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18. 如图,某市为方便相距 2 km 的 A,B两处居民区的交往,计划在两处居民区之间修筑一条笔直的公路(即图中的线段 AB),经测量,在 A 处北偏东$60°$方向、B 处北偏西$45°$方向的 C 处有一半径为 0.7 km 的圆形公园.计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?
答案
18. 过点 $C$ 作 $CD⊥AB$,垂足为 $D$,则$∠CAD=30°,∠CBD=45°$.在 $\mathrm{Rt}△CDB$ 中,$∠CBD=45°$,$\therefore BD=CD$.在 $\mathrm{Rt}△CDA$ 中,$∠CAD=30°$,$\therefore AC=2CD$.设 $CD=DB=x\ \mathrm{km}$,则 $AC=2x\ \mathrm{km}$.由勾股定理,得 $AD=\sqrt{3}x\ \mathrm{km}$.$\because AD+DB=AB=2\ \mathrm{km}$,$\therefore \sqrt{3}x+x=2$,解得 $x=\sqrt{3}-1\approx0.732＞0.7$.$\therefore$ 计划修筑的这条公路不会穿过公园.
解析
【分析】
要判断公路是否会穿过公园，核心是比较点C到AB的距离与公园半径0.7km的大小：若距离大于半径，则公路不会穿过公园，反之则会。解题时先过点C作CD垂直AB于D，将问题转化为求CD的长度；再根据方向角的定义，得到两个直角三角形中∠CAD=30°、∠CBD=45°，利用特殊直角三角形的边的关系，结合AB总长为2km列方程求解CD，最后将CD的长度和0.7km比较即可得到结论。
【解析】
过点 $C$ 作 $CD⊥AB$，垂足为 $D$，根据方向角的定义可得：
$∠ CAD=90°-60°=30°$，$∠ CBD=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△CDB$ 中，$∠ CBD=45°$，$\therefore △CDB$ 为等腰直角三角形，$BD=CD$。
在 $\mathrm{Rt}△CDA$ 中，$∠ CAD=30°$，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得 $AC=2CD$。
设 $CD=DB=x\ \mathrm{km}$，则 $AC=2x\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x\ \mathrm{km}$。
$\because AD+DB=AB=2\ \mathrm{km}$，$\therefore \sqrt{3}x+x=2$，
解得 $x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\approx0.732$。
$\because 0.732＞0.7$，即点C到AB的距离大于公园的半径。
$\therefore$ 计划修筑的这条公路不会穿过公园。
【答案】
计划修筑的这条公路不会穿过公园。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；特殊直角三角形性质
【点评】
本题是实际场景结合几何知识的典型题型，解题的关键是建立实际问题与几何模型的关联，通过作辅助线构造直角三角形，利用特殊角直角三角形的性质和勾股定理求解核心线段长度，考查了学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.65
要判断公路是否会穿过公园，核心是比较点C到AB的距离与公园半径0.7km的大小：若距离大于半径，则公路不会穿过公园，反之则会。解题时先过点C作CD垂直AB于D，将问题转化为求CD的长度；再根据方向角的定义，得到两个直角三角形中∠CAD=30°、∠CBD=45°，利用特殊直角三角形的边的关系，结合AB总长为2km列方程求解CD，最后将CD的长度和0.7km比较即可得到结论。
【解析】
过点 $C$ 作 $CD⊥AB$，垂足为 $D$，根据方向角的定义可得：
$∠ CAD=90°-60°=30°$，$∠ CBD=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△CDB$ 中，$∠ CBD=45°$，$\therefore △CDB$ 为等腰直角三角形，$BD=CD$。
在 $\mathrm{Rt}△CDA$ 中，$∠ CAD=30°$，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得 $AC=2CD$。
设 $CD=DB=x\ \mathrm{km}$，则 $AC=2x\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x\ \mathrm{km}$。
$\because AD+DB=AB=2\ \mathrm{km}$，$\therefore \sqrt{3}x+x=2$，
解得 $x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\approx0.732$。
$\because 0.732＞0.7$，即点C到AB的距离大于公园的半径。
$\therefore$ 计划修筑的这条公路不会穿过公园。
【答案】
计划修筑的这条公路不会穿过公园。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；特殊直角三角形性质
【点评】
本题是实际场景结合几何知识的典型题型，解题的关键是建立实际问题与几何模型的关联，通过作辅助线构造直角三角形，利用特殊角直角三角形的性质和勾股定理求解核心线段长度，考查了学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.65
19. 五一期间,申老师一家自驾游去了离家170 km的某地.如图是他们离家的距离y(单位:km)与汽车行驶时间x(单位:h)之间的函数图象.
