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1 玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“＋、－、×、÷”四则运算，使其运算结果为24.请用上述规则，写出算式.
（1）若给出四个数为－6，－2，4，5，则算式可以为
（2）若给出四个数为－6，3，4，10，则算式可以为
（1）若给出四个数为－6，－2，4，5，则算式可以为
$4×5-[−6−(−2)]=24$
；（2）若给出四个数为－6，3，4，10，则算式可以为
$3×[10+4+(−6)]=24$
.答案
（1）$4×5-[−6−(−2)]=24$
（2）$3×[10+4+(−6)]=24$
（2）$3×[10+4+(−6)]=24$
解析
【分析】
解24点问题的常用思路是：优先尝试凑出乘积为24的组合（如3×8、4×6、12×2等），若无法直接凑出乘积组合，再尝试凑出“和为24”“差为24”的加减组合，结合有理数的运算规则调整符号即可。
（1）针对-6、-2、4、5四个数，先观察到4×5=20，距离24还差4，剩余的-6和-2可通过运算得到-4，利用“减去一个负数等于加上它的相反数”，20 - (-4)刚好等于24，即可组合出算式。
（2）针对-6、3、4、10四个数，先观察到有数字3，优先凑8即可得到3×8=24，剩余的10、4、-6相加刚好等于8，即可组合出算式。
【解析】
（1）先计算乘法部分：$4×5=20$，再计算中括号内的有理数减法：$−6−(−2)=−6+2=−4$，最后计算整体：$20 - (-4)=20+4=24$，符合24点运算规则。
（2）先计算中括号内的有理数加减：$10+4+(−6)=14-6=8$，再计算乘法：$3×8=24$，符合24点运算规则。
【答案】
（1）$4×5-[−6−(−2)]=24$
（2）$3×[10+4+(−6)]=24$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性运算题，核心考查对四则运算规则的熟练运用，解题关键是灵活运用凑数思路，多尝试不同的运算组合即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解24点问题的常用思路是：优先尝试凑出乘积为24的组合（如3×8、4×6、12×2等），若无法直接凑出乘积组合，再尝试凑出“和为24”“差为24”的加减组合，结合有理数的运算规则调整符号即可。
（1）针对-6、-2、4、5四个数，先观察到4×5=20，距离24还差4，剩余的-6和-2可通过运算得到-4，利用“减去一个负数等于加上它的相反数”，20 - (-4)刚好等于24，即可组合出算式。
（2）针对-6、3、4、10四个数，先观察到有数字3，优先凑8即可得到3×8=24，剩余的10、4、-6相加刚好等于8，即可组合出算式。
【解析】
（1）先计算乘法部分：$4×5=20$，再计算中括号内的有理数减法：$−6−(−2)=−6+2=−4$，最后计算整体：$20 - (-4)=20+4=24$，符合24点运算规则。
（2）先计算中括号内的有理数加减：$10+4+(−6)=14-6=8$，再计算乘法：$3×8=24$，符合24点运算规则。
【答案】
（1）$4×5-[−6−(−2)]=24$
（2）$3×[10+4+(−6)]=24$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性运算题，核心考查对四则运算规则的熟练运用，解题关键是灵活运用凑数思路，多尝试不同的运算组合即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
2 有一种扑克牌游戏叫作“24点”.要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算得24.每张牌必须用且只能用一次.如果有四张牌如图所示(A代表数字1),请列出一种计算结果为24的算式:
$5×5-1^5=24$
.答案
$5×5-1^5=24$
解析
【分析】
首先明确四张牌对应的数字：A代表1，因此可用数字为1、5、5、5，要求每个数字用且仅用一次，可使用加、减、乘、除、乘方五种运算。解题时可先凑出接近24的数值：5×5=25，25与24相差1，接下来只需用剩余的1和5凑出1即可；根据乘方的性质，1的任意正整数次幂都是1，因此$1^5=1$，刚好使用了剩余的两个数字，即可组合出符合要求的算式。
【解析】
