个夹角相加即可得到∠EGF的度数。
【解析】
∵ AB//PQ，CD//PQ（题目已知AB、CD平行于主光轴PQ）
根据两直线平行，同旁内角互补：
∴ ∠ABE + ∠BGQ = 180°
已知∠ABE=130°，代入得：
∠BGQ = 180° - 130° = 50°
同理，∠CDF + ∠DGQ = 180°
已知∠CDF=150°，代入得：
∠DGQ = 180° - 150° = 30°
观察图形可得∠EGF = ∠BGQ + ∠DGQ
∴ ∠EGF = 50° + 30° = 80°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合凸透镜光路情境考查平行线性质的应用，需要学生从图形中准确识别平行线对应的同旁内角，再通过简单的角度运算得出结果，注重跨情境知识的运用。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：光线AB、CD均平行于主光轴PQ，已知∠ABE和∠CDF的度数，要求∠EGF的度数。解题思路为：先根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得到AB//PQ、CD//PQ，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出折射光线与主光轴的两个夹角度数，最后将两个夹角相加即可得到∠EGF的度数。
【解析】
∵ AB//PQ，CD//PQ（题目已知AB、CD平行于主光轴PQ）
根据两直线平行，同旁内角互补：
∴ ∠ABE + ∠BGQ = 180°
已知∠ABE=130°，代入得：
∠BGQ = 180° - 130° = 50°
同理，∠CDF + ∠DGQ = 180°
已知∠CDF=150°，代入得：
∠DGQ = 180° - 150° = 30°
观察图形可得∠EGF = ∠BGQ + ∠DGQ
∴ ∠EGF = 50° + 30° = 80°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合凸透镜光路情境考查平行线性质的应用，需要学生从图形中准确识别平行线对应的同旁内角，再通过简单的角度运算得出结果，注重跨情境知识的运用。
【难度系数】
0.7
6 一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线,那么这个多边形对角线的总条数是 （
A.88
B.80
C.44
D.40
C
）A.88
B.80
C.44
D.40
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先要明确多边形对角线的相关规律：①从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，可与其余顶点连接形成对角线，因此从一个顶点引出的对角线条数为(n-3)条；②n边形对角线的总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。解题第一步先根据“从一个顶点可引出8条对角线”的条件列方程求出多边形的边数n，第二步再将n代入总条数公式计算即可得到结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n，
根据从n边形一个顶点引出的对角线条数为(n-3)，可得：
$n-3=8$，解得$n=11$。
再根据多边形对角线总条数公式，总条数为：
$\frac{n(n-3)}{2}=\frac{11×(11-3)}{2}=\frac{11×8}{2}=44$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形顶点对角线规律；多边形总对角线计算
【点评】
本题是多边形对角线相关的基础题型，核心是熟记两个与对角线相关的公式，先通过单个顶点的对角线条数求出边数，再代入总条数公式计算即可，解题时注意不要混淆两个公式的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确多边形对角线的相关规律：①从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，可与其余顶点连接形成对角线，因此从一个顶点引出的对角线条数为(n-3)条；②n边形对角线的总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。解题第一步先根据“从一个顶点可引出8条对角线”的条件列方程求出多边形的边数n，第二步再将n代入总条数公式计算即可得到结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n，
根据从n边形一个顶点引出的对角线条数为(n-3)，可得：
$n-3=8$，解得$n=11$。
再根据多边形对角线总条数公式，总条数为：
$\frac{n(n-3)}{2}=\frac{11×(11-3)}{2}=\frac{11×8}{2}=44$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形顶点对角线规律；多边形总对角线计算
【点评】
本题是多边形对角线相关的基础题型，核心是熟记两个与对角线相关的公式，先通过单个顶点的对角线条数求出边数，再代入总条数公式计算即可，解题时注意不要混淆两个公式的应用场景。
