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9. 在函数 $y=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是________.
答案
9. $x＞1$
解析
【分析】
要确定该函数自变量的取值范围，需结合函数包含的运算的限制条件分析：函数中同时含有二次根式和分式，首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，将两个限制条件结合列不等式即可求解。因为被开方数的分子是正数，所以只需保证分母为正就能满足两个限制要求。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$\dfrac{1}{x-1}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$。
结合两个条件可得$\dfrac{1}{x-1}＞0$，由于分子1是正数，因此分母$x-1＞0$，解得$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，求解时需注意覆盖所有运算的限制要求，避免遗漏分母不为0的条件，错写成$x≥1$。
【难度系数】
0.8
要确定该函数自变量的取值范围，需结合函数包含的运算的限制条件分析：函数中同时含有二次根式和分式，首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，将两个限制条件结合列不等式即可求解。因为被开方数的分子是正数，所以只需保证分母为正就能满足两个限制要求。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$\dfrac{1}{x-1}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$。
结合两个条件可得$\dfrac{1}{x-1}＞0$，由于分子1是正数，因此分母$x-1＞0$，解得$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，求解时需注意覆盖所有运算的限制要求，避免遗漏分母不为0的条件，错写成$x≥1$。
【难度系数】
0.8
10. 若一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根之和为$2a - 1$，则两根之积为________.
答案
10. $-3$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。第一步先根据给定方程写出两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和的已知条件列方程求解参数$a$，求出$a$后验证方程是否有实数根，最后代入两根之积的表达式即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$-a$，常数项为$-3a$。
根据根与系数的关系，该方程的两根之和为$a$。
已知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
移项解得$a=1$。
验证判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 + 12a$，代入$a=1$得$\Delta=1+12=13＞0$，说明方程有两个实数根，$a=1$符合题意。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-3a$，代入$a=1$得：$-3×1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
韦达定理，解一元一次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对一元二次方程根与系数关系的运用，解题的突破口是利用两根之和的两种表达形式建立方程求参数，解题时注意验证参数取值下方程是否有实根，确保结果有效。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。第一步先根据给定方程写出两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和的已知条件列方程求解参数$a$，求出$a$后验证方程是否有实数根，最后代入两根之积的表达式即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$-a$，常数项为$-3a$。
根据根与系数的关系，该方程的两根之和为$a$。
已知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
移项解得$a=1$。
验证判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 + 12a$，代入$a=1$得$\Delta=1+12=13＞0$，说明方程有两个实数根，$a=1$符合题意。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-3a$，代入$a=1$得：$-3×1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
韦达定理，解一元一次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对一元二次方程根与系数关系的运用，解题的突破口是利用两根之和的两种表达形式建立方程求参数，解题时注意验证参数取值下方程是否有实根，确保结果有效。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC = 5$,$BC = 6$,$M$为$BC$的中点,$MN ⊥ AC$,垂足为$N$,则$MN =$
$\dfrac{12}{5}$
.答案
11. $\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
本题从等腰三角形的性质入手，首先连接AM，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM⊥BC，先通过勾股定理求出AM的长度，再利用△AMC面积的两种不同表达形式，通过等面积法即可求出MN的长度。
【解析】
连接AM，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△AMC中，AC=5，MC=3，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∵MN⊥AC，
∴$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}× AM× MC=\frac{1}{2}× AC× MN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× MN$，
化简得：$12=5MN$，
解得$MN=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、勾股定理、等面积法
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的典型题型，通过等面积法计算垂线段长度是常用的解题技巧，熟练掌握相关性质和方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题从等腰三角形的性质入手，首先连接AM，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM⊥BC，先通过勾股定理求出AM的长度，再利用△AMC面积的两种不同表达形式，通过等面积法即可求出MN的长度。
