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17 新考向 探究题【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴时，我们发现许多重要的规律.例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点M表示的数为$\frac{a + b}{2}$.
【问题情境】
如图，在数轴上，点A表示的数为−20，点B表示的数为10，动点P从点A出发沿数轴的正方向运动，同时，动点Q从点B出发沿数轴的负方向运动.已知运动4秒时，P，Q两点相遇，且动点P，Q的运动速度之比是3:2.
【综合应用】
（1）点P的运动速度为每秒
（2）当$PQ=\frac{1}{3}AB$时，求运动时间.
（3）若点P，Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，运动方向不限，我们发现：随着点P，Q的运动，线段PQ的中点M也随之运动.点M能否与原点重合？若能，求出从点P，Q相遇起经过的运动时间，并写出点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由.
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴时，我们发现许多重要的规律.例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点M表示的数为$\frac{a + b}{2}$.
【问题情境】
如图，在数轴上，点A表示的数为−20，点B表示的数为10，动点P从点A出发沿数轴的正方向运动，同时，动点Q从点B出发沿数轴的负方向运动.已知运动4秒时，P，Q两点相遇，且动点P，Q的运动速度之比是3:2.
【综合应用】
（1）点P的运动速度为每秒
4.5
个单位长度，点Q的运动速度为每秒3
个单位长度.（2）当$PQ=\frac{1}{3}AB$时，求运动时间.
（3）若点P，Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，运动方向不限，我们发现：随着点P，Q的运动，线段PQ的中点M也随之运动.点M能否与原点重合？若能，求出从点P，Q相遇起经过的运动时间，并写出点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由.
答案
17. (1) 4.5 3 (2) 设运动时间为 $x$ 秒. 根据题意, 得点 $P$ 表示的数为 $-20 + 4.5x$, 点 $Q$ 表示的数为 $10 - 3x$, 则 $|(-20 + 4.5x) - (10 - 3x)| = \dfrac{1}{3}×|(-20) - 10|$. 整理, 得 $|7.5x - 30| = 10$, 从而 $7.5x - 30 = 10$ 或 $7.5x - 30 = -10$, 解得 $x = \dfrac{16}{3}$ 或 $x = \dfrac{8}{3}$. 所以运动时间为 $\dfrac{16}{3}$ 秒或 $\dfrac{8}{3}$ 秒 (3) 能 点 $P$,$Q$ 相遇时, 点 $M$ 表示的数为 $-20 + 4×4.5 = -2$(当 $P$,$Q$ 两点重合时, 线段 $PQ$ 的中点 $M$ 也与 $P$,$Q$ 两点重合). 设从点 $P$,$Q$ 相遇起经过的运动时间为 $t$ 秒时, 点 $M$ 与原点重合. ① 当点 $P$,$Q$ 均沿数轴的正方向运动时, $\dfrac{(-2 + 4.5t) + (-2 + 3t)}{2} = 0$, 解得 $t = \dfrac{8}{15}$, 此时点 $M$ 能与原点重合, 它沿数轴的正方向运动, 运动速度为每秒 $2÷\dfrac{8}{15} = \dfrac{15}{4}$(个)单位长度. ② 当点 $P$ 沿数轴的正方向运动, 点 $Q$ 沿数轴的负方向运动时, $\dfrac{(-2 + 4.5t) + (-2 - 3t)}{2} = 0$, 解得 $t = \dfrac{8}{3}$, 此时点 $M$ 能与原点重合, 它沿数轴的正方向运动, 运动速度为每秒 $2÷\dfrac{8}{3} = \dfrac{3}{4}$(个)单位长度. ③ 当点 $P$ 沿数轴的负方向运动, 点 $Q$ 沿数轴的正方向运动时, $\dfrac{(-2 - 4.5t) + (-2 + 3t)}{2} = 0$, 解得 $t = -\dfrac{8}{3}$(不合题意, 舍去), 此时点 $M$ 不能与原点重合. ④ 当点 $P$,$Q$ 均沿数轴的负方向运动时, $\dfrac{(-2 - 4.5t) + (-2 - 3t)}{2} = 0$, 解得 $t = -\dfrac{8}{15}$(不合题意, 舍去), 此时点 $M$ 不能与原点重合. 