1. 确定牌面数字：A对应1，四个数字为1、5、5、5，每个数字仅能使用一次。
2. 凑接近24的数：计算$5×5=25$，25比24多1，剩余数字为1和5。
3. 用剩余数字凑1：根据乘方的运算性质，1的任意正整数次幂为1，因此$1^5=1$，刚好用完剩余两个数字。
4. 组合验证：$5×5-1^5=25-1=24$，符合要求。
【答案】
$5×5-1^5=24$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题为开放性运算题，考查对有理数运算规则的灵活运用能力，解题时可先凑出与目标值接近的数，再调整剩余数字的运算方式，多尝试不同组合即可找到符合要求的算式。
【难度系数】
0.6
首先明确四张牌对应的数字：A代表1，因此可用数字为1、5、5、5，要求每个数字用且仅用一次，可使用加、减、乘、除、乘方五种运算。解题时可先凑出接近24的数值：5×5=25，25与24相差1，接下来只需用剩余的1和5凑出1即可；根据乘方的性质，1的任意正整数次幂都是1，因此$1^5=1$，刚好使用了剩余的两个数字，即可组合出符合要求的算式。
【解析】
1. 确定牌面数字：A对应1，四个数字为1、5、5、5，每个数字仅能使用一次。
2. 凑接近24的数：计算$5×5=25$，25比24多1，剩余数字为1和5。
3. 用剩余数字凑1：根据乘方的运算性质，1的任意正整数次幂为1，因此$1^5=1$，刚好用完剩余两个数字。
4. 组合验证：$5×5-1^5=25-1=24$，符合要求。
【答案】
$5×5-1^5=24$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题为开放性运算题，考查对有理数运算规则的灵活运用能力，解题时可先凑出与目标值接近的数，再调整剩余数字的运算方式，多尝试不同组合即可找到符合要求的算式。
【难度系数】
0.6
3 对于下列给出的四个数,请用加、减、乘、除四种运算列出一种能算得 24 的算式.
(1) $-6,3,3,10$,算式:________;
(2) $2,3,-3,-7$,算式:________;
(3) $-2,2,-4,10$,算式:________;
(4) $-2,2,-3,12$,算式:________;
(5) $-5,5,6,7$,算式:________;
(6) $-2,2,-5,9$,算式:________;
(7) $1,-4,6,6$,算式:________;
(8) $1,3,10,-11$,算式:________;
(9) $2,-9,-13,13$,算式:________;
(10) $3,-3,7,-7$,算式:________;
(11) $2,3,-5,12$,算式:________.
(1) $-6,3,3,10$,算式:________;
(2) $2,3,-3,-7$,算式:________;
(3) $-2,2,-4,10$,算式:________;
(4) $-2,2,-3,12$,算式:________;
(5) $-5,5,6,7$,算式:________;
(6) $-2,2,-5,9$,算式:________;
(7) $1,-4,6,6$,算式:________;
(8) $1,3,10,-11$,算式:________;
(9) $2,-9,-13,13$,算式:________;
(10) $3,-3,7,-7$,算式:________;
(11) $2,3,-5,12$,算式:________.
答案
(1) $[10+(-6)÷3]×3=24$
(2) $[(-7)-3+2)]×(-3)=24$
(3) $(2+10)×(-4)÷(-2)=24$
(4) $[(-2)÷2-(-3)]×12=24$
(5) $6-7-5×(-5)=24$
(6) $[9-(-5)+(-2)]×2=24$
(7) $6-[(-4)+1]×6=24$
(8) $1-10-(-11)×3=24$
(9) $[13-(-9)]÷2-(-13)=24$
(10) $[(-3)÷7-3]×(-7)=24$
(11) $12÷[3+(-5)÷2]=24$
(2) $[(-7)-3+2)]×(-3)=24$
(3) $(2+10)×(-4)÷(-2)=24$
(4) $[(-2)÷2-(-3)]×12=24$
(5) $6-7-5×(-5)=24$
(6) $[9-(-5)+(-2)]×2=24$
(7) $6-[(-4)+1]×6=24$
(8) $1-10-(-11)×3=24$
(9) $[13-(-9)]÷2-(-13)=24$
