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1 计算：$5\dfrac{3}{5}+(-1\dfrac{7}{8})+2\dfrac{2}{5}+(-3\dfrac{5}{12})+2\dfrac{7}{8}+(-12\dfrac{7}{12}).$
答案
-7
解析
【分析】
本题是带分数的有理数加减混合运算，观察算式中各数的特征可发现存在多组同分母的带分数，我们可以借助加法交换律和结合律巧算：第一步用加法交换律调整各数位置，将同分母的数归类到一起；第二步用加法结合律把同分母的数分别分组；第三步先计算每组的结果，再将各组结果相加即可，无需通分就能快速得出答案，大幅简化计算过程。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(5\dfrac{3}{5}+2\dfrac{2}{5})+[(-1\dfrac{7}{8})+2\dfrac{7}{8}]+[(-3\dfrac{5}{12})+(-12\dfrac{7}{12})]\\&=8 + 1 + (-16)\\&=9-16\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
$-7$
【知识点】
有理数加减运算、加法交换律、加法结合律
【点评】
本题考查有理数加减的巧算方法，合理运用加法运算律将同分母的数分组计算，可避免复杂的通分过程，降低计算出错的概率，是有理数运算中非常实用的简便技巧。
【难度系数】
0.7
本题是带分数的有理数加减混合运算，观察算式中各数的特征可发现存在多组同分母的带分数，我们可以借助加法交换律和结合律巧算：第一步用加法交换律调整各数位置，将同分母的数归类到一起；第二步用加法结合律把同分母的数分别分组；第三步先计算每组的结果，再将各组结果相加即可，无需通分就能快速得出答案，大幅简化计算过程。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(5\dfrac{3}{5}+2\dfrac{2}{5})+[(-1\dfrac{7}{8})+2\dfrac{7}{8}]+[(-3\dfrac{5}{12})+(-12\dfrac{7}{12})]\\&=8 + 1 + (-16)\\&=9-16\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
$-7$
【知识点】
有理数加减运算、加法交换律、加法结合律
【点评】
本题考查有理数加减的巧算方法，合理运用加法运算律将同分母的数分组计算，可避免复杂的通分过程，降低计算出错的概率，是有理数运算中非常实用的简便技巧。
【难度系数】
0.7
2 计算：
(1) $(-12.5) × (+317) × (-\dfrac{4}{5}) × (-0.1)$；
(2) $-1^2 - (\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{6}) × (-24)$；
(3) $48\dfrac{24}{25} ÷ (-48)$；
(4) $7777 × 138\dfrac{7}{9} + \dfrac{2}{9} ÷ (-\dfrac{1}{7777}) - 38\dfrac{5}{9} × 7777$；
(5) $(-\dfrac{4}{5}) × \dfrac{5}{13} - (-\dfrac{3}{5}) ÷ (-2\dfrac{3}{5}) - \dfrac{5}{13} × (-1\dfrac{3}{5})$。
(1) $(-12.5) × (+317) × (-\dfrac{4}{5}) × (-0.1)$；
(2) $-1^2 - (\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{6}) × (-24)$；
(3) $48\dfrac{24}{25} ÷ (-48)$；
(4) $7777 × 138\dfrac{7}{9} + \dfrac{2}{9} ÷ (-\dfrac{1}{7777}) - 38\dfrac{5}{9} × 7777$；
(5) $(-\dfrac{4}{5}) × \dfrac{5}{13} - (-\dfrac{3}{5}) ÷ (-2\dfrac{3}{5}) - \dfrac{5}{13} × (-1\dfrac{3}{5})$。
答案
(1) -317
(2) -24
(3) $-1\dfrac{1}{50}$
(4) 777 700
(5) $\dfrac{1}{13}$
(2) -24
(3) $-1\dfrac{1}{50}$
(4) 777 700
(5) $\dfrac{1}{13}$
解析
【分析】
这组题为有理数巧算题，解题核心是灵活运用乘法交换律、结合律、分配律及带分数拆分等技巧，优先凑整、约分简化计算，避免直接硬算出错：
(1) 先确定积的符号，再将能凑整的数结合相乘；
(2) 先算乘方，再对括号与(-24)的乘积用乘法分配律展开，简化计算；
(3) 将带分数拆成整数加真分数的形式，再用分配律计算除法；
(4) 先把除法转化为乘法，统一提取公因数7777后合并剩余部分计算；
(5) 先把除法转化为乘法，再提取公因数$\dfrac{5}{13}$简化计算。
【解析】
(1) 负因数共3个，积为负，交换因数位置凑整：
$\begin{aligned}原式&=-(12.5× \dfrac{4}{5}× 0.1)× 317\\&=-(10× 0.1)× 317\\&=-1× 317\\&=-317\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-1-[\dfrac{2}{3}× (-24)-\dfrac{7}{8}× (-24)+\dfrac{1}{12}× (-24)-\dfrac{5}{6}× (-24)]\\&=-1-(-16+21-2+20)\\&=-1-23\\&=-24\end{aligned}$
(3) 拆分带分数，将除法转化为乘法后用分配律：
$\begin{aligned}原式&=(48+\dfrac{24}{25})× (-\dfrac{1}{48})\\&=48× (-\dfrac{1}{48})+\dfrac{24}{25}× (-\dfrac{1}{48})\\&=-1-\dfrac{1}{50}\\&=-1\dfrac{1}{50}\end{aligned}$
(4) 统一为乘法后提取公因数7777：