【难度系数】
0.7
7 已知线段$AB=16$，$C,D$是线段$AB$上的两个动点，有下列结论：① 若$C$是$AB$的中点，点$D$在线段$CB$上，$DB=3$，则$CD=5$；② 若$AC+BD=\dfrac{1}{2}CD$，则$CD=\dfrac{32}{3}$；③ 若$CD=4$，且$AC:BD=1:2$，则$AC=4$；④ 若$D$是$BC$的中点，$AC=6+a(a＞0)$，则$AC＞BD$。其中，正确的为（
A.①③
B.②④
C.①②③
D.①②④
D
）A.①③
B.②④
C.①②③
D.①②④
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道线段和差及中点性质的应用类题目，解题时需要逐个分析4个结论，结合线段总长度AB=16的条件，利用线段和差关系、中点定义、比例性质分别计算验证，同时注意动点C、D的位置顺序，避免漏判。
【解析】
我们逐个验证4个结论：
1. 验证结论①：
已知AB=16，C是AB中点，因此$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
又点D在线段CB上，$DB=3$，因此$CD=CB-DB=8-3=5$，故①正确。
2. 验证结论②：
由线段和差关系可知，$AC+CD+BD=AB=16$，即$AC+BD=16-CD$。
已知$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，因此$16-CD=\frac{1}{2}CD$，移项得$16=\frac{3}{2}CD$，
解得$CD=16×\frac{2}{3}=\frac{32}{3}$，故②正确。
3. 验证结论③：
设$AC=x$，由$AC:BD=1:2$得$BD=2x$。
由于C、D是AB上的动点，未明确两点顺序：
若顺序为A-C-D-B，则$AC+CD+BD=16$，即$x+4+2x=16$，解得$x=4$；
若顺序为A-D-C-B，则$AC+BD-CD=16$（CD部分被重复计算），即$x+2x-4=16$，解得$x=\frac{20}{3}≠4$。
因此AC不一定等于4，故③错误。
4. 验证结论④：
已知$AC=6+a（a＞0）$，则$BC=AB-AC=16-(6+a)=10-a$。
又D是BC的中点，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(10-a)=5-\frac{1}{2}a$。
由于$a＞0$，因此$AC=6+a＞6$，$BD=5-\frac{1}{2}a＜5$，显然$6+a＞5-\frac{1}{2}a$，即$AC＞BD$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例线段应用
【点评】
本题考查线段的相关计算，解题时需注意动点的位置顺序，不能默认两点的前后位置，逐个推导验证即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
这是一道线段和差及中点性质的应用类题目，解题时需要逐个分析4个结论，结合线段总长度AB=16的条件，利用线段和差关系、中点定义、比例性质分别计算验证，同时注意动点C、D的位置顺序，避免漏判。
【解析】
我们逐个验证4个结论：
1. 验证结论①：
已知AB=16，C是AB中点，因此$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
又点D在线段CB上，$DB=3$，因此$CD=CB-DB=8-3=5$，故①正确。
2. 验证结论②：
由线段和差关系可知，$AC+CD+BD=AB=16$，即$AC+BD=16-CD$。
已知$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，因此$16-CD=\frac{1}{2}CD$，移项得$16=\frac{3}{2}CD$，
解得$CD=16×\frac{2}{3}=\frac{32}{3}$，故②正确。
3. 验证结论③：
设$AC=x$，由$AC:BD=1:2$得$BD=2x$。
由于C、D是AB上的动点，未明确两点顺序：
若顺序为A-C-D-B，则$AC+CD+BD=16$，即$x+4+2x=16$，解得$x=4$；
若顺序为A-D-C-B，则$AC+BD-CD=16$（CD部分被重复计算），即$x+2x-4=16$，解得$x=\frac{20}{3}≠4$。
因此AC不一定等于4，故③错误。
4. 验证结论④：
已知$AC=6+a（a＞0）$，则$BC=AB-AC=16-(6+a)=10-a$。
又D是BC的中点，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(10-a)=5-\frac{1}{2}a$。
由于$a＞0$，因此$AC=6+a＞6$，$BD=5-\frac{1}{2}a＜5$，显然$6+a＞5-\frac{1}{2}a$，即$AC＞BD$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例线段应用
【点评】
本题考查线段的相关计算，解题时需注意动点的位置顺序，不能默认两点的前后位置，逐个推导验证即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