【解析】
连接AM，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△AMC中，AC=5，MC=3，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∵MN⊥AC，
∴$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}× AM× MC=\frac{1}{2}× AC× MN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× MN$，
化简得：$12=5MN$，
解得$MN=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、勾股定理、等面积法
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的典型题型，通过等面积法计算垂线段长度是常用的解题技巧，熟练掌握相关性质和方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
12. 某企业今年第一季度各月份的产值占这个季度总产值的百分比如图所示，已知二月份的产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是
$80$
万元.答案
12. $80$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确扇形统计图中整个圆代表第一季度总产值，即单位“1”。第一步先计算二月份产值占第一季度总产值的百分比，用单位“1”减去一月、三月的占比即可；第二步结合已知的二月份产值，用“对应量÷对应占比”求出第一季度的总产值；最后用第一季度总产值除以3，就能得到月产值的平均数。
【解析】
1. 计算二月份产值占第一季度总产值的百分比：
$1 - 25\% - 45\% = 30\%$
2. 计算第一季度总产值：
已知二月份产值为72万元，对应占比30%，因此总产值为 $72 ÷ 30\% = 240$（万元）
3. 计算第一季度月产值的平均数：
$240 ÷ 3 = 80$（万元）
【答案】
$80$
【知识点】
扇形统计图；百分数的应用；平均数计算
【点评】
本题属于基础常考题，结合扇形统计图考查百分数的实际应用，解题关键是找准部分量对应的百分率求出总量，再计算平均数，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确扇形统计图中整个圆代表第一季度总产值，即单位“1”。第一步先计算二月份产值占第一季度总产值的百分比，用单位“1”减去一月、三月的占比即可；第二步结合已知的二月份产值，用“对应量÷对应占比”求出第一季度的总产值；最后用第一季度总产值除以3，就能得到月产值的平均数。
【解析】
1. 计算二月份产值占第一季度总产值的百分比：
$1 - 25\% - 45\% = 30\%$
2. 计算第一季度总产值：
已知二月份产值为72万元，对应占比30%，因此总产值为 $72 ÷ 30\% = 240$（万元）
3. 计算第一季度月产值的平均数：
$240 ÷ 3 = 80$（万元）
【答案】
$80$
【知识点】
扇形统计图；百分数的应用；平均数计算
【点评】
本题属于基础常考题，结合扇形统计图考查百分数的实际应用，解题关键是找准部分量对应的百分率求出总量，再计算平均数，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长分别为$2,2,2\sqrt{3},2$,且$AB⊥ BC$,则$∠ BAD=$
$135$
°.答案
13. $135$
解析
【分析】
已知AB⊥BC且AB=BC=2，我们可以先连接辅助线AC，构造直角三角形ABC：先通过勾股定理算出AC的长度，同时得到等腰直角三角形ABC中∠BAC的度数；再把AC代入△ACD中，用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，求出∠CAD的度数，最后将两个角相加即可得到∠BAD的度数。
【解析】
连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
且△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°。
在△ACD中，AD=2，$CD=2\sqrt{3}$，
计算得：$AD^2+AC^2=2^2+(2\sqrt{2})^2=4+8=12$，$CD^2=(2\sqrt{3})^2=12$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°。
【答案】
135
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是四边形角度计算的常规题型，核心解题思路是通过作辅助线将四边形拆分为两个三角形，把未知问题转化为熟悉的直角三角形相关问题求解，解题关键是正确作出辅助线AC。
【难度系数】
0.7
已知AB⊥BC且AB=BC=2，我们可以先连接辅助线AC，构造直角三角形ABC：先通过勾股定理算出AC的长度，同时得到等腰直角三角形ABC中∠BAC的度数；再把AC代入△ACD中，用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，求出∠CAD的度数，最后将两个角相加即可得到∠BAD的度数。
【解析】
连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
且△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°。
在△ACD中，AD=2，$CD=2\sqrt{3}$，
计算得：$AD^2+AC^2=2^2+(2\sqrt{2})^2=4+8=12$，$CD^2=(2\sqrt{3})^2=12$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°。
【答案】
135
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是四边形角度计算的常规题型，核心解题思路是通过作辅助线将四边形拆分为两个三角形，把未知问题转化为熟悉的直角三角形相关问题求解，解题关键是正确作出辅助线AC。
【难度系数】
0.7
14. 某超市在五一期间开展促销活动，店前公告如下:一次性购买某种服装3件，每件仅售80元，如果超过3件，那么超过部分要打八折，顾客所付款$y$(单位:元)与所购服装$x$(单位:件)$(x≥ 3)$之间的函数解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
14. $y=64x+48(x≥3)$
解析
【分析】
解题时首先明确x≥3时的付款分为两部分：①前3件服装按原价80元/件计费；②超过3件的部分（即x-3件）按原价打八折计费。先分别计算两部分的费用，再求和并化简就能得到函数解析式，注意要标注自变量x的取值范围。
【解析】
当x≥3时：
1. 计算前3件服装的总费用：$3×80=240$（元）
2. 计算超过3件部分的服装单价：打八折后单价为$80×0.8=64$（元/件）
3. 超过3件的服装数量为$(x-3)$件，这部分的总费用为$64(x-3)$元
