11 [2024长春改编]如图,在△ABC中,O是边AB上的一点.按图中作图痕迹作直线OG,交AC于点M.若∠C=69°,则∠CMO的度数为.

11. $111°$

【分析】
解题时首先识别作图痕迹：该作图是用尺规作∠AOG=∠B，根据“同位角相等，两直线平行”可推出OG//BC；再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可知∠C与∠CMO的和为180°，代入∠C的度数即可计算出∠CMO的大小。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：∠AOG=∠B，
根据同位角相等，两直线平行，可知OG//BC，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：$∠ C + ∠ CMO = 180°$，
已知$∠ C=69°$，因此$∠ CMO=180° - 69°=111°$。
【答案】
$111°$
【知识点】
尺规作角，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题将尺规作图和平行线的判定、性质结合考查，解题的关键是准确识别作图痕迹得到等角，进而推出直线平行的关系，再利用平行线的性质求解角度，属于几何基础类考题。
【难度系数】
0.75

12 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=60°,当∠D=时,AD//BC.

12. $60°$

【分析】
解题时首先明确已知条件和所求目标：已知AB//CD，∠B=60°，要求找到∠D的度数使AD//BC。我们可以先利用平行线的性质，由AB//CD推出∠B和∠C的数量关系；再结合AD//BC需要满足的角的关系，推导∠D和∠B的关系，进而求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”
∴ ∠B + ∠C = 180°
若要AD//BC，同理可得：
∠D + ∠C = 180°
根据“同角的补角相等”，可得∠D = ∠B
∵ ∠B = 60°
∴ ∠D = 60°
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质的灵活应用，解题核心是掌握两直线平行时同旁内角互补的性质，通过公共角的补角相等建立已知角和待求角的关联。
【难度系数】
0.9

13 整体思想 如图，$∠ AOB = 150°$，$∠ COD = 40°$，$OE$ 平分 $∠ AOC$，则 $2∠ BOE - ∠ BOD =$ ______。

13. 110 【解析】设$∠ EOD = x$, 则$∠ EOC = ∠ EOD + ∠ COD = x + 40°$. 因为 $OE$ 平分 $∠ AOC$, 所以$∠ AOE = ∠ EOC = x + 40°$. 因为$∠ AOB = 150°$, 所以$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOE - ∠ EOC = 70° - 2x$. 所以 $2∠ BOE - ∠ BOD = 2(∠ AOB - ∠ AOE) - (∠ COD + ∠ BOC) = 2[150° - (x + 40°)] - (40° + 70° - 2x) = 110°$.

【分析】
本题可利用角平分线的性质结合整体代换思想求解。观察所求式子$2∠BOE - ∠BOD$，涉及的未知角无法直接计算，因此我们可以设一个中间未知角，将所有相关角用已知角和中间角表示，代入式子后中间角会被消去，即可得到结果。首先根据角平分线得到相等的角，再分别表示出$∠BOE$和$∠BOD$，最后代入式子化简即可。
【解析】
设$∠EOD = x$，
∵$∠COD = 40°$，
∴$∠EOC = ∠EOD + ∠COD = x + 40°$。
∵OE平分$∠AOC$，
∴$∠AOE = ∠EOC = x + 40°$。
∵$∠AOB = 150°$，
∴$∠BOC = ∠AOB - ∠AOE - ∠EOC = 150° - (x+40°) - (x+40°) = 70° - 2x$。
代入所求式子化简：
$\begin{aligned}2∠BOE - ∠BOD&= 2(∠AOB - ∠AOE) - (∠COD + ∠BOC)\\&=2[150° - (x + 40°)] - [40° + (70° - 2x)]\\&=2(110° - x) - (110° - 2x)\\&=220° - 2x - 110° + 2x\\&=110°\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{110°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，整体代换思想
【点评】
本题是角的计算的典型题型，核心是运用整体思想设中间量，无需计算中间量的具体值，通过化简消元即可得到结果，能很好地锻炼学生的角的转化能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

14 如图所示为一个立体图形的表面展开图.
（1）这个立体图形是；
（2）若该立体图形的所有棱长的和是66，求这个立体图形的最长棱的长.

