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19. 如图,在平面直角坐标系中,直角三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,1),B(0,3),C(0,1).
(1) 将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后得到的△A₁B₁C₁.
(2) 分别连接AB₁,BA₁,求四边形AB₁A₁B的面积.
(1) 将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后得到的△A₁B₁C₁.
(2) 分别连接AB₁,BA₁,求四边形AB₁A₁B的面积.
答案
19. (1)略 (2) 12
解析
【分析】
(1) 旋转180°本质是中心对称，旋转中心C是对应点连线的中点，作图时先找到A、B两点关于点C的对称点A₁、B₁，旋转中心C旋转后位置不变，再顺次连接三个对称点即可得到旋转后的三角形。
(2) 先根据旋转性质判断四边形AB₁A₁B的形状：旋转后对应点到旋转中心的距离相等，可得四边形的对角线互相平分，因此是平行四边形；再观察到两条对角线分别沿水平、竖直方向，互相垂直，可利用对角线乘积的一半计算面积，也可通过分割图形的方法计算。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 观察坐标：A(-3,1)，C(0,1)，A在C左侧，与C的水平距离为3个单位，旋转180°后A的对应点A₁在C右侧，水平距离仍为3个单位，纵坐标不变，故A₁坐标为(3,1)；
② B(0,3)在C上方，与C的竖直距离为2个单位，旋转180°后B的对应点B₁在C下方，竖直距离仍为2个单位，横坐标不变，故B₁坐标为(0,-1)；
③ 旋转中心C旋转后位置不变，即C₁与C重合，顺次连接A₁、B₁、C₁，即得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算四边形面积：
由旋转性质可知，AC=A₁C，BC=B₁C，即四边形AB₁A₁B的对角线互相平分，因此四边形AB₁A₁B是平行四边形。
计算对角线长度：AA₁的长度为$3 - (-3) = 6$，BB₁的长度为$3 - (-1) = 4$；
又AA₁沿水平方向，BB₁沿竖直方向，故AA₁⊥BB₁，对角线互相垂直的平行四边形面积为对角线乘积的一半，即：
$S_{四边形AB₁A₁B} = \frac{1}{2} × AA₁ × BB₁ = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
（也可将四边形分割为4个全等的直角三角形，每个三角形面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$，总面积为$4 × 3 = 12$，结果一致。）
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
旋转的性质，平行四边形的判定，平行四边形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查旋转作图和图形面积计算，解题关键是掌握中心对称的性质找到对应点的位置，再根据图形特征选择简便的面积计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 旋转180°本质是中心对称，旋转中心C是对应点连线的中点，作图时先找到A、B两点关于点C的对称点A₁、B₁，旋转中心C旋转后位置不变，再顺次连接三个对称点即可得到旋转后的三角形。
(2) 先根据旋转性质判断四边形AB₁A₁B的形状：旋转后对应点到旋转中心的距离相等，可得四边形的对角线互相平分，因此是平行四边形；再观察到两条对角线分别沿水平、竖直方向，互相垂直，可利用对角线乘积的一半计算面积，也可通过分割图形的方法计算。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 观察坐标：A(-3,1)，C(0,1)，A在C左侧，与C的水平距离为3个单位，旋转180°后A的对应点A₁在C右侧，水平距离仍为3个单位，纵坐标不变，故A₁坐标为(3,1)；
② B(0,3)在C上方，与C的竖直距离为2个单位，旋转180°后B的对应点B₁在C下方，竖直距离仍为2个单位，横坐标不变，故B₁坐标为(0,-1)；
③ 旋转中心C旋转后位置不变，即C₁与C重合，顺次连接A₁、B₁、C₁，即得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算四边形面积：
由旋转性质可知，AC=A₁C，BC=B₁C，即四边形AB₁A₁B的对角线互相平分，因此四边形AB₁A₁B是平行四边形。
计算对角线长度：AA₁的长度为$3 - (-3) = 6$，BB₁的长度为$3 - (-1) = 4$；
又AA₁沿水平方向，BB₁沿竖直方向，故AA₁⊥BB₁，对角线互相垂直的平行四边形面积为对角线乘积的一半，即：
$S_{四边形AB₁A₁B} = \frac{1}{2} × AA₁ × BB₁ = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
（也可将四边形分割为4个全等的直角三角形，每个三角形面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$，总面积为$4 × 3 = 12$，结果一致。）
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
旋转的性质，平行四边形的判定，平行四边形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查旋转作图和图形面积计算，解题关键是掌握中心对称的性质找到对应点的位置，再根据图形特征选择简便的面积计算方法。
【难度系数】
0.7
20. 今年4月，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨.下表是该水库4月1—4日的水位变化情况：
（1）请建立该水库水位$y$（单位：m）与日期$x$之间的函数模型.
