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4 计算：
(1) $-1 - 2 - 3 - 4 - \dots - 199 - 200$；
(2) $1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{217} + 5^{218}$。
(1) $-1 - 2 - 3 - 4 - \dots - 199 - 200$；
(2) $1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{217} + 5^{218}$。
答案
(1) 设$S=-1-2-3-4-\dots-199-200$①,则$S=-200-199-198-197-\dots-2-1$②. 由①+②,得$2S=-201×200$,即$2S=-40\ 200$,所以$S=-20\ 100$,即$-1-2-3-4-\dots-199-200=-20\ 100$
(2) 令$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}$①,则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{218}+5^{219}$②. 由②-①,得$5S-S=5^{219}-1$,所以$S=\dfrac{5^{219}-1}{4}$,即$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}=\dfrac{5^{219}-1}{4}$
(2) 令$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}$①,则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{218}+5^{219}$②. 由②-①,得$5S-S=5^{219}-1$,所以$S=\dfrac{5^{219}-1}{4}$,即$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}=\dfrac{5^{219}-1}{4}$
解析
【分析】
(1) 本题是连续负整数的求和问题，逐项计算计算量极大，可采用倒序相加的思路：先设原式的和为S，再将S的各项倒过来排列，把两个式子对应位置相加，可发现每一组的和都相等，用组数乘每组的和即可得到2S的值，进而求出S。
(2) 本题算式中后一项均为前一项的5倍，直接计算不现实，可采用错位相减的思路：先设原式的和为S，将S的每一项都乘5得到新的式子，再将两个式子相减，中间大部分相同的项会抵消，即可快速求出S的值。
【解析】
(1) 设$S=-1-2-3-4-\dots-199-200$ ①，
将①中各项倒序排列，可得$S=-200-199-198-\dots-2-1$ ②，
①+②得：$2S=(-1-200)+(-2-199)+(-3-198)+\dots+(-200-1)$，每组的和均为-201，共200组，
即$2S=-201×200=-40200$，
解得$S=-20100$。
(2) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}$ ①，
将①两边同时乘5，可得$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{218}+5^{219}$ ②，
用②减去①，得：$5S - S = (5+5^2+\dots+5^{219}) - (1+5+\dots+5^{218})$，中间相同项全部抵消，
即$4S=5^{219}-1$，
解得$S=\dfrac{5^{219}-1}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{-20100}$；(2) $\boxed{\dfrac{5^{219}-1}{4}}$
【知识点】
有理数巧算，倒序相加法，错位相减法
【点评】
这两道是求和类巧算的典型题，分别对应倒序相加、错位相减两种常用巧算技巧，熟练掌握后可快速解决同类连续求和问题，大幅降低计算量，避免逐项计算的失误。
【难度系数】
0.6
(1) 本题是连续负整数的求和问题，逐项计算计算量极大，可采用倒序相加的思路：先设原式的和为S，再将S的各项倒过来排列，把两个式子对应位置相加，可发现每一组的和都相等，用组数乘每组的和即可得到2S的值，进而求出S。
(2) 本题算式中后一项均为前一项的5倍，直接计算不现实，可采用错位相减的思路：先设原式的和为S，将S的每一项都乘5得到新的式子，再将两个式子相减，中间大部分相同的项会抵消，即可快速求出S的值。
【解析】
(1) 设$S=-1-2-3-4-\dots-199-200$ ①，
将①中各项倒序排列，可得$S=-200-199-198-\dots-2-1$ ②，
①+②得：$2S=(-1-200)+(-2-199)+(-3-198)+\dots+(-200-1)$，每组的和均为-201，共200组，
即$2S=-201×200=-40200$，
解得$S=-20100$。
(2) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}$ ①，
将①两边同时乘5，可得$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{218}+5^{219}$ ②，
用②减去①，得：$5S - S = (5+5^2+\dots+5^{219}) - (1+5+\dots+5^{218})$，中间相同项全部抵消，
即$4S=5^{219}-1$，
解得$S=\dfrac{5^{219}-1}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{-20100}$；(2) $\boxed{\dfrac{5^{219}-1}{4}}$
【知识点】
有理数巧算，倒序相加法，错位相减法
【点评】
这两道是求和类巧算的典型题，分别对应倒序相加、错位相减两种常用巧算技巧，熟练掌握后可快速解决同类连续求和问题，大幅降低计算量，避免逐项计算的失误。
【难度系数】
0.6
5 计算: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\dots +\dfrac{1}{2^{2026}}$.
