登录
1. 若要使式子$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则实数$a$的取值范围是 （
A.$a≥ -1$
B.$a≠ 2$
C.$a＞2$
D.$a≥ -1$且$a≠ 2$
D
）A.$a≥ -1$
B.$a≠ 2$
C.$a＞2$
D.$a≥ -1$且$a≠ 2$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定使代数式有意义的字母取值范围，需先明确代数式各部分的限制要求：式子中包含二次根式和分式两部分，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；根据分式的定义，分母不能为0。我们只需分别列出两个限制条件对应的不等式，再求解出两个不等式的公共解集，就是a的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合两个条件，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的典型基础题，解题时要注意逐一排查式子中各部分的限制条件，最终取值范围要同时满足所有条件，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
要确定使代数式有意义的字母取值范围，需先明确代数式各部分的限制要求：式子中包含二次根式和分式两部分，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；根据分式的定义，分母不能为0。我们只需分别列出两个限制条件对应的不等式，再求解出两个不等式的公共解集，就是a的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合两个条件，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的典型基础题，解题时要注意逐一排查式子中各部分的限制条件，最终取值范围要同时满足所有条件，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a-1)x^2 + x + a^2 - 1 = 0$ 的一个根是 0，则 $ a $ 的值为（
A.1
B.−1
C.1或−1
D.0.5
B
）A.1
B.−1
C.1或−1
D.0.5
答案
2. B
解析
【分析】
解题时需结合两个条件推导：① 方程的根满足方程，将根代入方程可得到关于参数a的等式；② 一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含条件。首先把x=0代入方程求出a的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将根$x=0$代入原方程，得：
$(a-1)×0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得：$a^2 - 1 = 0$
解得：$a=1$ 或 $a=-1$
第二步：因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$a - 1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$
第三步：舍去不符合条件的$a=1$，最终得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，求解含参数的一元二次方程问题时，要优先考虑二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
解题时需结合两个条件推导：① 方程的根满足方程，将根代入方程可得到关于参数a的等式；② 一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含条件。首先把x=0代入方程求出a的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将根$x=0$代入原方程，得：
$(a-1)×0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得：$a^2 - 1 = 0$
解得：$a=1$ 或 $a=-1$
第二步：因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$a - 1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$
第三步：舍去不符合条件的$a=1$，最终得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，求解含参数的一元二次方程问题时，要优先考虑二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
3. 下列图形中,属于中心对称图形的是
(
(
A
)答案
3. A
解析
【分析】
解题的核心是依据中心对称图形的定义来判断：即平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。思考时我们可以逐个对选项图形进行旋转180°的想象，判断是否和原图形重合即可。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。