（2）请用求出的函数解析式预测该水库今年4月6日的水位.
（3）你能用求出的函数解析式预测该水库今年12月1日的水位吗？
（1）请建立该水库水位$y$（单位：m）与日期$x$之间的函数模型.
（2）请用求出的函数解析式预测该水库今年4月6日的水位.
（3）你能用求出的函数解析式预测该水库今年12月1日的水位吗？
答案
20. （1）水库水位 y(单位:m)随日期 x 的变化是均匀的,因此水库水位 y(单位:m)与日期 x 之间是一次函数关系.设 $y=kx+b$,把 $x=1,y=20.00$ 和 $x=2,y=20.50$ 代入,得$\begin{cases} k+b=20.00,\\2k+b=20.50,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=0.5,\\b=19.5.\end{cases}$
∴水库水位 y(单位:m)与日期 x 之间的函数关系是 $y=0.5x+19.5$.
（2）当 $x=6$ 时,$y=0.5×6+19.5=22.50$,
∴预测 4 月 6 日的水位为 22.50 m.
（3）不能.因为用所建立的函数模型远离已知数据,作预测是不可靠的.
∴水库水位 y(单位:m)与日期 x 之间的函数关系是 $y=0.5x+19.5$.
（2）当 $x=6$ 时,$y=0.5×6+19.5=22.50$,
∴预测 4 月 6 日的水位为 22.50 m.
（3）不能.因为用所建立的函数模型远离已知数据,作预测是不可靠的.
解析
【分析】
（1）观察表格数据可发现，日期每增加1，水位固定上涨0.5m，说明水位随日期的变化是均匀的，符合一次函数的特征，因此可以设水位y和日期x的函数关系为一次函数$y=kx+b$，代入表格中两组对应数值，解二元一次方程组即可求出k、b，得到函数模型；
（2）4月6日对应的日期$x=6$，将$x=6$代入第一问求出的函数解析式，计算得到的y值就是4月6日的预测水位；
（3）该函数模型是根据4月1-4日连续降雨期间的水位变化规律建立的，仅适用于这一短期的特殊水位变化场景，12月1日距离统计时间过远，水位变化规律已经发生改变，因此不能用该模型预测。
【解析】
（1）由表格数据可知水位y随日期x的变化均匀，二者为一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将$x=1,y=20.00$和$x=2,y=20.50$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 20.00 \\2k + b = 20.50\end{cases}$
两式相减解得$k=0.5$，将$k=0.5$代入$k+b=20.00$，解得$b=19.5$。
因此水位y与日期x的函数关系为$y=0.5x+19.5$。
（2）4月6日对应$x=6$，代入解析式得：
$y=0.5×6 + 19.5=22.50$
即4月6日的预测水位为22.50m。
（3）不能。该函数模型仅基于4月上旬连续降雨的短期水位变化规律建立，远离已知数据的时间范围水位变化不再符合该规律，预测结果不可靠。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=0.5x+19.5}$
（2）$\boldsymbol{22.50\ \mathrm{m}}$
（3）不能，用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；函数模型的适用范围
【点评】
本题结合实际生活中的水位变化场景考查一次函数的相关知识，解题关键是先根据数据变化特征判断函数类型，再用待定系数法求出函数解析式，同时需要注意实际问题中的函数模型都有对应的适用范围，不能脱离实际随意扩展使用。
【难度系数】
0.7
（1）观察表格数据可发现，日期每增加1，水位固定上涨0.5m，说明水位随日期的变化是均匀的，符合一次函数的特征，因此可以设水位y和日期x的函数关系为一次函数$y=kx+b$，代入表格中两组对应数值，解二元一次方程组即可求出k、b，得到函数模型；
（2）4月6日对应的日期$x=6$，将$x=6$代入第一问求出的函数解析式，计算得到的y值就是4月6日的预测水位；
