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8. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD=120°$,连接$BD$,作$AE // BD$交$CD$的延长线于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$F$.若$CF=1$,则$AB$的长是
(
A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
(
B
)A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先从平行四边形ABCD的性质入手，首先根据平行四边形对边平行的性质，结合AE//BD，可判定四边形ABDE是平行四边形，进而得到CE=2AB的数量关系；再根据平行四边形对角相等求出∠BCD的度数，进而得到Rt△CEF中∠ECF的度数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出CE的长度，最终推导得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∵AE//BD，且E在CD的延长线上，故AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=CD+DE=AB+AB=2AB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECF=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°-60°=30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CE=2CF，
已知CF=1，
∴CE=2×1=2，
又
∵CE=2AB，
∴2AB=2，解得AB=1。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先通过平行四边形的判定得到CE和AB的数量关系，再结合特殊直角三角形的边角关系求解，考查了对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形ABCD的性质入手，首先根据平行四边形对边平行的性质，结合AE//BD，可判定四边形ABDE是平行四边形，进而得到CE=2AB的数量关系；再根据平行四边形对角相等求出∠BCD的度数，进而得到Rt△CEF中∠ECF的度数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出CE的长度，最终推导得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∵AE//BD，且E在CD的延长线上，故AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=CD+DE=AB+AB=2AB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECF=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°-60°=30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CE=2CF，
已知CF=1，
∴CE=2×1=2，
又
∵CE=2AB，
∴2AB=2，解得AB=1。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先通过平行四边形的判定得到CE和AB的数量关系，再结合特殊直角三角形的边角关系求解，考查了对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$△ ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(1,0),B(4,0),C(1,4)$，将 $△ ABC$ 沿 $x$ 轴向右平移，当点 $C$ 落在直线 $y=2x-6$ 上时，线段 $BC$ 扫过的面积为 （
A.4
B.8
C.$8\sqrt{2}$
D.16
D
）A.4
B.8
C.$8\sqrt{2}$
D.16
答案
9. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，牢记平移的性质：沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加的数值等于平移距离，且所有点平移的距离相等。第二步，求平移后点C的坐标：平移后点C落在直线y=2x-6上，且纵坐标和原C点纵坐标相同均为4，将y=4代入直线方程即可求出平移后C点的横坐标，进而得到平移的总距离。第三步，确定线段BC扫过的图形为平行四边形，该平行四边形的底等于平移距离，高等于C点纵坐标的绝对值，用平行四边形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：1. 由平移性质可知，△ABC沿x轴向右平移时，点C的纵坐标不变，原C点坐标为(1,4)，因此平移后C点纵坐标仍为4。
2. 将y=4代入直线方程y=2x-6，可得：
$4=2x-6$
解得$x=5$，即平移后C点坐标为(5,4)。
3. 计算平移距离：$5-1=4$，即整个三角形向右平移了4个单位长度。
4. 线段BC平移后扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离4，高为点C到x轴的距离（即C点纵坐标4）。
根据平行四边形面积公式：$S=底×高=4×4=16$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的坐标特征，图形平移的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题综合了一次函数、平移性质和平行四边形面积的相关考点，解题核心是抓住平移过程中纵坐标不变的特点，先求出平移距离，再明确扫过的图形形状，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，牢记平移的性质：沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加的数值等于平移距离，且所有点平移的距离相等。第二步，求平移后点C的坐标：平移后点C落在直线y=2x-6上，且纵坐标和原C点纵坐标相同均为4，将y=4代入直线方程即可求出平移后C点的横坐标，进而得到平移的总距离。第三步，确定线段BC扫过的图形为平行四边形，该平行四边形的底等于平移距离，高等于C点纵坐标的绝对值，用平行四边形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：1. 由平移性质可知，△ABC沿x轴向右平移时，点C的纵坐标不变，原C点坐标为(1,4)，因此平移后C点纵坐标仍为4。
2. 将y=4代入直线方程y=2x-6，可得：
$4=2x-6$
解得$x=5$，即平移后C点坐标为(5,4)。
3. 计算平移距离：$5-1=4$，即整个三角形向右平移了4个单位长度。
4. 线段BC平移后扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离4，高为点C到x轴的距离（即C点纵坐标4）。
根据平行四边形面积公式：$S=底×高=4×4=16$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的坐标特征，图形平移的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题综合了一次函数、平移性质和平行四边形面积的相关考点，解题核心是抓住平移过程中纵坐标不变的特点，先求出平移距离，再明确扫过的图形形状，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. 计算：$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
10. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先把算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式；第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，若是同类二次根式，只需将系数相减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
解：首先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
再代入原式计算：
$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式加减的运算规则，只要掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并方法，就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先把算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式；第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，若是同类二次根式，只需将系数相减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
解：首先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
再代入原式计算：
$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式加减的运算规则，只要掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并方法，就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
11. 函数$y=\dfrac{3}{x-1}$中，自变量$x$的取值范围是________.
