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1. 下列点中,在直线 $y=2x$ 上的是
$\begin{array}{ll}\mathrm{A. }(1,1)&\mathrm{B. }(2,1)\\\mathrm{C. }(1,2)&\mathrm{D. }(2,2)\end{array}$
（
$\begin{array}{ll}\mathrm{A. }(1,1)&\mathrm{B. }(2,1)\\\mathrm{C. }(1,2)&\mathrm{D. }(2,2)\end{array}$
（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个点是否在直线$y=2x$上，只需将点的横坐标代入直线解析式，计算出对应的$y$值，若计算结果与该点的纵坐标相等，则这个点在直线上，反之则不在，我们可以逐一验证四个选项的坐标即可得到答案。
【解析】
判断点是否在直线上的方法为：将点的横坐标代入函数解析式，所得结果与点的纵坐标相等时，点在该直线上。
对各选项逐一验证：
选项A：点$(1,1)$，将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2\ne1$，故该点不在直线$y=2x$上；
选项B：点$(2,1)$，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4\ne1$，故该点不在直线$y=2x$上；
选项C：点$(1,2)$，将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2$，与纵坐标相等，故该点在直线$y=2x$上；
选项D：点$(2,2)$，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4\ne2$，故该点不在直线$y=2x$上。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点坐标特征、代入验证法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察点是否在函数图象上的判断方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速求解，是一次函数相关知识点的基础考察题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在直线$y=2x$上，只需将点的横坐标代入直线解析式，计算出对应的$y$值，若计算结果与该点的纵坐标相等，则这个点在直线上，反之则不在，我们可以逐一验证四个选项的坐标即可得到答案。
【解析】
判断点是否在直线上的方法为：将点的横坐标代入函数解析式，所得结果与点的纵坐标相等时，点在该直线上。
对各选项逐一验证：
选项A：点$(1,1)$，将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2\ne1$，故该点不在直线$y=2x$上；
选项B：点$(2,1)$，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4\ne1$，故该点不在直线$y=2x$上；
选项C：点$(1,2)$，将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2$，与纵坐标相等，故该点在直线$y=2x$上；
选项D：点$(2,2)$，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4\ne2$，故该点不在直线$y=2x$上。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点坐标特征、代入验证法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察点是否在函数图象上的判断方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速求解，是一次函数相关知识点的基础考察题型。
【难度系数】
0.9
2. 已知一个直角三角形两直角边的长分别为5,12,则斜边长为 （
A.13
B.14
C.15
D.16
A
）A.13
B.14
C.15
D.16
答案
2. A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确已知条件：直角三角形，给出两条直角边的长度，要求斜边长。我们首先联想到直角三角形三边关系的核心定理——勾股定理，勾股定理明确了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们只需要将两条直角边的数值代入公式，先计算斜边的平方，再对结果开算术平方根（因为边长为正数，仅取正根），即可得到斜边长，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两直角边长分别为5、12，设斜边长为c。
根据勾股定理可得：$c^2 = 5^2 + 12^2$
计算得：$c^2 = 25 + 144 = 169$
由于三角形边长为正数，因此$c = \sqrt{169} = 13$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察勾股定理的直接应用，熟练记忆勾股定理的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确已知条件：直角三角形，给出两条直角边的长度，要求斜边长。我们首先联想到直角三角形三边关系的核心定理——勾股定理，勾股定理明确了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们只需要将两条直角边的数值代入公式，先计算斜边的平方，再对结果开算术平方根（因为边长为正数，仅取正根），即可得到斜边长，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两直角边长分别为5、12，设斜边长为c。
根据勾股定理可得：$c^2 = 5^2 + 12^2$
计算得：$c^2 = 25 + 144 = 169$
由于三角形边长为正数，因此$c = \sqrt{169} = 13$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察勾股定理的直接应用，熟练记忆勾股定理的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别为边AB,AC的中点,连接DE.若$BC=10$,则DE的长为
(
A.6
B.5
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{5}{2}$
(
B
)A.6
B.5
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
3. B
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：D、E分别是AB、AC的中点，结合图形可先判断DE的定位，回忆三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，因此DE是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的核心性质：中位线长度等于第三边长度的一半，已知第三边BC的长度，代入即可直接计算DE的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}BC}$，