（1）当他们出发0.5 h时,离家多少千米?
（2）求出AB段图象的函数解析式.
（3）当他们出发2 h时,离目的地还有多少千米?
（1）当他们出发0.5 h时,离家多少千米?
（2）求出AB段图象的函数解析式.
（3）当他们出发2 h时,离目的地还有多少千米?
答案
19. (1) 设 $OA$ 段图象的函数解析式为 $y=kx$.$\because$ 当 $x=1.5$ 时,$y=90$,$\therefore 1.5k=90$,解得 $k=60$.$\therefore y=60x(0≤ x≤1.5)$.$\therefore$ 当 $x=0.5$ 时,$y=60×0.5=30$.$\therefore$ 他们出发 $0.5\ \mathrm{h}$ 时,离家 $30\ \mathrm{km}$.
(2) 设 $AB$ 段图象的函数解析式为 $y=k'x+b$.$\because$ 点 $A(1.5,90)$,$B(2.5,170)$ 都在 $AB$ 上,$\therefore \begin{cases}90=1.5k'+b,\\170=2.5k'+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=80,\\b=-30.\end{cases}$ $\therefore y=80x-30(1.5≤ x≤2.5)$.
(3) 当 $x=2$ 时,$y=80×2-30=130$,$170-130=40(\mathrm{km})$.$\therefore$ 他们出发 $2\ \mathrm{h}$ 时,离目的地还有 $40\ \mathrm{km}$.
(2) 设 $AB$ 段图象的函数解析式为 $y=k'x+b$.$\because$ 点 $A(1.5,90)$,$B(2.5,170)$ 都在 $AB$ 上,$\therefore \begin{cases}90=1.5k'+b,\\170=2.5k'+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=80,\\b=-30.\end{cases}$ $\therefore y=80x-30(1.5≤ x≤2.5)$.
(3) 当 $x=2$ 时,$y=80×2-30=130$,$170-130=40(\mathrm{km})$.$\therefore$ 他们出发 $2\ \mathrm{h}$ 时,离目的地还有 $40\ \mathrm{km}$.
解析
【分析】
本题是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 0.5h属于OA段对应的时间范围0~1.5h，OA段是过原点的正比例函数，先设OA段解析式为y=kx，代入A点坐标(1.5,90)求出系数k，得到OA段解析式后将x=0.5代入，即可求出对应离家距离；
(2) AB段是一次函数，设解析式为y=k'x+b，将A(1.5,90)、B(2.5,170)两点坐标代入解析式，得到关于k'、b的二元一次方程组，解方程组求出k'和b，标注自变量x的取值范围即可得到AB段解析式；
(3) 出发2h时，x=2属于AB段的取值范围1.5~2.5h，将x=2代入AB段解析式求出此时离家的距离，再用总路程170km减去该距离，即可得到离目的地的距离。
【解析】
(1) 设OA段图象的函数解析式为 $ y=kx $。
将 $ x=1.5 $，$ y=90 $ 代入得：$ 1.5k=90 $，解得 $ k=60 $。
因此OA段解析式为 $ y=60x\ (0≤ x≤1.5) $。
当 $ x=0.5 $ 时，$ y=60×0.5=30 $。
(2) 设AB段图象的函数解析式为 $ y=k'x+b $。
将点A(1.5,90)、B(2.5,170)代入解析式得：
$\begin{cases}1.5k'+b=90 \\2.5k'+b=170\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得 $ k'=80 $，将 $ k'=80 $ 代入 $ 1.5k'+b=90 $，得 $ 120+b=90 $，解得 $ b=-30 $。
因此AB段解析式为 $ y=80x-30\ (1.5≤ x≤2.5) $。
(3) 当 $ x=2 $ 时，代入AB段解析式得：$ y=80×2-30=130 $。
离目的地的距离为 $ 170-130=40(\mathrm{km}) $。
【答案】
(1) 30 km
(2) $ y=80x-30(1.5≤ x≤2.5) $
(3) 40 km