综上所述, 从点 $P$,$Q$ 相遇起经过 $\dfrac{8}{15}$ 秒, 点 $M$ 与原点重合, 点 $M$ 的运动方向为数轴的正方向, 运动速度为每秒 $\dfrac{15}{4}$ 个单位长度; 或从点 $P$,$Q$ 相遇起经过 $\dfrac{8}{3}$ 秒, 点 $M$ 与原点重合, 点 $M$ 的运动方向为数轴的正方向, 运动速度为每秒 $\dfrac{3}{4}$ 个单位长度
解析
【分析】
（1）首先计算A、B两点的距离：$AB=|10-(-20)|=30$个单位长度。P、Q相向运动4秒相遇，说明二者4秒的路程和等于AB的长度，可求出速度和为$30÷4=7.5$单位长度/秒。已知P、Q速度比为$3:2$，按比例分配即可求出两者的运动速度。
（2）设运动时间为$x$秒，先写出$x$秒后点P、点Q表示的数，再根据数轴两点距离公式$PQ=|a-b|$，结合$PQ=\frac{1}{3}AB$列绝对值方程求解，注意绝对值方程存在两种情况，不要漏解。
（3）先求出P、Q的相遇点：4秒时点P运动的路程为$4×4.5=18$，因此相遇点表示的数为$-20+18=-2$。设相遇后经过$t$秒线段PQ的中点M与原点重合，分四种情况讨论P、Q的运动方向，根据中点公式列方程求解，$t$为正数的情况符合题意，再由中点从-2运动到0的路程除以对应时间得到运动速度，判断运动方向。
【解析】
(1) A、B两点距离为30单位长度，P、Q速度和为$30÷4=7.5$单位长度/秒。
因为P、Q速度比为$3:2$，所以P的速度为$7.5×\frac{3}{3+2}=4.5$单位长度/秒，Q的速度为$7.5×\frac{2}{3+2}=3$单位长度/秒。
(2) 设运动时间为$x$秒，根据题意，点P表示的数为$-20+4.5x$，点Q表示的数为$10-3x$。
由$PQ=\frac{1}{3}AB$，$AB=30$，得：
$|(-20+4.5x)-(10-3x)|=\frac{1}{3}×30$
整理得$|7.5x-30|=10$
即$7.5x-30=10$或$7.5x-30=-10$
解得$x=\frac{16}{3}$或$x=\frac{8}{3}$。
(3) 点P、Q相遇时，两点均在数$-2$对应的位置，即此时中点M也表示$-2$。设从相遇起经过$t$秒时M与原点重合，分情况讨论：
① 当P、Q均沿正方向运动时：$\frac{(-2+4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=\frac{8}{15}$，符合题意。此时M沿正方向运动，速度为$2÷\frac{8}{15}=\frac{15}{4}$单位长度/秒。
② 当P沿正方向运动，Q沿负方向运动时：$\frac{(-2+4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合题意。此时M沿正方向运动，速度为$2÷\frac{8}{3}=\frac{3}{4}$单位长度/秒。
③ 当P沿负方向运动，Q沿正方向运动时：$\frac{(-2-4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac{8}{3}$，不符合题意，舍去。
④ 当P、Q均沿负方向运动时：$\frac{(-2-4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac{8}{15}$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{4.5}$；$\boxed{3}$
(2) 运动时间为$\boxed{\frac{8}{3}}$秒或$\boxed{\frac{16}{3}}$秒
(3) 能；从P、Q相遇起经过$\boxed{\frac{8}{15}}$秒，点M沿数轴正方向运动，速度为每秒$\boxed{\frac{15}{4}}$个单位长度；或经过$\boxed{\frac{8}{3}}$秒，点M沿数轴正方向运动，速度为每秒$\boxed{\frac{3}{4}}$个单位长度。