对各选项逐一判断：
1. 选项A：将图形绕中心旋转180°后，各个箭头的方向旋转后刚好与原图形的箭头对应重合，整体和原图形完全一致，属于中心对称图形；
2. 选项B：绕中心旋转180°后，原图形上方的菱形会旋转到下方，与原图形结构不匹配，无法重合，不属于中心对称图形；
3. 选项C：绕中心旋转180°后，原图形上部的圆弧部分会转到下方，原下方的三角形部分会转到上方，与原图形不重合，不属于中心对称图形；
4. 选项D：五角星图案绕中心旋转180°后，各个角的朝向与原图形不符，无法和原图形重合，不属于中心对称图形。
综上，只有A是中心对称图形。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对中心对称图形概念的掌握，解题的关键是牢记旋转180°后与原图形重合这一判断标准，注意区分中心对称图形和轴对称图形的不同判断方法。
【难度系数】
0.8
解题的核心是依据中心对称图形的定义来判断：即平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。思考时我们可以逐个对选项图形进行旋转180°的想象，判断是否和原图形重合即可。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。
对各选项逐一判断：
1. 选项A：将图形绕中心旋转180°后，各个箭头的方向旋转后刚好与原图形的箭头对应重合，整体和原图形完全一致，属于中心对称图形；
2. 选项B：绕中心旋转180°后，原图形上方的菱形会旋转到下方，与原图形结构不匹配，无法重合，不属于中心对称图形；
3. 选项C：绕中心旋转180°后，原图形上部的圆弧部分会转到下方，原下方的三角形部分会转到上方，与原图形不重合，不属于中心对称图形；
4. 选项D：五角星图案绕中心旋转180°后，各个角的朝向与原图形不符，无法和原图形重合，不属于中心对称图形。
综上，只有A是中心对称图形。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对中心对称图形概念的掌握，解题的关键是牢记旋转180°后与原图形重合这一判断标准，注意区分中心对称图形和轴对称图形的不同判断方法。
【难度系数】
0.8
4. 如图是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是 30 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则 A,B 两点之间的距离为
（
A.195 cm
B.200 cm
C.205 cm
D.210 cm
（
A
）A.195 cm
B.200 cm
C.205 cm
D.210 cm
答案
4. A
解析
【分析】
本题可通过平移法将折线距离转化为直角三角形的边长求解：首先把所有水平台阶线段向水平方向平移，所有竖直台阶线段向竖直方向平移，即可得到以AB为斜边的直角三角形；接下来分别计算直角三角形的两条直角边长度，即A到B的水平总距离和竖直总高度；最后利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
利用平移法构造直角三角形：
1. 计算水平总长度：从A到B共有6段水平台阶，每段宽度30cm，因此水平总长度 = $ 30 × 6 = 180 \, \mathrm{cm} $
2. 计算竖直总高度：从A到B共有5段竖直台阶，每段高度15cm，因此竖直总高度 = $ 15 × 5 = 75 \, \mathrm{cm} $
3. 根据勾股定理，$ AB = \sqrt{180^2 + 75^2} = \sqrt{32400 + 5625} = \sqrt{38025} = 195 \, \mathrm{cm} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用题型，核心是通过平移将不规则的折线路径转化为规则的直角三角形边长计算，解题时要注意准确统计水平、竖直方向的总长度，再结合勾股定理即可得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可通过平移法将折线距离转化为直角三角形的边长求解：首先把所有水平台阶线段向水平方向平移，所有竖直台阶线段向竖直方向平移，即可得到以AB为斜边的直角三角形；接下来分别计算直角三角形的两条直角边长度，即A到B的水平总距离和竖直总高度；最后利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
利用平移法构造直角三角形：
1. 计算水平总长度：从A到B共有6段水平台阶，每段宽度30cm，因此水平总长度 = $ 30 × 6 = 180 \, \mathrm{cm} $
2. 计算竖直总高度：从A到B共有5段竖直台阶，每段高度15cm，因此竖直总高度 = $ 15 × 5 = 75 \, \mathrm{cm} $
3. 根据勾股定理，$ AB = \sqrt{180^2 + 75^2} = \sqrt{32400 + 5625} = \sqrt{38025} = 195 \, \mathrm{cm} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用题型，核心是通过平移将不规则的折线路径转化为规则的直角三角形边长计算，解题时要注意准确统计水平、竖直方向的总长度，再结合勾股定理即可得出结果。