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的实际应用；函数图象的应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是准确理解函数图象中点的坐标的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入求值解决对应问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 0.5h属于OA段对应的时间范围0~1.5h，OA段是过原点的正比例函数，先设OA段解析式为y=kx，代入A点坐标(1.5,90)求出系数k，得到OA段解析式后将x=0.5代入，即可求出对应离家距离；
(2) AB段是一次函数，设解析式为y=k'x+b，将A(1.5,90)、B(2.5,170)两点坐标代入解析式，得到关于k'、b的二元一次方程组，解方程组求出k'和b，标注自变量x的取值范围即可得到AB段解析式；
(3) 出发2h时，x=2属于AB段的取值范围1.5~2.5h，将x=2代入AB段解析式求出此时离家的距离，再用总路程170km减去该距离，即可得到离目的地的距离。
【解析】
(1) 设OA段图象的函数解析式为 $ y=kx $。
将 $ x=1.5 $，$ y=90 $ 代入得：$ 1.5k=90 $，解得 $ k=60 $。
因此OA段解析式为 $ y=60x\ (0≤ x≤1.5) $。
当 $ x=0.5 $ 时，$ y=60×0.5=30 $。
(2) 设AB段图象的函数解析式为 $ y=k'x+b $。
将点A(1.5,90)、B(2.5,170)代入解析式得：
$\begin{cases}1.5k'+b=90 \\2.5k'+b=170\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得 $ k'=80 $，将 $ k'=80 $ 代入 $ 1.5k'+b=90 $，得 $ 120+b=90 $，解得 $ b=-30 $。
因此AB段解析式为 $ y=80x-30\ (1.5≤ x≤2.5) $。
(3) 当 $ x=2 $ 时，代入AB段解析式得：$ y=80×2-30=130 $。
离目的地的距离为 $ 170-130=40(\mathrm{km}) $。
【答案】
(1) 30 km
(2) $ y=80x-30(1.5≤ x≤2.5) $
(3) 40 km
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的实际应用；函数图象的应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是准确理解函数图象中点的坐标的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入求值解决对应问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
20. 已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC=2$，$D$是边$AB$上一动点（不与点$A,B$重合），将$△ CAD$绕点$C$按逆时针方向旋转一定的角度$α$得到$△ CEF$，其中$E$是点$A$的对应点，$F$是点$D$的对应点.
（1）如图1，当$α=90°$时，$G$是边$AB$上一点，且$BG=AD$，连接$GF$.求证：$GF// AC$.
（2）如图2，当$90°≤α≤180°$时，$AE$与$DF$相交于点$M$.
① 当点$M$与点$C,D$不重合时，连接$CM$，求$∠ CMD$的度数.
② 设$D$为边$AB$的中点，当$α$从$90°$变化到$180°$时，求点$M$运动的路径长.
（1）如图1，当$α=90°$时，$G$是边$AB$上一点，且$BG=AD$，连接$GF$.求证：$GF// AC$.
（2）如图2，当$90°≤α≤180°$时，$AE$与$DF$相交于点$M$.
① 当点$M$与点$C,D$不重合时，连接$CM$，求$∠ CMD$的度数.
② 设$D$为边$AB$的中点，当$α$从$90°$变化到$180°$时，求点$M$运动的路径长.
答案
20. （1）$\because CA=CB,∠ACB=90°$,$\therefore ∠A=∠ABC=45°$.$\because △CEF$ 是由 $△CAD$ 逆时针旋转 $90°$ 得到的,$\therefore CB$ 与 $CE$ 重合.$\therefore ∠CBF=∠A=45°$.$\therefore ∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°$.$\because BG=AD=BF$,$\therefore ∠BGF=∠BFG=45°$.$\therefore ∠A=∠BGF$.$\therefore GF// AC$.