14. (1) 三棱柱 (2) 根据题意, 得 $3(2x + 6) + 2(x + 1 + x + x - 1) = 66$. 解这个方程, 得 $x = 4$, 此时 $2x + 6 = 14$. 所以这个立体图形的最长棱的长是 14

【分析】
（1）观察展开图特征：该展开图包含2个全等的三角形作为底面，3个长方形作为侧面，符合三棱柱的表面展开图特点，即可判断立体图形类型。
（2）首先明确三棱柱的棱的组成：3条长度相等的侧棱，上下两个三角形底面各有3条棱，共9条棱。根据“所有棱长的和是66”的等量关系列一元一次方程，求解得到x的值后，计算各条棱的长度，找出最长棱即可。
【解析】
（1）由展开图有2个三角形底面和3个长方形侧面，可得这个立体图形是三棱柱。
（2）三棱柱的侧棱共3条，长度均为$2x+6$；上下两个三角形的边长分别为$x+1$、$x$、$x-1$，每种长度的棱各有2条。
根据棱长和为66列方程：
$3(2x + 6) + 2[(x + 1) + x + (x - 1)] = 66$
化简方程：
$6x + 18 + 2×3x = 66$
$12x + 18 = 66$
解得$x = 4$
计算各棱长度：侧棱$2x+6=2×4+6=14$，底面边长分别为$x+1=5$、$x=4$、$x-1=3$，对比可得最长棱的长为14。
【答案】
(1) 三棱柱；(2) 14
【知识点】
三棱柱展开图，棱长和计算，一元一次方程应用
【点评】
本题考查立体图形展开图的识别与方程思想的应用，解题关键是准确从展开图中提取各棱的长度信息，正确列出方程求解，侧重考查识图能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7

15 如图,在$△ ABC$中,点$E$在$AC$上,点$F$在$BC$上,点$D,G$在$AB$上,连接$GE,DC,DF$,且$DF// AC$,$∠ CDF+∠ CEG=180°$.
(1) 试说明$EG// CD$;
(2) 若$DF$是$∠ BDC$的平分线,$∠ A=40°$,求$∠ BGE$的度数.

15. (1) 因为 $DF// AC$, 所以$∠ CDF = ∠ ECD$. 因为$∠ CDF + ∠ CEG = 180°$, 所以$∠ ECD + ∠ CEG = 180°$. 所以 $EG// CD$
(2) 因为 $DF// AC$, 所以$∠ A = ∠ BDF$. 因为$∠ A = 40°$, 所以$∠ BDF = 40°$. 因为 $DF$ 是$∠ BDC$ 的平分线, 所以$∠ BDC = 2∠ BDF = 80°$. 由(1)知,$EG// CD$, 所以$∠ BGE = ∠ BDC = 80°$

【分析】
(1) 要证明$EG// CD$，可通过证明同旁内角互补推导。首先利用$DF// AC$的性质得到内错角相等，将$∠ CDF$转化为$∠ ECD$，再结合已知$∠ CDF+∠ CEG=180°$，等量代换得到一组同旁内角互补，即可证明两直线平行。
(2) 先利用$DF// AC$的性质得到同位角$∠ A=∠ BDF$，求出$∠ BDF$的度数，再结合角平分线的定义求出$∠ BDC$的度数，最后根据(1)中$EG// CD$的结论，利用平行线的同位角相等即可求出$∠ BGE$的度数。
【解析】
(1) 因为 $DF// AC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠ CDF = ∠ ECD$。
因为$∠ CDF + ∠ CEG = 180°$，等量代换得$∠ ECD + ∠ CEG = 180°$。
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$EG// CD$。
(2) 因为 $DF// AC$，根据两直线平行，同位角相等，所以$∠ A = ∠ BDF$。
已知$∠ A = 40°$，所以$∠ BDF = 40°$。
因为 $DF$ 是$∠ BDC$ 的平分线，根据角平分线的定义，$∠ BDC = 2∠ BDF = 2×40°=80°$。
由(1)知$EG// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$∠ BGE = ∠ BDC = 80°$。
【答案】
(1) $EG// CD$，证明见上述解析；
(2) $∠ BGE$的度数为$80°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础常考题，重点考查平行线的判定、性质和角平分线定义的综合运用，解题核心是理清平行关系和角的数量关系之间的转化逻辑，逐步推导即可得到结论。
【难度系数】
0.8