(10) $[(-3)÷7-3]×(-7)=24$
(11) $12÷[3+(-5)÷2]=24$
解析
【分析】
算“24”是有理数四则混合运算的经典趣味题型，解题可遵循以下思路：1. 先联想可得到24的基础运算组合，常见的有乘积类（如3×8、4×6、2×12、负数乘负数得24）、和差类（如27-3、30-6、负数减负数得24）、除法类（如48÷2、-48÷(-2)）；2. 结合给定的4个数字，先尝试用2~3个数字凑出基础组合里的某个数，再和剩余数字运算；3. 运算中注意负数的符号规则：减去一个负数等于加上它的相反数，同号乘除结果为正，合理添加括号调整运算顺序，验证结果是否为24即可。
【解析】
我们按上述思路逐个推导：
(1) 对数字-6、3、3、10，先算$-6÷3=-2$，再算$10+(-2)=8$，最后$8×3=24$，可组合得到对应算式；
(2) 对数字2、3、-3、-7，先算$(-7)-3+2=-8$，再算$-8×(-3)=24$，可组合得到对应算式；
(3) 对数字-2、2、-4、10，先算$2+10=12$，再算$12×(-4)=-48$，最后$-48÷(-2)=24$，可组合得到对应算式；
(4) 对数字-2、2、-3、12，先算$(-2)÷2=-1$，再算$-1-(-3)=2$，最后$2×12=24$，可组合得到对应算式；
(5) 对数字-5、5、6、7，先算$5×(-5)=-25$，再算$6-7=-1$，最后$-1-(-25)=24$，可组合得到对应算式；
(6) 对数字-2、2、-5、9，先算$9-(-5)+(-2)=12$，再算$12×2=24$，可组合得到对应算式；
(7) 对数字1、-4、6、6，先算$(-4)+1=-3$，再算$-3×6=-18$，最后$6-(-18)=24$，可组合得到对应算式；
(8) 对数字1、3、10、-11，先算$(-11)×3=-33$，再算$1-10=-9$，最后$-9-(-33)=24$，可组合得到对应算式；
(9) 对数字2、-9、-13、13，先算$13-(-9)=22$，再算$22÷2=11$，最后$11-(-13)=24$，可组合得到对应算式；
(10) 对数字3、-3、7、-7，先算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算$-\frac{3}{7}-3=-\frac{24}{7}$，最后$-\frac{24}{7}×(-7)=24$，可组合得到对应算式；
(11) 对数字2、3、-5、12，先算$(-5)÷2=-2.5$，再算$3+(-2.5)=0.5$，最后$12÷0.5=24$，可组合得到对应算式。
【答案】
(1) $[10+(-6)÷3]×3=24$
(2) $[(-7)-3+2)]×(-3)=24$
(3) $(2+10)×(-4)÷(-2)=24$
(4) $[(-2)÷2-(-3)]×12=24$
(5) $6-7-5×(-5)=24$
(6) $[9-(-5)+(-2)]×2=24$
(7) $6-[(-4)+1]×6=24$
(8) $1-10-(-11)×3=24$
(9) $[13-(-9)]÷2-(-13)=24$
(10) $[(-3)÷7-3]×(-7)=24$
(11) $12÷[3+(-5)÷2]=24$
【知识点】
有理数四则混合运算，括号的运用，负数运算规则
【点评】
本题属于趣味运算题型，既可以巩固四则混合运算的运算顺序和符号规则，又能锻炼数字敏感度和发散思维，解题时可多角度尝试数字组合，熟悉常见的凑24模型能提升解题速度，注意运算过程中不要搞错符号。
【难度系数】
0.6
算“24”是有理数四则混合运算的经典趣味题型，解题可遵循以下思路：1. 先联想可得到24的基础运算组合，常见的有乘积类（如3×8、4×6、2×12、负数乘负数得24）、和差类（如27-3、30-6、负数减负数得24）、除法类（如48÷2、-48÷(-2)）；2. 结合给定的4个数字，先尝试用2~3个数字凑出基础组合里的某个数，再和剩余数字运算；3. 运算中注意负数的符号规则：减去一个负数等于加上它的相反数，同号乘除结果为正，合理添加括号调整运算顺序，验证结果是否为24即可。
【解析】
我们按上述思路逐个推导：
(1) 对数字-6、3、3、10，先算$-6÷3=-2$，再算$10+(-2)=8$，最后$8×3=24$，可组合得到对应算式；
(2) 对数字2、3、-3、-7，先算$(-7)-3+2=-8$，再算$-8×(-3)=24$，可组合得到对应算式；