（3）该函数模型是根据4月1-4日连续降雨期间的水位变化规律建立的，仅适用于这一短期的特殊水位变化场景，12月1日距离统计时间过远，水位变化规律已经发生改变，因此不能用该模型预测。
【解析】
（1）由表格数据可知水位y随日期x的变化均匀，二者为一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将$x=1,y=20.00$和$x=2,y=20.50$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 20.00 \\2k + b = 20.50\end{cases}$
两式相减解得$k=0.5$，将$k=0.5$代入$k+b=20.00$，解得$b=19.5$。
因此水位y与日期x的函数关系为$y=0.5x+19.5$。
（2）4月6日对应$x=6$，代入解析式得：
$y=0.5×6 + 19.5=22.50$
即4月6日的预测水位为22.50m。
（3）不能。该函数模型仅基于4月上旬连续降雨的短期水位变化规律建立，远离已知数据的时间范围水位变化不再符合该规律，预测结果不可靠。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=0.5x+19.5}$
（2）$\boldsymbol{22.50\ \mathrm{m}}$
（3）不能，用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；函数模型的适用范围
【点评】
本题结合实际生活中的水位变化场景考查一次函数的相关知识，解题关键是先根据数据变化特征判断函数类型，再用待定系数法求出函数解析式，同时需要注意实际问题中的函数模型都有对应的适用范围，不能脱离实际随意扩展使用。
【难度系数】
0.7
21. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,D,E$分别是边$BC,AB$的中点,连接$DE$并延长至点$F$,使$EF=2DE$,连接$CE,AF$.
(1) 求证:$AF=CE$.
(2) 当$∠ B=30°$时,试判断四边形$ACEF$的形状,并说明理由.
(1) 求证:$AF=CE$.
(2) 当$∠ B=30°$时,试判断四边形$ACEF$的形状,并说明理由.
答案
21. （1）$\because$ 在$△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,$D,E$ 分别是边 $BC,AB$ 的中点,$\therefore DE // AC$,$AC=2DE$.
$\because EF=2DE$,$\therefore EF // AC$,$EF=AC$.$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 是平行四边形.$\therefore AF=CE$.
（2）当$∠ B=30°$时,四边形 $ACEF$ 是菱形.理由: $\because ∠ ACB = 90°$,$∠ B = 30°$,$\therefore ∠ BAC = 60°$,
$AC=\dfrac{1}{2}AB=AE$.$\therefore △ AEC$ 是等边三角形.$\therefore AC=CE$.又$\because$ 四边形 $ACEF$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 是菱形.
$\because EF=2DE$,$\therefore EF // AC$,$EF=AC$.$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 是平行四边形.$\therefore AF=CE$.
（2）当$∠ B=30°$时,四边形 $ACEF$ 是菱形.理由: $\because ∠ ACB = 90°$,$∠ B = 30°$,$\therefore ∠ BAC = 60°$,
$AC=\dfrac{1}{2}AB=AE$.$\therefore △ AEC$ 是等边三角形.$\therefore AC=CE$.又$\because$ 四边形 $ACEF$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 是菱形.