4. 总付款$y$为两部分费用之和：
$y=240 + 64(x-3)$
化简得：
$y=240 + 64x - 192$
$y=64x + 48$
结合题设自变量取值要求，最终解析式为$y=64x+48(x≥3)$
【答案】
$y=64x+48(x≥3)$
【知识点】
1. 列一次函数关系式
2. 分段计费问题
3. 代数式化简
【点评】
本题结合生活中的促销打折场景命题，解题核心是分清楚不同计费规则对应的商品数量，避免出现全部商品都按打折价计算的错误，计算过程中注意代数式化简的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确x≥3时的付款分为两部分：①前3件服装按原价80元/件计费；②超过3件的部分（即x-3件）按原价打八折计费。先分别计算两部分的费用，再求和并化简就能得到函数解析式，注意要标注自变量x的取值范围。
【解析】
当x≥3时：
1. 计算前3件服装的总费用：$3×80=240$（元）
2. 计算超过3件部分的服装单价：打八折后单价为$80×0.8=64$（元/件）
3. 超过3件的服装数量为$(x-3)$件，这部分的总费用为$64(x-3)$元
4. 总付款$y$为两部分费用之和：
$y=240 + 64(x-3)$
化简得：
$y=240 + 64x - 192$
$y=64x + 48$
结合题设自变量取值要求，最终解析式为$y=64x+48(x≥3)$
【答案】
$y=64x+48(x≥3)$
【知识点】
1. 列一次函数关系式
2. 分段计费问题
3. 代数式化简
【点评】
本题结合生活中的促销打折场景命题，解题核心是分清楚不同计费规则对应的商品数量，避免出现全部商品都按打折价计算的错误，计算过程中注意代数式化简的准确性即可。
【难度系数】
0.8
15. 如图,将直线$y=-x$沿$y$轴向下平移后所得的直线恰好经过点$A(2,-4)$,且与$y$轴交于点$B$.若在$x$轴上存在一点$P$使得$PA+PB$的值最小,则点$P$的坐标为________.
答案
15. $(\dfrac{2}{3},0)$
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据一次函数平移时斜率k不变的规律，设平移后直线的解析式，代入点A坐标求出解析式，进而得到直线与y轴交点B的坐标；第二步，要在x轴上找P使PA+PB最小，属于将军饮马类最短路径问题，根据轴对称性质，作点B关于x轴的对称点B'，此时PA+PB=PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，和最小；第三步，求直线AB'的解析式，再计算该直线与x轴的交点，即为所求点P的坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：
直线$y=-x$平移后k值不变，设平移后的解析式为$y=-x+b$，
将$A(2,-4)$代入得：$-4=-2+b$，解得$b=-2$，
∴平移后直线解析式为$y=-x-2$。
2. 求点B坐标：
令$x=0$，得$y=-2$，
∴B点坐标为$(0,-2)$。
3. 作对称点求最短路径：
作点B关于x轴的对称点$B'$，根据x轴对称的点的坐标特征，得$B'(0,2)$。
连接$AB'$，与x轴的交点即为满足$PA+PB$最小的点P。
4. 求直线$AB'$的解析式：
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+m$，
将$A(2,-4)$、$B'(0,2)$代入得：
$\begin{cases}m=2 \\ 2k+m=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3 \\ m=2\end{cases}$，
∴直线$AB'$的解析式为$y=-3x+2$。
5. 求点P坐标：
令$y=0$，得$0=-3x+2$，解得$x=\dfrac{2}{3}$，
∴点P的坐标为$(\dfrac{2}{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
一次函数平移；最短路径问题；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合了一次函数与几何最值的相关考点，既需要掌握一次函数平移的规律、待定系数法求解析式的方法，也需要熟练运用轴对称的性质解决最短路径问题，能有效考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题分三步思考：第一步，根据一次函数平移时斜率k不变的规律，设平移后直线的解析式，代入点A坐标求出解析式，进而得到直线与y轴交点B的坐标；第二步，要在x轴上找P使PA+PB最小，属于将军饮马类最短路径问题，根据轴对称性质，作点B关于x轴的对称点B'，此时PA+PB=PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，和最小；第三步，求直线AB'的解析式，再计算该直线与x轴的交点，即为所求点P的坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：
直线$y=-x$平移后k值不变，设平移后的解析式为$y=-x+b$，
将$A(2,-4)$代入得：$-4=-2+b$，解得$b=-2$，
∴平移后直线解析式为$y=-x-2$。
2. 求点B坐标：
令$x=0$，得$y=-2$，
∴B点坐标为$(0,-2)$。
3. 作对称点求最短路径：
作点B关于x轴的对称点$B'$，根据x轴对称的点的坐标特征，得$B'(0,2)$。
连接$AB'$，与x轴的交点即为满足$PA+PB$最小的点P。
4. 求直线$AB'$的解析式：
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+m$，
将$A(2,-4)$、$B'(0,2)$代入得：
$\begin{cases}m=2 \\ 2k+m=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3 \\ m=2\end{cases}$，
∴直线$AB'$的解析式为$y=-3x+2$。
5. 求点P坐标：
令$y=0$，得$0=-3x+2$，解得$x=\dfrac{2}{3}$，
∴点P的坐标为$(\dfrac{2}{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
一次函数平移；最短路径问题；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合了一次函数与几何最值的相关考点，既需要掌握一次函数平移的规律、待定系数法求解析式的方法，也需要熟练运用轴对称的性质解决最短路径问题，能有效考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 计算：
(1) $ 2\sqrt{12} + 3\sqrt{1\dfrac{1}{3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{48} $；
(2) $ \sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}) $。
16. 计算：
(1) $ 2\sqrt{12} + 3\sqrt{1\dfrac{1}{3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{48} $；