16 分类讨论思想 如图，直线$AB// CD$，直线$l$与直线$AB$，$CD$分别交于点$E$，$F$，$P$是射线$EA$上的一个动点（不包括端点$E$），将$△ EPF$沿$PF$折叠，使顶点$E$落在点$Q$处.
（1）若$∠ PEF=48°$，点$Q$恰好落在其中一条平行线上，则$∠ EFP$的度数为________；
（2）若$∠ PEF=75°$，$∠ CFQ=\dfrac{1}{2}∠ PFC$，求$∠ EFP$的度数.

16. (1) $42°$或$66°$ (2) ① 如图①, 当点 Q 在平行线 AB,CD 之间时, 设$∠ PFQ = x$. 由折叠的性质, 得$∠ EFP = x$. 因为$∠ CFQ = \dfrac{1}{2}∠ PFC$, 所以$∠ PFQ = ∠ CFQ = x$. 因为 $AB// CD$, 所以$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$, 即 $75° + x + x + x = 180°$. 所以 $x = 35°$. 所以$∠ EFP = 35°$. ② 如图②, 当点 Q 在 CD 的下方时, 设$∠ CFQ = y$. 因为$∠ CFQ = \dfrac{1}{2}∠ PFC$, 所以$∠ PFC = 2y$. 所以$∠ PFQ = 3y$. 由折叠的性质, 得$∠ EFP = ∠ PFQ = 3y$. 因为 $AB// CD$, 所以$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$, 即 $75° + 2y + 3y = 180°$. 所以 $y = 21°$. 所以$∠ EFP = 3y = 63°$. 综上所述,$∠ EFP$ 的度数为 $35°$或 $63°$

【分析】
（1）本问需分类讨论点Q的落点：①当Q落在AB上时，结合折叠的轴对称性质得到对应角相等，利用三角形内角和即可计算∠EFP；②当Q落在CD上时，先由平行线同旁内角互补求出∠CFE的度数，再结合折叠角相等的性质求解∠EFP。
（2）同样需分两种情况讨论：①点Q落在AB、CD之间，②点Q落在CD下方；两种情况均先设未知数表示相关角度，再结合折叠性质、平行线同旁内角互补的性质，以及题目给出的角的数量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）分两种情况计算：
① 当点Q落在AB上时，由折叠性质可知△PEF与△PQF关于PF对称，因此∠PEF=∠PQF=48°，∠EFP=∠QFP，可得∠EFQ=180°-48°×2=84°，所以∠EFP=½∠EFQ=42°；
② 当点Q落在CD上时，由折叠性质得∠EFP=∠QFP，因为AB//CD，所以∠PEF+∠CFE=180°，则∠CFE=180°-48°=132°，因此∠EFP=½∠CFE=66°。
（2）分两种情况讨论：
① 如图①，当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ = x。由折叠的性质，得∠EFP = x。因为$∠ CFQ = \dfrac{1}{2}∠ PFC$，所以$∠ PFQ = ∠ CFQ = x$。因为 $AB// CD$，所以$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$，即 $75° + x + x + x = 180°$，解得$x = 35°$，即$∠ EFP = 35°$。
② 如图②，当点Q在CD的下方时，设$∠ CFQ = y$。因为$∠ CFQ = \dfrac{1}{2}∠ PFC$，所以$∠ PFC = 2y$，因此$∠ PFQ = 3y$。由折叠的性质，得$∠ EFP = ∠ PFQ = 3y$。因为 $AB// CD$，所以$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$，即 $75° + 2y + 3y = 180°$，解得$y = 21°$，因此$∠ EFP = 3y = 63°$。
【答案】
(1) $42°$或$66°$
(2) $35°$或 $63°$

【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查平行线的性质与折叠的轴对称性质，解题的关键是对落点Q的位置进行分类讨论，避免漏解，能够有效锻炼几何推理能力与思维的严谨性。
【难度系数】
0.6