（2）① $\because CA=CE,CD=CF$,$\therefore ∠CAE=∠CEA$,$∠CDF=∠CFD$.$\because ∠ACD=∠ECF$,$\therefore ∠ACE=∠DCF$.$\because 2∠CAE+∠ACE=180°$,$2∠CDF+∠DCF=180°$,$\therefore ∠CAE=∠CDF$.$\therefore A$,$D$,$M$,$C$ 四点共圆.$\therefore ∠CMF=∠CAD=45°$.$\therefore ∠CMD=180°-∠CMF=135°$.
② 如图,$O$ 是 $AC$ 的中点,连接 $OD$,$CM$.$\because AD=DB$,$CA=CB$,$\therefore CD⊥AB$.$\therefore ∠ADC=90°$.由①可知 $A$,$D$,$M$,$C$ 四点共圆,$\therefore$ 当 $α$ 从 $90°$ 变化到 $180°$ 时,点 $M$ 在以 $AC$ 为直径的 $\odot O$ 上,运动路径是$\overset{\frown}{CD}$.$\because OA=OC$,$CD=DA$,$\therefore DO⊥AC$.$\therefore ∠DOC=90°$.$\therefore \overset{\frown}{CD}$的长$=\dfrac{90π×1}{180}=\dfrac{π}{2}$.$\therefore$ 当 $α$ 从 $90°$ 变化到 $180°$ 时,点 $M$ 运动的路径长为 $\dfrac{π}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证$GF// AC$，可通过证明同位角$∠ A=∠ BGF=45°$实现。首先利用等腰直角三角形的性质得到$∠ A=∠ ABC=45°$，再结合旋转的性质得出$BF=AD$、$∠ CBF=∠ A=45°$，结合已知$BG=AD$推出$△ BGF$是等腰直角三角形，得到$∠ BGF=45°$即可得证。
（2）①要求$∠ CMD$的度数，先根据旋转性质得到$CA=CE$、$CD=CF$、$∠ ACE=∠ DCF$，推导得出$∠ CAE=∠ CDF$，进而得到$A、D、M、C$四点共圆，利用圆周角性质及平角定义计算$∠ CMD$的度数。
（3）②求点$M$的运动路径长，首先由①的四点共圆结论确定$M$的运动轨迹是以$AC$为直径的圆上的一段弧，再确定旋转从$90°$到$180°$时$M$的起止位置，计算对应弧长即可。
【解析】
（1）证明：$\because CA=CB,∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A=∠ ABC=45°$。
$\because △ CEF$是由$△ CAD$逆时针旋转$90°$得到的，此时$CE$与$CB$重合，$\therefore BF=AD$，$∠ CBF=∠ A=45°$。
$\therefore ∠ ABF=∠ ABC+∠ CBF=45°+45°=90°$。
又$\because BG=AD$，$\therefore BG=BF$，$\therefore △ BGF$是等腰直角三角形，$∠ BGF=45°$。
$\therefore ∠ A=∠ BGF=45°$，$\therefore GF// AC$（同位角相等，两直线平行）。
（2）①解：由旋转的性质可得：$CA=CE$，$CD=CF$，$∠ ACD=∠ ECF$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DCE=∠ ECF+∠ DCE$，即$∠ ACE=∠ DCF$。
在$△ ACE$中，$∠ CAE=∠ CEA$，$\therefore 2∠ CAE+∠ ACE=180°$；
在$△ DCF$中，$∠ CDF=∠ CFD$，$\therefore 2∠ CDF+∠ DCF=180°$。
$\therefore ∠ CAE=∠ CDF$，$\therefore A、D、M、C$四点共圆，
$\therefore ∠ CMF=∠ CAD=45°$，
$\therefore ∠ CMD=180°-∠ CMF=180°-45°=135°$。
②解：取$AC$的中点$O$，连接$OD、CM$。
$\because D$是$AB$中点，$CA=CB$，$\therefore CD⊥ AB$，即$∠ ADC=90°$。
由①可知$A、D、M、C$四点共圆，且$AC$为直径，即点$M$在以$O$为圆心，$AC$长为直径的$\odot O$上。
当$α$从$90°$变化到$180°$时，点$M$的运动路径是$\overset{\frown}{CD}$。
$\because OA=OC$，$AD=DC$，$\therefore DO⊥ AC$，即$∠ DOC=90°$。
$\odot O$的半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{2}{2}=1$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{90π×1}{180}=\frac{π}{2}$。