【难度系数】
0.7
5. 一次函数$y=kx+b$($k,b$是常数,$k≠0$)的图象如图所示,则不等式$kx+b＞0$的解集是（
A.$x＞-2$
B.$x＞0$
C.$x＜-2$
D.$x＜0$
A
）A.$x＞-2$
B.$x＞0$
C.$x＜-2$
D.$x＜0$
答案
5. A
解析
【分析】
要解决不等式$kx+b＞0$的解集问题，首先明确它的几何意义：即求一次函数$y=kx+b$的函数值大于0时，对应的自变量$x$的取值范围，对应图像为直线位于x轴上方的部分对应的x值。首先找到直线与x轴的交点坐标，再结合一次函数的增减性判断x的取值范围即可。
【解析】
不等式$kx+b＞0$等价于一次函数$y=kx+b$的函数值$y＞0$，对应图像上是直线处于x轴上方的部分。
由图像可知，直线$y=kx+b$与x轴的交点为$(-2, 0)$，且该一次函数$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＞-2$时，直线位于x轴上方，即$y=kx+b＞0$。
因此不等式$kx+b＞0$的解集为$x＞-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象性质、一次函数与一元一次不等式、不等式的解集
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将求解不等式的问题转化为分析一次函数图象的位置问题，解题的关键是找准直线与x轴的交点坐标，结合函数增减性判断对应x的范围，是对基础知识点的灵活考查。
【难度系数】
0.8
要解决不等式$kx+b＞0$的解集问题，首先明确它的几何意义：即求一次函数$y=kx+b$的函数值大于0时，对应的自变量$x$的取值范围，对应图像为直线位于x轴上方的部分对应的x值。首先找到直线与x轴的交点坐标，再结合一次函数的增减性判断x的取值范围即可。
【解析】
不等式$kx+b＞0$等价于一次函数$y=kx+b$的函数值$y＞0$，对应图像上是直线处于x轴上方的部分。
由图像可知，直线$y=kx+b$与x轴的交点为$(-2, 0)$，且该一次函数$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＞-2$时，直线位于x轴上方，即$y=kx+b＞0$。
因此不等式$kx+b＞0$的解集为$x＞-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象性质、一次函数与一元一次不等式、不等式的解集
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将求解不等式的问题转化为分析一次函数图象的位置问题，解题的关键是找准直线与x轴的交点坐标，结合函数增减性判断对应x的范围，是对基础知识点的灵活考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为 6 cm,8 cm,AE ⊥ BC,垂足为 E,则 AE 的长是 (
A.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
D
)A.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再用勾股定理计算出菱形的边长；接着结合菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，通过等面积法建立等式，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm
∴对角线互相垂直平分，可得$CO=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$，且$CO⊥ BO$
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$
菱形的面积可通过两种方式计算：
① $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$
② $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=BC× AE$（AE为BC边上的高）
联立两式得：$5× AE=24$
解得：$AE=\frac{24}{5}\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是菱形性质的典型应用，解题核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，结合勾股定理求边长后用等面积法求解高，思路清晰，属于基础几何常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再用勾股定理计算出菱形的边长；接着结合菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，通过等面积法建立等式，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm
∴对角线互相垂直平分，可得$CO=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$，且$CO⊥ BO$
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$
菱形的面积可通过两种方式计算：
① $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$
② $S_{\mathrm{菱形}ABCD}=BC× AE$（AE为BC边上的高）
联立两式得：$5× AE=24$
解得：$AE=\frac{24}{5}\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是菱形性质的典型应用，解题核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，结合勾股定理求边长后用等面积法求解高，思路清晰，属于基础几何常考题。
【难度系数】
0.7
7. 用两张完全相同的直角三角形纸片拼下列图形：① 平行四边形；② 矩形；③ 菱形；④ 正方形；⑤ 等腰三角形；⑥ 等边三角形.其中一定能拼成的是
（
A.①④⑤
B.②⑤⑥
C.①②③
D.①②⑤
（
D
）A.①④⑤
B.②⑤⑥
C.①②③
D.①②⑤
答案
7. D
解析
【分析】
解题时我们可以通过模拟两个完全相同直角三角形的拼接过程，结合各类图形的判定条件逐一判断：拼接时可让两个三角形的相等边重合，分直角边重合、斜边重合两种情况尝试，同时注意题目要求是“一定能拼成”，即任意直角三角形都可拼成，只要存在一种直角三角形拼不出就不符合要求。首先平行四边形只要两组对边分别相等即可实现，矩形可通过斜边重合得到，等腰三角形可通过直角边同侧重合得到；而菱形、正方形、等边三角形都需要直角三角形满足特殊边长或角度条件才能拼成，普通直角三角形无法实现。
【解析】
我们对每个图形逐一判断：
1. 平行四边形：将两个完全相同的直角三角形任意一组相等的边重合，反向摆放，即可得到两组对边分别相等的四边形，符合平行四边形的判定，一定能拼成。
2. 矩形：将两个直角三角形的斜边重合，两个直角分别放在斜边两侧，得到的四边形对边相等且有内角为直角，符合矩形的判定，一定能拼成。
3. 菱形：菱形要求四条边长度相等，普通直角三角形的直角边和斜边长度不等，无法拼出四边等长的图形，仅特殊直角三角形可能拼成，不是一定能拼成。
4. 正方形：正方形要求四条边相等且四个角都是直角，仅等腰直角三角形可拼出，普通直角三角形无法实现，不是一定能拼成。
5. 等腰三角形：将两个直角三角形的一组相等的直角边重合，两个直角顶点放在重合边的同侧，拼成的三角形的两条腰为直角三角形的斜边，长度相等，符合等腰三角形的判定，一定能拼成。
6. 等边三角形：等边三角形要求三个内角都是60°，仅含30°、60°锐角的直角三角形可拼出，普通直角三角形无法实现，不是一定能拼成。
综上，一定能拼成的是①②⑤，故选D。
【答案】
D
【知识点】
图形的拼接；特殊四边形的判定；特殊三角形的判定
【点评】
本题主要考查对各类平面图形特征的掌握和空间想象能力，解题时可通过画图模拟拼接过程降低难度，要注意区分“一定能拼成”和“可能拼成”的要求，排除仅特殊情况才能实现的图形即可。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以通过模拟两个完全相同直角三角形的拼接过程，结合各类图形的判定条件逐一判断：拼接时可让两个三角形的相等边重合，分直角边重合、斜边重合两种情况尝试，同时注意题目要求是“一定能拼成”，即任意直角三角形都可拼成，只要存在一种直角三角形拼不出就不符合要求。首先平行四边形只要两组对边分别相等即可实现，矩形可通过斜边重合得到，等腰三角形可通过直角边同侧重合得到；而菱形、正方形、等边三角形都需要直角三角形满足特殊边长或角度条件才能拼成，普通直角三角形无法实现。
【解析】
我们对每个图形逐一判断：
1. 平行四边形：将两个完全相同的直角三角形任意一组相等的边重合，反向摆放，即可得到两组对边分别相等的四边形，符合平行四边形的判定，一定能拼成。
2. 矩形：将两个直角三角形的斜边重合，两个直角分别放在斜边两侧，得到的四边形对边相等且有内角为直角，符合矩形的判定，一定能拼成。
3. 菱形：菱形要求四条边长度相等，普通直角三角形的直角边和斜边长度不等，无法拼出四边等长的图形，仅特殊直角三角形可能拼成，不是一定能拼成。
4. 正方形：正方形要求四条边相等且四个角都是直角，仅等腰直角三角形可拼出，普通直角三角形无法实现，不是一定能拼成。
5. 等腰三角形：将两个直角三角形的一组相等的直角边重合，两个直角顶点放在重合边的同侧，拼成的三角形的两条腰为直角三角形的斜边，长度相等，符合等腰三角形的判定，一定能拼成。
6. 等边三角形：等边三角形要求三个内角都是60°，仅含30°、60°锐角的直角三角形可拼出，普通直角三角形无法实现，不是一定能拼成。
综上，一定能拼成的是①②⑤，故选D。
【答案】
D
【知识点】
图形的拼接；特殊四边形的判定；特殊三角形的判定
【点评】
本题主要考查对各类平面图形特征的掌握和空间想象能力，解题时可通过画图模拟拼接过程降低难度，要注意区分“一定能拼成”和“可能拼成”的要求，排除仅特殊情况才能实现的图形即可。
【难度系数】
0.7