答案
11. $x≠1$
解析
【分析】
本题是求分式形式的函数自变量的取值范围，解题核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们首先定位函数表达式中的分母，令分母不等于0，解该不等式即可得出x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{3}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-1≠0$
解得 $x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察分式有意义的判定规则，掌握相关规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题是求分式形式的函数自变量的取值范围，解题核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们首先定位函数表达式中的分母，令分母不等于0，解该不等式即可得出x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{3}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-1≠0$
解得 $x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察分式有意义的判定规则，掌握相关规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
12. 在$△ ABC$中，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的面积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
12. 6
解析
【分析】
解题时首先观察给出的三角形三边长度，回忆勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们先验证三边的平方关系，判断三角形的形状，确认是直角三角形后，找到两条直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm
先计算两边平方和：
$AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
再计算长边的平方：
$BC^2 = 5^2 = 25$
因此$AB^2 + AC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠A为直角，AB、AC为两条直角边。
根据直角三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$
代入数据得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察给出的三角形三边长度，回忆勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们先验证三边的平方关系，判断三角形的形状，确认是直角三角形后，找到两条直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm
先计算两边平方和：
$AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
再计算长边的平方：
$BC^2 = 5^2 = 25$
因此$AB^2 + AC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠A为直角，AB、AC为两条直角边。
根据直角三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$
代入数据得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 某村种的水稻2023年平均每公顷产7 200 kg,2025年平均每公顷产8 450 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.若设水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$,则根据题意列出方程:$\underline{\hspace{5cm}}$
$\underline{\hspace{5cm}}$.
$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
13. $7200(1+x)^2=8450$
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际应用题，解题时先回忆平均增长率的数量关系：经过n次增长后，现期产量=基期产量×(1+年平均增长率)ⁿ。首先确定基期为2023年，产量为7200kg，现期为2025年，产量为8450kg，从2023年到2025年共增长2次，即n=2，把对应数值代入公式就能列出方程。
【解析】
设水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$：
1. 2024年每公顷产量为2023年产量乘(1+x)，即$7200(1+x)$ kg；
2. 2025年每公顷产量为2024年产量乘(1+x)，即$7200(1+x) × (1+x) = 7200(1+x)^2$ kg；
3. 已知2025年平均每公顷产8450 kg，因此可列等式：$7200(1+x)^2=8450$。
【答案】
$7200(1+x)^2=8450$
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，解题核心是明确增长的年数，准确对应基期和现期的数值，熟练掌握平均增长率计算公式即可快速求解，是这类题型的常考基础考法。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的实际应用题，解题时先回忆平均增长率的数量关系：经过n次增长后，现期产量=基期产量×(1+年平均增长率)ⁿ。首先确定基期为2023年，产量为7200kg，现期为2025年，产量为8450kg，从2023年到2025年共增长2次，即n=2，把对应数值代入公式就能列出方程。
【解析】
设水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$：
1. 2024年每公顷产量为2023年产量乘(1+x)，即$7200(1+x)$ kg；
2. 2025年每公顷产量为2024年产量乘(1+x)，即$7200(1+x) × (1+x) = 7200(1+x)^2$ kg；
3. 已知2025年平均每公顷产8450 kg，因此可列等式：$7200(1+x)^2=8450$。
【答案】
$7200(1+x)^2=8450$
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，解题核心是明确增长的年数，准确对应基期和现期的数值，熟练掌握平均增长率计算公式即可快速求解，是这类题型的常考基础考法。
【难度系数】
0.8
14. 如图,直线 $ y = kx + b $ 经过 $ A(2,1) $, $ B(-1,-2) $ 两点,则不等式组 $ \frac{1}{2}x ＞ kx + b ＞ -2 $ 的解集为 ______.