即当$α$从$90°$变化到$180°$时，点$M$运动的路径长为$\frac{π}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）①$∠ CMD=135°$；
②点$M$运动的路径长为$\dfrac{π}{2}$。
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的性质
3.弧长计算
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转、三角形性质、圆的相关知识相结合，解题的核心是抓住旋转前后边、角的不变性，寻找等量关系推导结论，最后一问的动点路径问题需要先确定轨迹类型再计算，能有效考查几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.3
（1）要证$GF// AC$，可通过证明同位角$∠ A=∠ BGF=45°$实现。首先利用等腰直角三角形的性质得到$∠ A=∠ ABC=45°$，再结合旋转的性质得出$BF=AD$、$∠ CBF=∠ A=45°$，结合已知$BG=AD$推出$△ BGF$是等腰直角三角形，得到$∠ BGF=45°$即可得证。
（2）①要求$∠ CMD$的度数，先根据旋转性质得到$CA=CE$、$CD=CF$、$∠ ACE=∠ DCF$，推导得出$∠ CAE=∠ CDF$，进而得到$A、D、M、C$四点共圆，利用圆周角性质及平角定义计算$∠ CMD$的度数。
（3）②求点$M$的运动路径长，首先由①的四点共圆结论确定$M$的运动轨迹是以$AC$为直径的圆上的一段弧，再确定旋转从$90°$到$180°$时$M$的起止位置，计算对应弧长即可。
【解析】
（1）证明：$\because CA=CB,∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A=∠ ABC=45°$。
$\because △ CEF$是由$△ CAD$逆时针旋转$90°$得到的，此时$CE$与$CB$重合，$\therefore BF=AD$，$∠ CBF=∠ A=45°$。
$\therefore ∠ ABF=∠ ABC+∠ CBF=45°+45°=90°$。
又$\because BG=AD$，$\therefore BG=BF$，$\therefore △ BGF$是等腰直角三角形，$∠ BGF=45°$。
$\therefore ∠ A=∠ BGF=45°$，$\therefore GF// AC$（同位角相等，两直线平行）。
（2）①解：由旋转的性质可得：$CA=CE$，$CD=CF$，$∠ ACD=∠ ECF$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DCE=∠ ECF+∠ DCE$，即$∠ ACE=∠ DCF$。
在$△ ACE$中，$∠ CAE=∠ CEA$，$\therefore 2∠ CAE+∠ ACE=180°$；
在$△ DCF$中，$∠ CDF=∠ CFD$，$\therefore 2∠ CDF+∠ DCF=180°$。
$\therefore ∠ CAE=∠ CDF$，$\therefore A、D、M、C$四点共圆，
$\therefore ∠ CMF=∠ CAD=45°$，
$\therefore ∠ CMD=180°-∠ CMF=180°-45°=135°$。
②解：取$AC$的中点$O$，连接$OD、CM$。
$\because D$是$AB$中点，$CA=CB$，$\therefore CD⊥ AB$，即$∠ ADC=90°$。
由①可知$A、D、M、C$四点共圆，且$AC$为直径，即点$M$在以$O$为圆心，$AC$长为直径的$\odot O$上。
当$α$从$90°$变化到$180°$时，点$M$的运动路径是$\overset{\frown}{CD}$。
$\because OA=OC$，$AD=DC$，$\therefore DO⊥ AC$，即$∠ DOC=90°$。
$\odot O$的半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{2}{2}=1$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{90π×1}{180}=\frac{π}{2}$。
即当$α$从$90°$变化到$180°$时，点$M$运动的路径长为$\frac{π}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）①$∠ CMD=135°$；
②点$M$运动的路径长为$\dfrac{π}{2}$。
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的性质
3.弧长计算
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转、三角形性质、圆的相关知识相结合，解题的核心是抓住旋转前后边、角的不变性，寻找等量关系推导结论，最后一问的动点路径问题需要先确定轨迹类型再计算，能有效考查几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.3