答案
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$①,则$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2027}}$②. 由①-②,得$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$,所以$S=2-\dfrac{1}{2^{2026}}$,即$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}=2-\dfrac{1}{2^{2026}}$
解析
【分析】观察算式可发现，每一项都是前一项的$\dfrac{1}{2}$，项数多且分母是2的高次幂，直接通分计算非常繁琐。我们可以采用错位相减法求解：先设整个算式的和为$S$，再将等式两边同时乘$\dfrac{1}{2}$得到新的等式，两个等式中大部分项是重复的，相减后可以消去中间的重复项，只剩首尾两项，即可快速算出$S$的值。
【解析】
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$ ①，
将①的左右两边同时乘$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2027}}$ ②，
用①减去②，左边为$S-\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}S$，右边中间的相同项全部抵消，剩余$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，即：
$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，
等式两边同时乘2，得$S=2-\dfrac{1}{2^{2026}}$。
【答案】
$2-\dfrac{1}{2^{2026}}$
【知识点】
有理数巧算；错位相减法；乘方运算
【点评】
本题是有理数连加巧算的典型题型，核心是利用错位相消的思路消除大量重复的中间项，大幅简化计算，避免了高次幂通分的繁琐操作，掌握该方法可高效解决同类型的等比型连加问题。
【难度系数】
0.6
【解析】
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$ ①，
将①的左右两边同时乘$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2027}}$ ②，
用①减去②，左边为$S-\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}S$，右边中间的相同项全部抵消，剩余$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，即：
$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，
等式两边同时乘2，得$S=2-\dfrac{1}{2^{2026}}$。
【答案】
$2-\dfrac{1}{2^{2026}}$
【知识点】
有理数巧算；错位相减法；乘方运算
【点评】
本题是有理数连加巧算的典型题型，核心是利用错位相消的思路消除大量重复的中间项，大幅简化计算，避免了高次幂通分的繁琐操作，掌握该方法可高效解决同类型的等比型连加问题。
【难度系数】
0.6
6 计算：$-5\dfrac{5}{6} + (-9\dfrac{2}{3}) + 17\dfrac{3}{4} + (-3\dfrac{1}{2})$.
解：原式$=[(-5)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-9)+(-\dfrac{2}{3})]+(17+\dfrac{3}{4})+[(-3)+(-\dfrac{1}{2})]=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{2})]=0+(-1\dfrac{1}{4})=-1\dfrac{1}{4}$.
上面这种解题方法叫作拆项法，利用这种方法计算：
（1）$(-17\dfrac{2}{3}) + 16\dfrac{3}{4} + (-15\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}$；
（2）$(-2\,000\dfrac{5}{6}) + (-1\,999\dfrac{2}{3}) + 4\,000\dfrac{2}{3} + (-1\dfrac{1}{2})$；
（3）$\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12} - \dfrac{9}{20} + \dfrac{11}{30} - \dfrac{13}{42} + \dfrac{15}{56} - \dfrac{17}{72} + \dfrac{19}{90}$.
解：原式$=[(-5)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-9)+(-\dfrac{2}{3})]+(17+\dfrac{3}{4})+[(-3)+(-\dfrac{1}{2})]=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{2})]=0+(-1\dfrac{1}{4})=-1\dfrac{1}{4}$.
上面这种解题方法叫作拆项法，利用这种方法计算：
（1）$(-17\dfrac{2}{3}) + 16\dfrac{3}{4} + (-15\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}$；
（2）$(-2\,000\dfrac{5}{6}) + (-1\,999\dfrac{2}{3}) + 4\,000\dfrac{2}{3} + (-1\dfrac{1}{2})$；
（3）$\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12} - \dfrac{9}{20} + \dfrac{11}{30} - \dfrac{13}{42} + \dfrac{15}{56} - \dfrac{17}{72} + \dfrac{19}{90}$.