(3) 对数字-2、2、-4、10，先算$2+10=12$，再算$12×(-4)=-48$，最后$-48÷(-2)=24$，可组合得到对应算式；
(4) 对数字-2、2、-3、12，先算$(-2)÷2=-1$，再算$-1-(-3)=2$，最后$2×12=24$，可组合得到对应算式；
(5) 对数字-5、5、6、7，先算$5×(-5)=-25$，再算$6-7=-1$，最后$-1-(-25)=24$，可组合得到对应算式；
(6) 对数字-2、2、-5、9，先算$9-(-5)+(-2)=12$，再算$12×2=24$，可组合得到对应算式；
(7) 对数字1、-4、6、6，先算$(-4)+1=-3$，再算$-3×6=-18$，最后$6-(-18)=24$，可组合得到对应算式；
(8) 对数字1、3、10、-11，先算$(-11)×3=-33$，再算$1-10=-9$，最后$-9-(-33)=24$，可组合得到对应算式；
(9) 对数字2、-9、-13、13，先算$13-(-9)=22$，再算$22÷2=11$，最后$11-(-13)=24$，可组合得到对应算式；
(10) 对数字3、-3、7、-7，先算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算$-\frac{3}{7}-3=-\frac{24}{7}$，最后$-\frac{24}{7}×(-7)=24$，可组合得到对应算式；
(11) 对数字2、3、-5、12，先算$(-5)÷2=-2.5$，再算$3+(-2.5)=0.5$，最后$12÷0.5=24$，可组合得到对应算式。
【答案】
(1) $[10+(-6)÷3]×3=24$
(2) $[(-7)-3+2)]×(-3)=24$
(3) $(2+10)×(-4)÷(-2)=24$
(4) $[(-2)÷2-(-3)]×12=24$
(5) $6-7-5×(-5)=24$
(6) $[9-(-5)+(-2)]×2=24$
(7) $6-[(-4)+1]×6=24$
(8) $1-10-(-11)×3=24$
(9) $[13-(-9)]÷2-(-13)=24$
(10) $[(-3)÷7-3]×(-7)=24$
(11) $12÷[3+(-5)÷2]=24$
【知识点】
有理数四则混合运算，括号的运用，负数运算规则
【点评】
本题属于趣味运算题型，既可以巩固四则混合运算的运算顺序和符号规则，又能锻炼数字敏感度和发散思维，解题时可多角度尝试数字组合，熟悉常见的凑24模型能提升解题速度，注意运算过程中不要搞错符号。
【难度系数】
0.6
4 有一种“24 点”游戏，其游戏规则如下：任取一副扑克牌，我们约定 A 为 1，K 为 13，Q 为 12，J 为 11，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负。任取 4 张牌（可使用括号），每个数用且只用一次，使其通过加、减、乘、除四种运算后的结果等于 24。例如：抽出的 4 张牌分别是黑桃 4、梅花 2、方块 4、红桃 3，则 $4×(-4)÷(-2)×3=24$。
（1）若抽出黑桃 3、梅花 1、方块 5、红桃 3，请写出 1 种算式，使其计算结果为 24；
（2）若抽出黑桃 3、梅花 K、方块 8、红桃 Q，请写出 2 种不同的算式，使其计算结果均为 24；
（3）若抽出黑桃 4、梅花 7、方块 2、红桃 3，请设计 1 种含“乘方”的混合运算的算式，使其计算结果为 24。
（1）若抽出黑桃 3、梅花 1、方块 5、红桃 3，请写出 1 种算式，使其计算结果为 24；
（2）若抽出黑桃 3、梅花 K、方块 8、红桃 Q，请写出 2 种不同的算式，使其计算结果均为 24；
（3）若抽出黑桃 4、梅花 7、方块 2、红桃 3，请设计 1 种含“乘方”的混合运算的算式，使其计算结果为 24。
答案
（1）$(5+3)×(-3)×(-1)=24$
（2）$[12+(-13)]×(-3)×8=24$ 或 $[(-3)-(-13)-8]×12=24$
（3）$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
（2）$[12+(-13)]×(-3)×8=24$ 或 $[(-3)-(-13)-8]×12=24$
（3）$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
解析
【分析】
解题时首先要根据规则把每张牌转换为对应的带正负号的有理数，再结合24的常见因数拆分（如3×8、4×6、2×12等），灵活运用四则运算、括号，第（3）问还需用到乘方运算，保证每个数字仅用一次，凑出结果为24的算式即可。