$\begin{aligned}原式&=7777× 138\dfrac{7}{9}+\dfrac{2}{9}× (-7777)-38\dfrac{5}{9}× 7777\\&=7777× (138\dfrac{7}{9}-\dfrac{2}{9}-38\dfrac{5}{9})\\&=7777× 100\\&=777700\end{aligned}$
(5) 除法转乘法后提取公因数$\dfrac{5}{13}$：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{4}{5}× \dfrac{5}{13}-\dfrac{3}{5}× \dfrac{5}{13}+\dfrac{8}{5}× \dfrac{5}{13}\\&=\dfrac{5}{13}× (-\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5})\\&=\dfrac{5}{13}× \dfrac{1}{5}\\&=\dfrac{1}{13}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-317$；(2) $-24$；(3) $-1\dfrac{1}{50}$；(4) $777700$；(5) $\dfrac{1}{13}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法运算律、分数巧算
【点评】
本组题目重点考察有理数运算中运算律的灵活运用，通过凑整、提取公因数、拆分带分数等技巧可大幅简化计算，减少运算量，避免硬算出错。
【难度系数】
0.65
这组题为有理数巧算题，解题核心是灵活运用乘法交换律、结合律、分配律及带分数拆分等技巧，优先凑整、约分简化计算，避免直接硬算出错：
(1) 先确定积的符号，再将能凑整的数结合相乘；
(2) 先算乘方，再对括号与(-24)的乘积用乘法分配律展开，简化计算；
(3) 将带分数拆成整数加真分数的形式，再用分配律计算除法；
(4) 先把除法转化为乘法，统一提取公因数7777后合并剩余部分计算；
(5) 先把除法转化为乘法，再提取公因数$\dfrac{5}{13}$简化计算。
【解析】
(1) 负因数共3个，积为负，交换因数位置凑整：
$\begin{aligned}原式&=-(12.5× \dfrac{4}{5}× 0.1)× 317\\&=-(10× 0.1)× 317\\&=-1× 317\\&=-317\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-1-[\dfrac{2}{3}× (-24)-\dfrac{7}{8}× (-24)+\dfrac{1}{12}× (-24)-\dfrac{5}{6}× (-24)]\\&=-1-(-16+21-2+20)\\&=-1-23\\&=-24\end{aligned}$
(3) 拆分带分数，将除法转化为乘法后用分配律：
$\begin{aligned}原式&=(48+\dfrac{24}{25})× (-\dfrac{1}{48})\\&=48× (-\dfrac{1}{48})+\dfrac{24}{25}× (-\dfrac{1}{48})\\&=-1-\dfrac{1}{50}\\&=-1\dfrac{1}{50}\end{aligned}$
(4) 统一为乘法后提取公因数7777：
$\begin{aligned}原式&=7777× 138\dfrac{7}{9}+\dfrac{2}{9}× (-7777)-38\dfrac{5}{9}× 7777\\&=7777× (138\dfrac{7}{9}-\dfrac{2}{9}-38\dfrac{5}{9})\\&=7777× 100\\&=777700\end{aligned}$
(5) 除法转乘法后提取公因数$\dfrac{5}{13}$：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{4}{5}× \dfrac{5}{13}-\dfrac{3}{5}× \dfrac{5}{13}+\dfrac{8}{5}× \dfrac{5}{13}\\&=\dfrac{5}{13}× (-\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5})\\&=\dfrac{5}{13}× \dfrac{1}{5}\\&=\dfrac{1}{13}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-317$；(2) $-24$；(3) $-1\dfrac{1}{50}$；(4) $777700$；(5) $\dfrac{1}{13}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法运算律、分数巧算
【点评】
本组题目重点考察有理数运算中运算律的灵活运用，通过凑整、提取公因数、拆分带分数等技巧可大幅简化计算，减少运算量，避免硬算出错。
【难度系数】
0.65
3 一题多解 计算：$(-\dfrac{1}{30})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})$。
解法一：原式$=(-\dfrac{1}{30})÷[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-(\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{5})]=(-\dfrac{1}{30})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{30})×3=-\dfrac{1}{10}$。
解法二：原式的倒数$=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})÷(-\dfrac{1}{30})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10$，所以原式$=-\dfrac{1}{10}$。
请用上述两种解法计算：$(-\dfrac{1}{84})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7})$。