解析
【分析】
（1）要证明AF=CE，可通过证明四边形ACEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导。已知D、E分别是BC、AB的中点，首先结合三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，能推出DE与AC的平行关系和数量关系，再结合EF=2DE的条件，即可得到EF与AC平行且相等，满足平行四边形的判定条件，进而得证。
（2）判断四边形ACEF的形状，已知（1）中已证它是平行四边形，只需再证明一组邻边相等即可判定为菱形。当∠B=30°时，在Rt△ABC中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，可得AC等于AB的一半，结合E是AB中点可得AC=AE，再结合∠BAC=60°可证△AEC是等边三角形，得到AC=CE，即可判定平行四边形ACEF为菱形。
【解析】
（1）证明：
∵在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D,E$分别是边$BC,AB$的中点，
∴$DE$是$△ ABC$的中位线，
∴$DE // AC$，$AC=2DE$，
∵$EF=2DE$，
∴$EF // AC$，$EF=AC$，
∴四边形$ACEF$是平行四边形，
∴$AF=CE$。
（2）当$∠ B=30°$时，四边形$ACEF$是菱形，理由如下：
∵$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=90°-30°=60°$，$AC=\dfrac{1}{2}AB$，
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=\dfrac{1}{2}AB$，
∴$AC=AE$，
∴$△ AEC$是等边三角形，
∴$AC=CE$，
又
∵四边形$ACEF$是平行四边形，
∴四边形$ACEF$是菱形。
【答案】
（1）$AF=CE$得证；
（2）四边形$ACEF$是菱形。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了三角形、特殊四边形的核心基础定理，解题关键是灵活运用中位线性质得到线段关系，再结合特殊直角三角形的性质推导特殊四边形的判定条件，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AF=CE，可通过证明四边形ACEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导。已知D、E分别是BC、AB的中点，首先结合三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，能推出DE与AC的平行关系和数量关系，再结合EF=2DE的条件，即可得到EF与AC平行且相等，满足平行四边形的判定条件，进而得证。
（2）判断四边形ACEF的形状，已知（1）中已证它是平行四边形，只需再证明一组邻边相等即可判定为菱形。当∠B=30°时，在Rt△ABC中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，可得AC等于AB的一半，结合E是AB中点可得AC=AE，再结合∠BAC=60°可证△AEC是等边三角形，得到AC=CE，即可判定平行四边形ACEF为菱形。
【解析】
（1）证明：
∵在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D,E$分别是边$BC,AB$的中点，
∴$DE$是$△ ABC$的中位线，
∴$DE // AC$，$AC=2DE$，
∵$EF=2DE$，
∴$EF // AC$，$EF=AC$，
∴四边形$ACEF$是平行四边形，
∴$AF=CE$。
（2）当$∠ B=30°$时，四边形$ACEF$是菱形，理由如下：
∵$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=90°-30°=60°$，$AC=\dfrac{1}{2}AB$，
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=\dfrac{1}{2}AB$，
∴$AC=AE$，
∴$△ AEC$是等边三角形，
∴$AC=CE$，
又
∵四边形$ACEF$是平行四边形，
∴四边形$ACEF$是菱形。
【答案】
（1）$AF=CE$得证；
（2）四边形$ACEF$是菱形。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了三角形、特殊四边形的核心基础定理，解题关键是灵活运用中位线性质得到线段关系，再结合特殊直角三角形的性质推导特殊四边形的判定条件，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
22. 设 $ a,b,c $ 是$ △ ABC $ 的三条边长，关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0 $ 有两个相等的实数根，关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 3cx + 2b = 2a $ 的根为 0.
（1）求证：$ △ ABC $ 为等边三角形.
（2）若 $ a,b $ 为关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx - 3m = 0 $ 的两个根，求 $ m $ 的值.
（1）求证：$ △ ABC $ 为等边三角形.
（2）若 $ a,b $ 为关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx - 3m = 0 $ 的两个根，求 $ m $ 的值.
答案
22. （1）$\because$方程 $x^2+2\sqrt{b}x+2c-a=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=0$,即 $\Delta=(2\sqrt{b})^2-4×(2c-a)=0$,解得 $a+b=2c$.$\because$ 方程 $3cx+2b=2a$ 的根为 0,$\therefore 2b=2a$,即 $a=b$.$\therefore 2a=2c$,$a=c$.$\therefore a=b=c$,故$△ ABC$ 为等边三角形.