（1）先得到四个数：-3、-1、5、3，观察发现5+3=8，两个负数相乘得正，8×3×1=24，即可组合出算式；
（2）先得到四个数：-3、-13、8、12，可先凑出1、2等小数字，再和其余数字相乘得到24；
（3）先得到四个数：-4、-7、2、3，需要加入乘方，可将2和3组合为2³=8，再凑出3，3×8=24即可。
【解析】
（1）首先转换数字：黑桃3对应-3，梅花1对应-1，方块5对应5，红桃3对应3。
可列算式：$(5+3)×(-3)×(-1)=8×3=24$；
（2）首先转换数字：黑桃3对应-3，梅花K对应-13，方块8对应8，红桃Q对应12。
第一种：先算括号内$12+(-13)=-1$，再依次计算$(-1)×(-3)=3$，$3×8=24$，即$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；
第二种：先算括号内$(-3)-(-13)-8=10-8=2$，再算$2×12=24$，即$[(-3)-(-13)-8]×12=24$；
（3）首先转换数字：黑桃4对应-4，梅花7对应-7，方块2对应2，红桃3对应3。
要求含乘方，先算$2^3=8$，再算括号内$(-4)-(-7)=3$，最后$3×8=24$，即$[(-4)-(-7)]×2^3=24$。
【答案】
（1）$(5+3)×(-3)×(-1)=24$
（2）$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；$[(-3)-(-13)-8]×12=24$
（3）$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
（以上答案均不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；四则巧算
【点评】
本题结合趣味“24点”游戏考查有理数运算的灵活运用，需要熟练掌握正负数运算规则、乘方的计算方法，熟悉24的常见拆分形式，多尝试数字组合就能顺利解题，能很好地锻炼运算能力和发散思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据规则把每张牌转换为对应的带正负号的有理数，再结合24的常见因数拆分（如3×8、4×6、2×12等），灵活运用四则运算、括号，第（3）问还需用到乘方运算，保证每个数字仅用一次，凑出结果为24的算式即可。
（1）先得到四个数：-3、-1、5、3，观察发现5+3=8，两个负数相乘得正，8×3×1=24，即可组合出算式；
（2）先得到四个数：-3、-13、8、12，可先凑出1、2等小数字，再和其余数字相乘得到24；
（3）先得到四个数：-4、-7、2、3，需要加入乘方，可将2和3组合为2³=8，再凑出3，3×8=24即可。
【解析】
（1）首先转换数字：黑桃3对应-3，梅花1对应-1，方块5对应5，红桃3对应3。
可列算式：$(5+3)×(-3)×(-1)=8×3=24$；
（2）首先转换数字：黑桃3对应-3，梅花K对应-13，方块8对应8，红桃Q对应12。
第一种：先算括号内$12+(-13)=-1$，再依次计算$(-1)×(-3)=3$，$3×8=24$，即$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；
第二种：先算括号内$(-3)-(-13)-8=10-8=2$，再算$2×12=24$，即$[(-3)-(-13)-8]×12=24$；
（3）首先转换数字：黑桃4对应-4，梅花7对应-7，方块2对应2，红桃3对应3。
要求含乘方，先算$2^3=8$，再算括号内$(-4)-(-7)=3$，最后$3×8=24$，即$[(-4)-(-7)]×2^3=24$。
【答案】
（1）$(5+3)×(-3)×(-1)=24$
（2）$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；$[(-3)-(-13)-8]×12=24$
（3）$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
（以上答案均不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；四则巧算
【点评】
本题结合趣味“24点”游戏考查有理数运算的灵活运用，需要熟练掌握正负数运算规则、乘方的计算方法，熟悉24的常见拆分形式，多尝试数字组合就能顺利解题，能很好地锻炼运算能力和发散思维。
【难度系数】
0.7
