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8 计算：
(1) $-\dfrac{1}{12}+(0.3× 3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})÷ |-4|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^3+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{3}-\left|\dfrac{2}{3}-2\right|)$；
(3) $250-(-49\dfrac{24}{25})× (-5)$；
(4) $[1\dfrac{11}{24}-(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})× (-24)]÷ (-5^2)$。
(1) $-\dfrac{1}{12}+(0.3× 3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})÷ |-4|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^3+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{3}-\left|\dfrac{2}{3}-2\right|)$；
(3) $250-(-49\dfrac{24}{25})× (-5)$；
(4) $[1\dfrac{11}{24}-(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})× (-24)]÷ (-5^2)$。
答案
8.(1)$\frac{1}{4}$ (2)$-\frac{11}{24}$ (3)$\frac{1}{5}$ (4)$\frac{17}{120}$
解析
【分析】
有理数混合运算遵循固定运算顺序：①先算乘方、绝对值运算，再算乘除，最后算加减；②有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算；③遇到接近整数的分数乘整数、括号内分数和乘整数的题型，可利用乘法分配律简化计算，避免复杂通分。计算时注意符号变化：负数的奇次幂为负，去绝对值要先判断内部式子的正负，去括号注意符号是否改变。
【解析】
(1) 先算绝对值和括号内运算：
$|-4|=4$，括号内$0.3×3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}×\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
再算除法：$\dfrac{4}{3}÷4=\dfrac{4}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}$
最后算加减：$-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
(2) 先算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，$\left|\dfrac{2}{3}-2\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}$
再算括号内运算：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
再算乘法：$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$
最后算加减：$-\dfrac{1}{8}+(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{3}{24}-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{11}{24}$
(3) 利用乘法分配律简化计算：
将$-49\dfrac{24}{25}$改写为$-50+\dfrac{1}{25}$，则：
$(-49\dfrac{24}{25})×(-5)=(-50+\dfrac{1}{25})×(-5)=(-50)×(-5)+\dfrac{1}{25}×(-5)=250-\dfrac{1}{5}$
代入原式：$250-(250-\dfrac{1}{5})=250-250+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}$
(4) 先算乘方，再利用乘法分配律算括号内乘法：
$-5^2=-25$，$(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})×(-24)=\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{4}×(-24)=-9-4+18=5$
再算中括号内运算：$1\dfrac{11}{24}-5=\dfrac{35}{24}-\dfrac{120}{24}=-\dfrac{85}{24}$
最后算除法：$(-\dfrac{85}{24})÷(-25)=\dfrac{85}{24}×\dfrac{1}{25}=\dfrac{17}{120}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$；(2)$-\dfrac{11}{24}$；(3)$\dfrac{1}{5}$；(4)$\dfrac{17}{120}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘法分配律应用
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的运算顺序和简便运算技巧，计算时需明确运算优先级，合理运用运算律可有效降低计算量，减少出错概率，需格外注意符号变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算遵循固定运算顺序：①先算乘方、绝对值运算，再算乘除，最后算加减；②有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算；③遇到接近整数的分数乘整数、括号内分数和乘整数的题型，可利用乘法分配律简化计算，避免复杂通分。计算时注意符号变化：负数的奇次幂为负，去绝对值要先判断内部式子的正负，去括号注意符号是否改变。
【解析】
(1) 先算绝对值和括号内运算：
$|-4|=4$，括号内$0.3×3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}×\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
再算除法：$\dfrac{4}{3}÷4=\dfrac{4}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}$
最后算加减：$-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
(2) 先算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，$\left|\dfrac{2}{3}-2\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}$
再算括号内运算：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
再算乘法：$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$
最后算加减：$-\dfrac{1}{8}+(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{3}{24}-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{11}{24}$
(3) 利用乘法分配律简化计算：
将$-49\dfrac{24}{25}$改写为$-50+\dfrac{1}{25}$，则：
$(-49\dfrac{24}{25})×(-5)=(-50+\dfrac{1}{25})×(-5)=(-50)×(-5)+\dfrac{1}{25}×(-5)=250-\dfrac{1}{5}$
代入原式：$250-(250-\dfrac{1}{5})=250-250+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}$
(4) 先算乘方，再利用乘法分配律算括号内乘法：
$-5^2=-25$，$(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})×(-24)=\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{4}×(-24)=-9-4+18=5$
再算中括号内运算：$1\dfrac{11}{24}-5=\dfrac{35}{24}-\dfrac{120}{24}=-\dfrac{85}{24}$
最后算除法：$(-\dfrac{85}{24})÷(-25)=\dfrac{85}{24}×\dfrac{1}{25}=\dfrac{17}{120}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$；(2)$-\dfrac{11}{24}$；(3)$\dfrac{1}{5}$；(4)$\dfrac{17}{120}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘法分配律应用
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的运算顺序和简便运算技巧，计算时需明确运算优先级，合理运用运算律可有效降低计算量，减少出错概率，需格外注意符号变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
9 用计算器计算：$-3-[-5+(1-0.2^{2}×\dfrac{3}{5})÷(-2)^{2}].$
答案
9.1.756
解析
【分析】