答案
14. $-1＜x＜2$
解析
【分析】
解题时首先需要求出直线$y=kx+b$的解析式，我们可以利用待定系数法，将A、B两点的坐标代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值；再将k、b代入不等式组，把复合不等式拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分即可得到原不等式组的解集。也可以结合一次函数图像的性质，通过观察函数值的大小关系直接得到解集。
【解析】
第一步：求直线$y=kx+b$的解析式
将$A(2,1)$、$B(-1,-2)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 1 \\ -k + b = -2 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得：$3k = 3$，解得$k=1$
将$k=1$代入$2k + b =1$，得$2×1 + b =1$，解得$b=-1$
所以直线解析式为$y=x-1$
第二步：解不等式组$\frac{1}{2}x ＞ x -1 ＞ -2$
将不等式组拆分为两个不等式分别求解：
① $x -1 ＞ -2$
移项得：$x ＞ -2 +1$，即$x ＞ -1$
② $\frac{1}{2}x ＞ x -1$
移项得：$1 ＞ x - \frac{1}{2}x$，化简得$\frac{1}{2}x ＜ 1$
两边同时乘2得：$x ＜ 2$
第三步：取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题将一次函数和不等式组结合考查，既可以通过代数计算求解，也可以通过观察函数图像快速得到结果，能很好地检验学生对一次函数性质和不等式解法的掌握程度，是一次函数相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出直线$y=kx+b$的解析式，我们可以利用待定系数法，将A、B两点的坐标代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值；再将k、b代入不等式组，把复合不等式拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后取两个解集的公共部分即可得到原不等式组的解集。也可以结合一次函数图像的性质，通过观察函数值的大小关系直接得到解集。
【解析】
第一步：求直线$y=kx+b$的解析式
将$A(2,1)$、$B(-1,-2)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 1 \\ -k + b = -2 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得：$3k = 3$，解得$k=1$
将$k=1$代入$2k + b =1$，得$2×1 + b =1$，解得$b=-1$
所以直线解析式为$y=x-1$
第二步：解不等式组$\frac{1}{2}x ＞ x -1 ＞ -2$
将不等式组拆分为两个不等式分别求解：
① $x -1 ＞ -2$
移项得：$x ＞ -2 +1$，即$x ＞ -1$
② $\frac{1}{2}x ＞ x -1$
移项得：$1 ＞ x - \frac{1}{2}x$，化简得$\frac{1}{2}x ＜ 1$
两边同时乘2得：$x ＜ 2$
第三步：取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题将一次函数和不等式组结合考查，既可以通过代数计算求解，也可以通过观察函数图像快速得到结果，能很好地检验学生对一次函数性质和不等式解法的掌握程度，是一次函数相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
15. 已知一个正方形的边长为 3，当边长增加 $ x $ 时，面积增加 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式为 ______。
答案
15. $y=x^2+6x(x≥0)$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的面积计算公式，明确面积增加量的含义：增加的面积等于边长增加后的新正方形面积减去原来的正方形面积。第一步先计算原正方形的面积，第二步表示出边长增加x后的新正方形边长及面积，第三步用新面积减原面积得到y的表达式并化简，最后根据x的实际意义确定自变量的取值范围即可。
【解析】
已知原正方形边长为3，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 3^2 = 9$
当边长增加$x$后，新正方形的边长为$(3+x)$，则新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (3+x)^2$
因为面积增加量$y$等于新面积减去原面积，所以：
$y = S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} = (3+x)^2 - 9$
展开并化简得：
$y = 9 + 6x + x^2 - 9 = x^2 + 6x$
又因为$x$表示边长增加的长度，所以$x$不能为负数，即$x≥0$。
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=x^2+6x(x≥0)$。
【答案】
$y=x^2+6x(x≥0)$
【知识点】
正方形面积计算，列函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清面积变化的等量关系，解题时要注意结合自变量的实际意义补充取值范围，避免漏写导致解析式不完整。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形的面积计算公式，明确面积增加量的含义：增加的面积等于边长增加后的新正方形面积减去原来的正方形面积。第一步先计算原正方形的面积，第二步表示出边长增加x后的新正方形边长及面积，第三步用新面积减原面积得到y的表达式并化简，最后根据x的实际意义确定自变量的取值范围即可。
【解析】
已知原正方形边长为3，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 3^2 = 9$
当边长增加$x$后，新正方形的边长为$(3+x)$，则新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (3+x)^2$
因为面积增加量$y$等于新面积减去原面积，所以：
$y = S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} = (3+x)^2 - 9$
展开并化简得：
$y = 9 + 6x + x^2 - 9 = x^2 + 6x$
又因为$x$表示边长增加的长度，所以$x$不能为负数，即$x≥0$。
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=x^2+6x(x≥0)$。
【答案】
$y=x^2+6x(x≥0)$
【知识点】
正方形面积计算，列函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清面积变化的等量关系，解题时要注意结合自变量的实际意义补充取值范围，避免漏写导致解析式不完整。
【难度系数】
0.8
16. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ \frac{1}{2}x^2 - 2bx - 4b + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，则代数式 $ (3b - 1)^2 - 5b(2b - \frac{4}{5}) $ 的值为 ______。
答案
16. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知其判别式Δ=0，我们先代入方程系数计算判别式，得到关于b的整式关系式；再将待求的代数式展开、合并同类项化简，最后把得到的b的关系式整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
1. 利用判别式求关于b的关系式
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
本题中方程$\frac{1}{2}x^2 - 2bx - 4b + 1 = 0$的系数为：$a=\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2b$，常数项$c=-4b+1$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2b)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-4b + 1)=0\\4b^2 - 2×(-4b + 1)&=0\\4b^2 + 8b - 2&=0\end{aligned}$
两边同时除以4化简得：$b^2 + 2b=\frac{1}{2}$。
2. 化简待求代数式
$\begin{aligned}&(3b - 1)^2 - 5b(2b - \frac{4}{5})\\=&9b^2 - 6b + 1 - (10b^2 - 4b)\\=&9b^2 - 6b + 1 - 10b^2 + 4b\\=&-b^2 - 2b + 1\end{aligned}$
3. 整体代入求值
将$b^2 + 2b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(b^2 + 2b) + 1\\&=-\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题解题核心是先利用根的判别式得到参数的关系式，再通过整体代入计算代数式的值，避免求解参数的具体值，既减少计算量也能降低出错概率，注意计算时不要混淆方程系数、不要写错整式展开的符号。
【难度系数】
0.7
首先，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知其判别式Δ=0，我们先代入方程系数计算判别式，得到关于b的整式关系式；再将待求的代数式展开、合并同类项化简，最后把得到的b的关系式整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
1. 利用判别式求关于b的关系式
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
本题中方程$\frac{1}{2}x^2 - 2bx - 4b + 1 = 0$的系数为：$a=\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2b$，常数项$c=-4b+1$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2b)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-4b + 1)=0\\4b^2 - 2×(-4b + 1)&=0\\4b^2 + 8b - 2&=0\end{aligned}$
两边同时除以4化简得：$b^2 + 2b=\frac{1}{2}$。
2. 化简待求代数式
$\begin{aligned}&(3b - 1)^2 - 5b(2b - \frac{4}{5})\\=&9b^2 - 6b + 1 - (10b^2 - 4b)\\=&9b^2 - 6b + 1 - 10b^2 + 4b\\=&-b^2 - 2b + 1\end{aligned}$
3. 整体代入求值
将$b^2 + 2b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(b^2 + 2b) + 1\\&=-\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题解题核心是先利用根的判别式得到参数的关系式，再通过整体代入计算代数式的值，避免求解参数的具体值，既减少计算量也能降低出错概率，注意计算时不要混淆方程系数、不要写错整式展开的符号。
【难度系数】
0.7
17. 如图，E为$□ ABCD$内一点，且$AD=DE=CE$，若$∠ DEC=n°$，则$∠ AEB=$$°$(用含$n$的式子表示)。
答案
17. $(180-\dfrac{n}{2})$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，结合已知AD=DE=CE，可推得△ADE、△BCE、△DEC均为等腰三角形。接下来借助等腰三角形“等边对等角”的性质，分别表示出三个等腰三角形的底角，再利用平行四边形邻角互补、周角为360°的性质，通过角度关系推导化简，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC + ∠BCD = 180°。
∵AD=DE=CE，
∴DE=AD=BC，CE=AD=BC，即△DEC、△ADE、△BCE均为等腰三角形。
在△DEC中，DE=CE，∠DEC=n°，
∴∠EDC=∠ECD=$\frac{180°-n°}{2}$=90°-$\frac{n°}{2}$。
设∠ADE=x°，∠BCE=y°，
则∠ADC=(x + 90 - $\frac{n}{2}$)°，∠BCD=(y + 90 - $\frac{n}{2}$)°，
代入∠ADC + ∠BCD = 180°得：
$x + 90 - \frac{n}{2} + y + 90 - \frac{n}{2} = 180$，
化简得$x + y = n$。
在等腰△ADE中，∠DEA=$\frac{180°-x°}{2}$；
在等腰△BCE中，∠CEB=$\frac{180°-y°}{2}$。
∵平面内周角为360°，
∴∠AEB=360° - ∠DEA - ∠DEC - ∠CEB，
代入各角度数：
$\begin{aligned}∠AEB&=360° - ( \frac{180-x}{2} + n + \frac{180-y}{2} )\\&=360° - ( \frac{360-(x+y)}{2} + n )\\&=360° - ( \frac{360-n}{2} + n )\\&=360° - 180° - \frac{n}{2}\\&=180° - \frac{n}{2}\end{aligned}$
【答案】
$(180-\dfrac{n}{2})$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；角度计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将平行四边形和等腰三角形的性质结合考察，解题核心是通过设未知角建立角度之间的联系，再通过代数化简得到最终结果，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，结合已知AD=DE=CE，可推得△ADE、△BCE、△DEC均为等腰三角形。接下来借助等腰三角形“等边对等角”的性质，分别表示出三个等腰三角形的底角，再利用平行四边形邻角互补、周角为360°的性质，通过角度关系推导化简，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC + ∠BCD = 180°。