8 (1) $14.4° = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_' ;$
答案
8. (1) 14 24
解析
【分析】
本题考查角度单位度与分的换算，解题时首先要明确度和分的换算进率为$1°=60'$，再把$14.4°$拆成整数部分和小数部分，整数部分直接作为最终的度数，小数部分的度乘进率60就能换算成分的数值。
【解析】
已知角度单位换算关系：$1°=60'$
第一步，提取$14.4°$的整数部分，可得度数为$14°$；
第二步，换算小数部分的单位：$0.4°=0.4×60'=24'$；
因此$14.4°=14°24'$。
【答案】
14；24
【知识点】
度分的换算
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，只要牢记度和分之间的进率为60，掌握高级单位转低级单位乘进率的换算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查角度单位度与分的换算，解题时首先要明确度和分的换算进率为$1°=60'$，再把$14.4°$拆成整数部分和小数部分，整数部分直接作为最终的度数，小数部分的度乘进率60就能换算成分的数值。
【解析】
已知角度单位换算关系：$1°=60'$
第一步，提取$14.4°$的整数部分，可得度数为$14°$；
第二步，换算小数部分的单位：$0.4°=0.4×60'=24'$；
因此$14.4°=14°24'$。
【答案】
14；24
【知识点】
度分的换算
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，只要牢记度和分之间的进率为60，掌握高级单位转低级单位乘进率的换算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
(2) 钟面上12时20分的时候,时针与分针的夹角(小于平角)的度数是
110°
.答案
8. (2) $110°$
解析
【分析】
要计算钟面上12时20分的时针与分针夹角，首先明确钟面的基本角度规律：整个钟面为360°的周角，平均分成12个大格，可先算出每个大格对应的角度。接下来分别计算分针、时针在12时20分时与12点基准位置的夹角，最后用两个夹角的差（取小于平角的结果）即可得到所求角度。注意时针不是固定在12的位置，会随时间转动，需要计算20分钟内时针转过的角度。
【解析】
解：
∵钟面一周为360°，共平均分为12个大格，
∴每个大格对应的角度为 $360° ÷ 12 = 30°$。
①计算分针与12点位置的夹角：
分针20分钟时，指向第4个大格（每大格对应5分钟，$20÷5=4$），
因此分针与12点的夹角为 $4×30° = 120°$。
②计算时针与12点位置的夹角：
时针1小时（60分钟）走1个大格即30°，因此时针每分钟转过的角度为 $30° ÷ 60 = 0.5°$，
12时20分时，时针从12点位置走了20分钟，转过的角度为 $20×0.5° = 10°$。
③计算两针夹角：
两针夹角为 $120° - 10° = 110°$，$110°＜180°$，符合小于平角的要求。
【答案】
$110°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的典型基础题，解题核心是准确掌握时针和分针的转动速度，易错点是忽略时针随分钟的转动，直接按整时位置计算导致结果偏大。
【难度系数】
0.7
要计算钟面上12时20分的时针与分针夹角，首先明确钟面的基本角度规律：整个钟面为360°的周角，平均分成12个大格，可先算出每个大格对应的角度。接下来分别计算分针、时针在12时20分时与12点基准位置的夹角，最后用两个夹角的差（取小于平角的结果）即可得到所求角度。注意时针不是固定在12的位置，会随时间转动，需要计算20分钟内时针转过的角度。
【解析】
解：
∵钟面一周为360°，共平均分为12个大格，
∴每个大格对应的角度为 $360° ÷ 12 = 30°$。
①计算分针与12点位置的夹角：
分针20分钟时，指向第4个大格（每大格对应5分钟，$20÷5=4$），
因此分针与12点的夹角为 $4×30° = 120°$。
②计算时针与12点位置的夹角：
时针1小时（60分钟）走1个大格即30°，因此时针每分钟转过的角度为 $30° ÷ 60 = 0.5°$，
12时20分时，时针从12点位置走了20分钟，转过的角度为 $20×0.5° = 10°$。
③计算两针夹角：
两针夹角为 $120° - 10° = 110°$，$110°＜180°$，符合小于平角的要求。
【答案】
$110°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的典型基础题，解题核心是准确掌握时针和分针的转动速度，易错点是忽略时针随分钟的转动，直接按整时位置计算导致结果偏大。
【难度系数】
0.7
9 (1) 已知∠α=60°,则∠α的余角是
30
°; (2) 已知∠A的补角为60°,则∠A=120
°.答案
9. (1) 30 (2) 120
解析
【分析】
首先明确余角和补角的核心概念：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。解题时，第一问求已知角的余角，直接用90°减去已知角的度数即可；第二问已知一个角的补角求这个角，直接用180°减去补角的度数就能得到结果。
【解析】