（2）$\because a,b$ 相等,$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+mx-3m=0$ 有两个相等的实数根.$\therefore \Delta=0$,即$\Delta=m^2+4×1×3m=0$,解得 $m_1=0$,$m_2=-12$.$\because a,b$ 为正数,$\therefore m_1=0$ 舍去.故 $m=-12$.
（2）$\because a,b$ 相等,$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+mx-3m=0$ 有两个相等的实数根.$\therefore \Delta=0$,即$\Delta=m^2+4×1×3m=0$,解得 $m_1=0$,$m_2=-12$.$\because a,b$ 为正数,$\therefore m_1=0$ 舍去.故 $m=-12$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABC为等边三角形，核心是证明三边长a=b=c。首先利用“一元二次方程有两个相等实数根则判别式Δ=0”的性质，推导得到a、b、c的第一个数量关系；再将x=0代入一元一次方程，得到a与b的等量关系，结合两个关系即可推出三边相等。
（2）已知a=b，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，再次用判别式Δ=0求出m的可能取值，最后结合三角形边长为正数的隐含条件，舍去不符合题意的m值即可。
【解析】
（1）证明：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = 0$，即$\Delta=(2\sqrt{b})^2 - 4×1×(2c - a)=0$，
整理化简得：$a + b = 2c$。
∵ 一元一次方程$3cx + 2b = 2a$的根为0，将$x=0$代入方程得：
$2b = 2a$，即$a = b$。
把$a = b$代入$a + b = 2c$，得$2a = 2c$，即$a = c$。
∴ $a = b = c$，故△ABC为等边三角形。
（2）解：
∵ a、b是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，且由（1）知$a = b$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = 0$，
即$\Delta = m^2 - 4×1×(-3m) = 0$，
整理得$m^2 + 12m = 0$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = -12$。
当$m = 0$时，方程的根为$x_1=x_2=0$，不符合三角形边长为正数的要求，舍去；
当$m = -12$时，方程的根为$x_1=x_2=6$，符合题意。
故$m=-12$。
【答案】
（1）△ABC为等边三角形，得证；
（2）$m=-12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元一次方程的根、等边三角形判定
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了方程根的相关性质的应用，也考查了等边三角形的判定方法，解题时要注意结合实际意义对参数结果进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ABC为等边三角形，核心是证明三边长a=b=c。首先利用“一元二次方程有两个相等实数根则判别式Δ=0”的性质，推导得到a、b、c的第一个数量关系；再将x=0代入一元一次方程，得到a与b的等量关系，结合两个关系即可推出三边相等。
（2）已知a=b，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，再次用判别式Δ=0求出m的可能取值，最后结合三角形边长为正数的隐含条件，舍去不符合题意的m值即可。
【解析】
（1）证明：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = 0$，即$\Delta=(2\sqrt{b})^2 - 4×1×(2c - a)=0$，
整理化简得：$a + b = 2c$。
∵ 一元一次方程$3cx + 2b = 2a$的根为0，将$x=0$代入方程得：
$2b = 2a$，即$a = b$。
把$a = b$代入$a + b = 2c$，得$2a = 2c$，即$a = c$。
∴ $a = b = c$，故△ABC为等边三角形。
（2）解：
∵ a、b是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，且由（1）知$a = b$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = 0$，
即$\Delta = m^2 - 4×1×(-3m) = 0$，
整理得$m^2 + 12m = 0$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = -12$。
当$m = 0$时，方程的根为$x_1=x_2=0$，不符合三角形边长为正数的要求，舍去；
当$m = -12$时，方程的根为$x_1=x_2=6$，符合题意。
故$m=-12$。
【答案】
（1）△ABC为等边三角形，得证；
（2）$m=-12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元一次方程的根、等边三角形判定
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了方程根的相关性质的应用，也考查了等边三角形的判定方法，解题时要注意结合实际意义对参数结果进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