答案
(1) 原式$=[(-17)+16+(-15)+(-2)]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})] =-18+(-\dfrac{3}{4})=-18\dfrac{3}{4}$
(2) 原式$=[(-2\ 000)+(-1\ 999)+4\ 000+(-1)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}+(-\dfrac{1}{2})] =0+(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4}{3}$
(3) 原式$=(1+\dfrac{1}{2}) - (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}) + \dots + (\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10})=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}=1+\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{10}$
(2) 原式$=[(-2\ 000)+(-1\ 999)+4\ 000+(-1)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}+(-\dfrac{1}{2})] =0+(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4}{3}$
(3) 原式$=(1+\dfrac{1}{2}) - (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}) + \dots + (\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10})=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}=1+\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{10}$
解析
【分析】
本题考查有理数的巧算，解题思路如下：①对于前2小问的带分数加减运算，参照给出的拆项法，把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”的形式，再将所有整数部分合并计算、所有分数部分合并计算，最后把两部分的结果相加，避免直接通分计算的繁琐；②对于第(3)小问的分数加减，观察每个分数的特征：分母是相邻两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的和，因此可以把每个分数拆成两个相邻自然数倒数的和，拆分后中间互为相反数的项可以相互抵消，仅需计算剩余的首尾项即可得到结果。
【解析】
(1) 利用拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分：
原式$=[(-17)+(-\dfrac{2}{3})]+(16+\dfrac{3}{4})+[(-15)+(-\dfrac{1}{3})]+[(-2)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-17)+16+(-15)+(-2)]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-17)+16+(-15)+(-2)=-18$
分数部分计算：$(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2})=-1+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4}$
两部分相加：$-18+(-\dfrac{3}{4})=-18\dfrac{3}{4}$
(2) 同理用拆项法计算：
原式$=[(-2000)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-1999)+(-\dfrac{2}{3})]+(4000+\dfrac{2}{3})+[(-1)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-2000)+(-1999)+4000+(-1)=0$
分数部分计算：$(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{1}{2})+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}]=-\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{4}{3}$
两部分相加：$0+(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4}{3}$
(3) 利用裂项法拆分每个分数：
观察得$\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$……$\dfrac{19}{90}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}$，代入原式得：
原式$=(1+\dfrac{1}{2}) - (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}) + \dots + (\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10})$
去括号后中间项抵消：$1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}=1+\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18\dfrac{3}{4}}$；
(2) $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$；
(3) $\boldsymbol{1\dfrac{1}{10}}$
【知识点】
拆项法巧算，裂项相消，有理数加减运算
【点评】
本题侧重考察有理数运算的简便技巧，前两题通过拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分简化运算，第三题通过裂项拆分分数实现中间项抵消，大幅降低计算量，熟练掌握这类巧算方法能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.65
本题考查有理数的巧算，解题思路如下：①对于前2小问的带分数加减运算，参照给出的拆项法，把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”的形式，再将所有整数部分合并计算、所有分数部分合并计算，最后把两部分的结果相加，避免直接通分计算的繁琐；②对于第(3)小问的分数加减，观察每个分数的特征：分母是相邻两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的和，因此可以把每个分数拆成两个相邻自然数倒数的和，拆分后中间互为相反数的项可以相互抵消，仅需计算剩余的首尾项即可得到结果。
【解析】
(1) 利用拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分：
原式$=[(-17)+(-\dfrac{2}{3})]+(16+\dfrac{3}{4})+[(-15)+(-\dfrac{1}{3})]+[(-2)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-17)+16+(-15)+(-2)]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-17)+16+(-15)+(-2)=-18$
分数部分计算：$(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2})=-1+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4}$
两部分相加：$-18+(-\dfrac{3}{4})=-18\dfrac{3}{4}$
(2) 同理用拆项法计算：
原式$=[(-2000)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-1999)+(-\dfrac{2}{3})]+(4000+\dfrac{2}{3})+[(-1)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-2000)+(-1999)+4000+(-1)=0$
分数部分计算：$(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{1}{2})+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}]=-\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{4}{3}$
两部分相加：$0+(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4}{3}$
(3) 利用裂项法拆分每个分数：
观察得$\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$……$\dfrac{19}{90}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}$，代入原式得：
原式$=(1+\dfrac{1}{2}) - (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}) + \dots + (\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10})$
去括号后中间项抵消：$1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}=1+\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18\dfrac{3}{4}}$；
(2) $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$；
(3) $\boldsymbol{1\dfrac{1}{10}}$
【知识点】
拆项法巧算，裂项相消，有理数加减运算
【点评】
本题侧重考察有理数运算的简便技巧，前两题通过拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分简化运算，第三题通过裂项拆分分数实现中间项抵消，大幅降低计算量，熟练掌握这类巧算方法能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.65