(2) $ \sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}) $。
答案
16. (1) $\dfrac{10}{3}\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}+2$
(2) $4\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}+2$
解析
【分析】
（1）本题是二次根式的加减运算，解题思路为：第一步先将所有二次根式化简为最简二次根式，第二步识别出同类二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到结果。
（2）本题是二次根式的混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：先计算除法和多项式乘法部分，再将所有项化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式，多项式乘法用乘法分配律展开计算即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&\quad2\sqrt{12} + 3\sqrt{1\dfrac{1}{3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{48}\\&=2×2\sqrt{3} + 3×\sqrt{\dfrac{4}{3}} - \dfrac{2}{3}×4\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3} + 3×\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=6\sqrt{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=\dfrac{18\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{3}\\&=\dfrac{10}{3}\sqrt{3}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\quad\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}})\\&=4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}÷2 + (3×1 + 3×\dfrac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\dfrac{1}{\sqrt{3}})\\&=4\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{6}}{2} + (3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} -1)\\&=4\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{6}}{2} + 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{10}{3}\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}+2$
【知识点】
最简二次根式化简，二次根式加减运算，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心要求是熟练掌握二次根式化简方法和运算顺序，计算时注意同类二次根式才能合并，分母有理化要运算正确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题是二次根式的加减运算，解题思路为：第一步先将所有二次根式化简为最简二次根式，第二步识别出同类二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到结果。
（2）本题是二次根式的混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：先计算除法和多项式乘法部分，再将所有项化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式，多项式乘法用乘法分配律展开计算即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&\quad2\sqrt{12} + 3\sqrt{1\dfrac{1}{3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{48}\\&=2×2\sqrt{3} + 3×\sqrt{\dfrac{4}{3}} - \dfrac{2}{3}×4\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3} + 3×\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=6\sqrt{3} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\\&=\dfrac{18\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{3}\\&=\dfrac{10}{3}\sqrt{3}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\quad\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ 2 + (3 - \sqrt{3})(1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}})\\&=4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}÷2 + (3×1 + 3×\dfrac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\dfrac{1}{\sqrt{3}})\\&=4\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{6}}{2} + (3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} -1)\\&=4\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{6}}{2} + 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{10}{3}\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}+2$
【知识点】
最简二次根式化简，二次根式加减运算，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心要求是熟练掌握二次根式化简方法和运算顺序，计算时注意同类二次根式才能合并，分母有理化要运算正确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
17. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过 $(0,2),(1,3)$ 两点.