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；数轴距离与中点公式
【点评】
本题以数轴为载体，综合考查了相遇问题、绝对值方程求解和分类讨论思想，需注意动点不同运动方向、绝对值方程的多解性，对逻辑分析能力的提升有很大帮助。
【难度系数】
0.3
（1）首先计算A、B两点的距离：$AB=|10-(-20)|=30$个单位长度。P、Q相向运动4秒相遇，说明二者4秒的路程和等于AB的长度，可求出速度和为$30÷4=7.5$单位长度/秒。已知P、Q速度比为$3:2$，按比例分配即可求出两者的运动速度。
（2）设运动时间为$x$秒，先写出$x$秒后点P、点Q表示的数，再根据数轴两点距离公式$PQ=|a-b|$，结合$PQ=\frac{1}{3}AB$列绝对值方程求解，注意绝对值方程存在两种情况，不要漏解。
（3）先求出P、Q的相遇点：4秒时点P运动的路程为$4×4.5=18$，因此相遇点表示的数为$-20+18=-2$。设相遇后经过$t$秒线段PQ的中点M与原点重合，分四种情况讨论P、Q的运动方向，根据中点公式列方程求解，$t$为正数的情况符合题意，再由中点从-2运动到0的路程除以对应时间得到运动速度，判断运动方向。
【解析】
(1) A、B两点距离为30单位长度，P、Q速度和为$30÷4=7.5$单位长度/秒。
因为P、Q速度比为$3:2$，所以P的速度为$7.5×\frac{3}{3+2}=4.5$单位长度/秒，Q的速度为$7.5×\frac{2}{3+2}=3$单位长度/秒。
(2) 设运动时间为$x$秒，根据题意，点P表示的数为$-20+4.5x$，点Q表示的数为$10-3x$。
由$PQ=\frac{1}{3}AB$，$AB=30$，得：
$|(-20+4.5x)-(10-3x)|=\frac{1}{3}×30$
整理得$|7.5x-30|=10$
即$7.5x-30=10$或$7.5x-30=-10$
解得$x=\frac{16}{3}$或$x=\frac{8}{3}$。
(3) 点P、Q相遇时，两点均在数$-2$对应的位置，即此时中点M也表示$-2$。设从相遇起经过$t$秒时M与原点重合，分情况讨论：
① 当P、Q均沿正方向运动时：$\frac{(-2+4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=\frac{8}{15}$，符合题意。此时M沿正方向运动，速度为$2÷\frac{8}{15}=\frac{15}{4}$单位长度/秒。
② 当P沿正方向运动，Q沿负方向运动时：$\frac{(-2+4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合题意。此时M沿正方向运动，速度为$2÷\frac{8}{3}=\frac{3}{4}$单位长度/秒。
③ 当P沿负方向运动，Q沿正方向运动时：$\frac{(-2-4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac{8}{3}$，不符合题意，舍去。
④ 当P、Q均沿负方向运动时：$\frac{(-2-4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac{8}{15}$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{4.5}$；$\boxed{3}$
(2) 运动时间为$\boxed{\frac{8}{3}}$秒或$\boxed{\frac{16}{3}}$秒
(3) 能；从P、Q相遇起经过$\boxed{\frac{8}{15}}$秒，点M沿数轴正方向运动，速度为每秒$\boxed{\frac{15}{4}}$个单位长度；或经过$\boxed{\frac{8}{3}}$秒，点M沿数轴正方向运动，速度为每秒$\boxed{\frac{3}{4}}$个单位长度。
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；数轴距离与中点公式
【点评】
本题以数轴为载体，综合考查了相遇问题、绝对值方程求解和分类讨论思想，需注意动点不同运动方向、绝对值方程的多解性，对逻辑分析能力的提升有很大帮助。
【难度系数】
0.3