本题属于有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。首先计算两个乘方项：$0.2^2$和$(-2)^2$，再依次计算小括号内的乘法、减法，接着计算中括号内的除法、加法，最后计算括号外的减法即可得到结果，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
解：按照运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$0.2^2=0.04$，$(-2)^2=4$
2. 计算小括号内的运算：
先算乘法：$0.04×\frac{3}{5}=0.04×0.6=0.024$
再算减法：$1-0.024=0.976$
3. 计算中括号内的运算：
先算除法：$0.976÷4=0.244$
再算加法：$-5+0.244=-4.756$
4. 计算括号外的运算：
$-3-(-4.756)=-3+4.756=1.756$
【答案】
1.756
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 乘方运算
3. 四则运算顺序
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，计算时需牢记运算顺序，同时要注意负数相关的符号变化，避免因符号判断错误或运算顺序颠倒导致失分。
【难度系数】
0.8
本题属于有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。首先计算两个乘方项：$0.2^2$和$(-2)^2$，再依次计算小括号内的乘法、减法，接着计算中括号内的除法、加法，最后计算括号外的减法即可得到结果，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
解：按照运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$0.2^2=0.04$，$(-2)^2=4$
2. 计算小括号内的运算：
先算乘法：$0.04×\frac{3}{5}=0.04×0.6=0.024$
再算减法：$1-0.024=0.976$
3. 计算中括号内的运算：
先算除法：$0.976÷4=0.244$
再算加法：$-5+0.244=-4.756$
4. 计算括号外的运算：
$-3-(-4.756)=-3+4.756=1.756$
【答案】
1.756
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 乘方运算
3. 四则运算顺序
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，计算时需牢记运算顺序，同时要注意负数相关的符号变化，避免因符号判断错误或运算顺序颠倒导致失分。
【难度系数】
0.8
10 新考向 阅读理解题 阅读材料：
求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}$的值.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}$①,将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+··· +2^{2\,026}+2^{2\,027}$②.
由②$-$①,得$2S-S=2^{2\,027}-1$,所以$S=2^{2\,027}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}=2^{2\,027}-1$.
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{9}+2^{10}$；
(2)$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{n-1}+3^{n}$(其中$n$为正整数).
求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}$的值.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}$①,将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+··· +2^{2\,026}+2^{2\,027}$②.
由②$-$①,得$2S-S=2^{2\,027}-1$,所以$S=2^{2\,027}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2\,025}+2^{2\,026}=2^{2\,027}-1$.
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{9}+2^{10}$；
(2)$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{n-1}+3^{n}$(其中$n$为正整数).
答案
10. (1) 设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{9}+2^{10}$①,将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{10}+2^{11}$②. 由②$-$①,得$2S-S=2^{11}-1$,所以$S=2^{11}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{9}+2^{10}=2^{11}-1$
(2) 设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}$①,将等式两边同时乘3,得$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+…+3^{n}+3^{n+1}$②. 由②$-$①,得$3S-S=3^{n+1}-1$,所以$S=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$,即$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$
(2) 设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}$①,将等式两边同时乘3,得$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+…+3^{n}+3^{n+1}$②. 由②$-$①,得$3S-S=3^{n+1}-1$,所以$S=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$,即$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$
解析
【分析】
本题采用类比迁移的思路解题，先读懂材料给出的错位相减法求和步骤：①设所求式子的和为S；②将等式两边同时乘式子中后一项与前一项的比值（公比），得到新的等式；③两式相减消去中间相同的项，化简求出S即可。对于第(1)问，公比为2，直接仿照材料步骤，把最高次幂换成10计算；第(2)问公比变为3，乘3后相减得到的系数为2，最后除以2就能得到结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{9}+2^{10}$①，将等式两边同时乘2，得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{10}+2^{11}$②。
由②$-$①，得$2S-S=2^{11}-1$，所以$S=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}$①，将等式两边同时乘3，得$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+…+3^{n}+3^{n+1}$②。
由②$-$①，得$3S-S=3^{n+1}-1$，即$2S=3^{n+1}-1$，所以$S=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{11}-1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)}$（其中$n$为正整数）
【知识点】
错位相减法求和，有理数乘方运算，类比迁移思想
【点评】
本题属于阅读理解类的规律探究题，核心是读懂材料给出的求和方法，将方法迁移到不同公比的求和问题中，解题时注意公比变化后相减所得式子的系数处理，避免漏除系数的错误。
【难度系数】
0.7
本题采用类比迁移的思路解题，先读懂材料给出的错位相减法求和步骤：①设所求式子的和为S；②将等式两边同时乘式子中后一项与前一项的比值（公比），得到新的等式；③两式相减消去中间相同的项，化简求出S即可。对于第(1)问，公比为2，直接仿照材料步骤，把最高次幂换成10计算；第(2)问公比变为3，乘3后相减得到的系数为2，最后除以2就能得到结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{9}+2^{10}$①，将等式两边同时乘2，得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{10}+2^{11}$②。
由②$-$①，得$2S-S=2^{11}-1$，所以$S=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n-1}+3^{n}$①，将等式两边同时乘3，得$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+…+3^{n}+3^{n+1}$②。
由②$-$①，得$3S-S=3^{n+1}-1$，即$2S=3^{n+1}-1$，所以$S=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{11}-1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)}$（其中$n$为正整数）
【知识点】
错位相减法求和，有理数乘方运算，类比迁移思想
【点评】
本题属于阅读理解类的规律探究题，核心是读懂材料给出的求和方法，将方法迁移到不同公比的求和问题中，解题时注意公比变化后相减所得式子的系数处理，避免漏除系数的错误。
【难度系数】
0.7