解法一：原式$=(-\dfrac{1}{30})÷[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-(\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{5})]=(-\dfrac{1}{30})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{30})×3=-\dfrac{1}{10}$。
解法二：原式的倒数$=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})÷(-\dfrac{1}{30})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10$，所以原式$=-\dfrac{1}{10}$。
请用上述两种解法计算：$(-\dfrac{1}{84})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7})$。
答案
解法一：$(-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) = (-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{7}{42}-\dfrac{15}{42}+\dfrac{14}{42}-\dfrac{18}{42}) = (-\dfrac{1}{84}) ÷ (-\dfrac{12}{42}) = (-\dfrac{1}{84}) × (-\dfrac{42}{12}) =\dfrac{1}{24}$
解法二:原式的倒数$= (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{84}) = (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) × (-84) =-14+30-28+36=24$,所以原式$=\dfrac{1}{24}$
解法二:原式的倒数$= (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{84}) = (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) × (-84) =-14+30-28+36=24$,所以原式$=\dfrac{1}{24}$
解析
【分析】本题可采用两种方法计算：解法一为常规运算思路，先将括号内的分数通分，计算出括号内加减运算的结果，再根据有理数除法法则（除以一个非零数等于乘这个数的倒数）计算最终结果；解法二为巧算思路，利用倒数的性质，先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后运用乘法分配律简化计算，最后对结果取倒数即可得到原式的答案，该方法可减少通分的计算量，降低出错概率。
【解析】
解法一：
$\begin{aligned}&\quad(-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{7}{42}-\dfrac{15}{42}+\dfrac{14}{42}-\dfrac{18}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (-\dfrac{12}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) × (-\dfrac{42}{12}) \\&=\dfrac{1}{24}\end{aligned}$
解法二：
先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&\quad(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{84}) \\&= (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) × (-84) \\&=\dfrac{1}{6}×(-84) - \dfrac{5}{14}×(-84) + \dfrac{1}{3}×(-84) - \dfrac{3}{7}×(-84) \\&=-14+30-28+36 \\&=24\end{aligned}$
所以原式$=\dfrac{1}{24}$
【答案】
$\dfrac{1}{24}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题是有理数巧算的典型题目，常规解法思路直接但通分步骤较多，倒数法结合乘法分配律的计算方式更简便，能有效提升计算效率和准确率，平时练习可以多尝试巧用运算定律简化计算。
【难度系数】
0.7
【解析】
解法一：
$\begin{aligned}&\quad(-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{7}{42}-\dfrac{15}{42}+\dfrac{14}{42}-\dfrac{18}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (-\dfrac{12}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) × (-\dfrac{42}{12}) \\&=\dfrac{1}{24}\end{aligned}$
解法二：
先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&\quad(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{84}) \\&= (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) × (-84) \\&=\dfrac{1}{6}×(-84) - \dfrac{5}{14}×(-84) + \dfrac{1}{3}×(-84) - \dfrac{3}{7}×(-84) \\&=-14+30-28+36 \\&=24\end{aligned}$
所以原式$=\dfrac{1}{24}$
【答案】
$\dfrac{1}{24}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题是有理数巧算的典型题目，常规解法思路直接但通分步骤较多，倒数法结合乘法分配律的计算方式更简便，能有效提升计算效率和准确率，平时练习可以多尝试巧用运算定律简化计算。
【难度系数】
0.7