(1) 根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α，代入∠α=60°计算可得：90° - 60° = 30°；
(2) 根据补角的定义，∠A = 180° - ∠A的补角，代入补角为60°计算可得：180° - 60° = 120°。
【答案】
(1) 30；(2) 120
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考察对余角、补角定义的掌握程度，熟记相关定义即可快速计算出结果，是平面图形初步认识模块的常规考题。
【难度系数】
0.9
首先明确余角和补角的核心概念：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。解题时，第一问求已知角的余角，直接用90°减去已知角的度数即可；第二问已知一个角的补角求这个角，直接用180°减去补角的度数就能得到结果。
【解析】
(1) 根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α，代入∠α=60°计算可得：90° - 60° = 30°；
(2) 根据补角的定义，∠A = 180° - ∠A的补角，代入补角为60°计算可得：180° - 60° = 120°。
【答案】
(1) 30；(2) 120
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考察对余角、补角定义的掌握程度，熟记相关定义即可快速计算出结果，是平面图形初步认识模块的常规考题。
【难度系数】
0.9
10 已知线段$AB=96\ \mathrm{cm}$，$C$是线段$AB$的中点，$D$是线段$AC$的中点，点$E$在线段$AB$上，且$CE=\dfrac{2}{3}BC$，则$DE$的长为________.
答案
10. 56 cm或8 cm
解析
【分析】
解题时先根据线段中点的性质算出AC、BC、DC的长度，再求出CE的长度，需注意点E在线段AB上，位置有两种可能：在点C左侧或右侧，因此要分两种情况分别计算DE的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵$AB=96\ \mathrm{cm}$，$C$是$AB$的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×96=48\ \mathrm{cm}$，
∵$D$是$AC$的中点，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$，
∵$CE=\frac{2}{3}BC$，
∴$CE=\frac{2}{3}×48=32\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点$E$在点$C$的左侧（即$E$在$A$、$C$之间）时：
$DE = CE - DC = 32 - 24 = 8\ \mathrm{cm}$；
②当点$E$在点$C$的右侧（即$E$在$C$、$B$之间）时：
$DE = DC + CE = 24 + 32 = 56\ \mathrm{cm}$。
综上，$DE$的长为$56\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{56\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是明确点E的位置存在两种情况，结合示意图分析能更直观梳理线段间的和差关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先根据线段中点的性质算出AC、BC、DC的长度，再求出CE的长度，需注意点E在线段AB上，位置有两种可能：在点C左侧或右侧，因此要分两种情况分别计算DE的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵$AB=96\ \mathrm{cm}$，$C$是$AB$的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×96=48\ \mathrm{cm}$，
∵$D$是$AC$的中点，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$，
∵$CE=\frac{2}{3}BC$，
∴$CE=\frac{2}{3}×48=32\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点$E$在点$C$的左侧（即$E$在$A$、$C$之间）时：
$DE = CE - DC = 32 - 24 = 8\ \mathrm{cm}$；
②当点$E$在点$C$的右侧（即$E$在$C$、$B$之间）时：
$DE = DC + CE = 24 + 32 = 56\ \mathrm{cm}$。
综上，$DE$的长为$56\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{56\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是明确点E的位置存在两种情况，结合示意图分析能更直观梳理线段间的和差关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