∵AD=DE=CE，
∴DE=AD=BC，CE=AD=BC，即△DEC、△ADE、△BCE均为等腰三角形。
在△DEC中，DE=CE，∠DEC=n°，
∴∠EDC=∠ECD=$\frac{180°-n°}{2}$=90°-$\frac{n°}{2}$。
设∠ADE=x°，∠BCE=y°，
则∠ADC=(x + 90 - $\frac{n}{2}$)°，∠BCD=(y + 90 - $\frac{n}{2}$)°，
代入∠ADC + ∠BCD = 180°得：
$x + 90 - \frac{n}{2} + y + 90 - \frac{n}{2} = 180$，
化简得$x + y = n$。
在等腰△ADE中，∠DEA=$\frac{180°-x°}{2}$；
在等腰△BCE中，∠CEB=$\frac{180°-y°}{2}$。
∵平面内周角为360°，
∴∠AEB=360° - ∠DEA - ∠DEC - ∠CEB，
代入各角度数：
$\begin{aligned}∠AEB&=360° - ( \frac{180-x}{2} + n + \frac{180-y}{2} )\\&=360° - ( \frac{360-(x+y)}{2} + n )\\&=360° - ( \frac{360-n}{2} + n )\\&=360° - 180° - \frac{n}{2}\\&=180° - \frac{n}{2}\end{aligned}$
【答案】
$(180-\dfrac{n}{2})$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；角度计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，将平行四边形和等腰三角形的性质结合考察，解题核心是通过设未知角建立角度之间的联系，再通过代数化简得到最终结果，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
18. 计算：$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3}} + (\sqrt{3} - 2)^0 + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$。
18. 计算：$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3}} + (\sqrt{3} - 2)^0 + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$。
答案
18. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-1$
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题可按以下思路展开：首先分别化简每一个运算项，再合并同类二次根式和计算常数项即可。具体步骤：①先把所有非最简二次根式化为最简二次根式；②对分式形式的二次根式做除法运算，拆分分子分别除以分母简化计算；③依据"非零数的0次幂等于1"计算零指数幂项；④根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简带平方的二次根式，去绝对值时先判断底数正负再去符号；⑤最后去括号合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
先分别化简每一项：
1. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. $\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=1+\sqrt{2}$
4. 因为$\sqrt{3}-2≠0$，所以$(\sqrt{3}-2)^0=1$
5. 因为$1＜\sqrt{2}$，所以$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
将化简后的项代入原式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-(1+\sqrt{2})+1+(\sqrt{2}-1)\\&=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\\&=(3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{2})+(-1+1-1)\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}+0-1\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂运算，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是熟练掌握各类二次根式的化简规则、零指数幂的运算要求，计算时要注意去括号的符号变化，以及二次根式开平方后的非负性要求，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题可按以下思路展开：首先分别化简每一个运算项，再合并同类二次根式和计算常数项即可。具体步骤：①先把所有非最简二次根式化为最简二次根式；②对分式形式的二次根式做除法运算，拆分分子分别除以分母简化计算；③依据"非零数的0次幂等于1"计算零指数幂项；④根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简带平方的二次根式，去绝对值时先判断底数正负再去符号；⑤最后去括号合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
先分别化简每一项：
1. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. $\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=1+\sqrt{2}$
4. 因为$\sqrt{3}-2≠0$，所以$(\sqrt{3}-2)^0=1$
5. 因为$1＜\sqrt{2}$，所以$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
将化简后的项代入原式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-(1+\sqrt{2})+1+(\sqrt{2}-1)\\&=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\\&=(3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{2})+(-1+1-1)\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}+0-1\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂运算，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是熟练掌握各类二次根式的化简规则、零指数幂的运算要求，计算时要注意去括号的符号变化，以及二次根式开平方后的非负性要求，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