（1）求 $ k,b $ 的值.
（2）若一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴的交点为 $ A(a,0) $，求 $ a $ 的值.
（1）求 $ k,b $ 的值.
（2）若一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴的交点为 $ A(a,0) $，求 $ a $ 的值.
答案
17. (1) 由题意得 $\begin{cases}b=2,\\k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=2.\end{cases}$
(2) 由(1)得 $y=x+2$,$\therefore$ 当 $y=0$ 时,$x=-2$,即 $a=-2$.
(2) 由(1)得 $y=x+2$,$\therefore$ 当 $y=0$ 时,$x=-2$,即 $a=-2$.
解析
【分析】
（1）要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，把两个已知点的坐标分别代入解析式，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$、$b$的值。
（2）求一次函数与$x$轴交点的横坐标$a$，先利用第（1）问的结果得到一次函数的完整解析式，再根据$x$轴上的点纵坐标为0的特征，把$y=0$代入解析式，解关于$x$的一元一次方程，得到的$x$值就是$a$的值。
【解析】
（1）将点$(0,2)$、$(1,3)$分别代入一次函数解析式$y=kx+b$，可得：
$\begin{cases}2 = 0× k + b\\3 = 1× k + b\end{cases}$
化简得$\begin{cases}b=2\\k+b=3\end{cases}$
把$b=2$代入$k+b=3$，解得$k=1$
因此$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
（2）由（1）可知，一次函数的解析式为$y=x+2$
因为点$A(a,0)$是该函数图象与$x$轴的交点，将$y=0$代入$y=x+2$得：
$0 = x + 2$
解得$x=-2$，即$a=-2$
【答案】
(1) $\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
(2) $a=-2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是一次函数的基础考题，解题核心是理解函数图象上的点与解析式的对应关系，掌握坐标轴上点的坐标特征，这类题型是函数模块的基础，也是后续学习复杂函数问题的铺垫，需要熟练掌握解题方法。
【难度系数】
0.9
（1）要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，把两个已知点的坐标分别代入解析式，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$、$b$的值。
（2）求一次函数与$x$轴交点的横坐标$a$，先利用第（1）问的结果得到一次函数的完整解析式，再根据$x$轴上的点纵坐标为0的特征，把$y=0$代入解析式，解关于$x$的一元一次方程，得到的$x$值就是$a$的值。
【解析】
（1）将点$(0,2)$、$(1,3)$分别代入一次函数解析式$y=kx+b$，可得：
$\begin{cases}2 = 0× k + b\\3 = 1× k + b\end{cases}$
化简得$\begin{cases}b=2\\k+b=3\end{cases}$
把$b=2$代入$k+b=3$，解得$k=1$
因此$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
（2）由（1）可知，一次函数的解析式为$y=x+2$
因为点$A(a,0)$是该函数图象与$x$轴的交点，将$y=0$代入$y=x+2$得：
$0 = x + 2$
解得$x=-2$，即$a=-2$
【答案】
(1) $\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
(2) $a=-2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是一次函数的基础考题，解题核心是理解函数图象上的点与解析式的对应关系，掌握坐标轴上点的坐标特征，这类题型是函数模块的基础，也是后续学习复杂函数问题的铺垫，需要熟练掌握解题方法。
【难度系数】
0.9