已知BC=10，代入得：$DE=\frac{1}{2}×10=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础类考题，直接考查三角形中位线性质的应用，熟练掌握对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：D、E分别是AB、AC的中点，结合图形可先判断DE的定位，回忆三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，因此DE是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的核心性质：中位线长度等于第三边长度的一半，已知第三边BC的长度，代入即可直接计算DE的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}BC}$，
已知BC=10，代入得：$DE=\frac{1}{2}×10=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础类考题，直接考查三角形中位线性质的应用，熟练掌握对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差如下表所示.如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4. A
解析
【分析】
要选出成绩高且发挥稳定的学生，需分两步筛选：第一步先看平均成绩，平均成绩越高说明整体成绩越好，先淘汰平均成绩低的学生；第二步看方差，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，在平均成绩较高的学生中选择方差最小的，就是符合要求的人选。
【解析】
1. 筛选平均成绩高的学生：观察表格数据，甲、乙、丙的平均成绩均为9分，丁的平均成绩为8分，$9＞8$，因此丁的平均成绩更低，首先排除丁。
2. 筛选发挥稳定的学生：方差越小，成绩越稳定。甲、乙、丙的方差分别为$s^2_甲=0.9$，$s^2_乙=1$，$s^2_丙=1.1$，可得$0.9＜1＜1.1$，即甲的方差最小，发挥最稳定。
综上，甲同时满足平均成绩高、发挥稳定两个要求，应选择甲参赛。
【答案】
A
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计量的实际应用类题目，解题核心是明确平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定性，牢记“方差越小，数据波动越小，越稳定”即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要选出成绩高且发挥稳定的学生，需分两步筛选：第一步先看平均成绩，平均成绩越高说明整体成绩越好，先淘汰平均成绩低的学生；第二步看方差，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，在平均成绩较高的学生中选择方差最小的，就是符合要求的人选。
【解析】
1. 筛选平均成绩高的学生：观察表格数据，甲、乙、丙的平均成绩均为9分，丁的平均成绩为8分，$9＞8$，因此丁的平均成绩更低，首先排除丁。
2. 筛选发挥稳定的学生：方差越小，成绩越稳定。甲、乙、丙的方差分别为$s^2_甲=0.9$，$s^2_乙=1$，$s^2_丙=1.1$，可得$0.9＜1＜1.1$，即甲的方差最小，发挥最稳定。
综上，甲同时满足平均成绩高、发挥稳定两个要求，应选择甲参赛。
【答案】
A
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计量的实际应用类题目，解题核心是明确平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定性，牢记“方差越小，数据波动越小，越稳定”即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线平分对角
D.对角线互相平分
D
）A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线平分对角
D.对角线互相平分
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形、菱形、正方形都属于特殊的平行四边形，我们可以先分别回忆三种图形的对角线性质，再逐一比对四个选项，排除仅属于部分图形的性质，最终选出三者共有的性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对角线相等：矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线不一定相等，因此不是三者共有的性质，排除A；
B. 对角线互相垂直：菱形和正方形的对角线互相垂直，但普通矩形的对角线不互相垂直，因此不是三者共有的性质，排除B；
C. 对角线平分对角：菱形和正方形的对角线平分对角，但普通矩形的对角线不平分对角，因此不是三者共有的性质，排除C；
D. 对角线互相平分：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此该性质是三者共有的性质，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质辨析，解题关键是区分各类特殊平行四边形的独有性质和共有性质，熟记基础图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确矩形、菱形、正方形都属于特殊的平行四边形，我们可以先分别回忆三种图形的对角线性质，再逐一比对四个选项，排除仅属于部分图形的性质，最终选出三者共有的性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对角线相等：矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线不一定相等，因此不是三者共有的性质，排除A；
B. 对角线互相垂直：菱形和正方形的对角线互相垂直，但普通矩形的对角线不互相垂直，因此不是三者共有的性质，排除B；
C. 对角线平分对角：菱形和正方形的对角线平分对角，但普通矩形的对角线不平分对角，因此不是三者共有的性质，排除C；
D. 对角线互相平分：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此该性质是三者共有的性质，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质辨析，解题关键是区分各类特殊平行四边形的独有性质和共有性质，熟记基础图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为$ a $，较短直角边的长为$ b $.若$ ab=6 $，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（
A.8
B.6
C.4
D.3
C
）A.8
B.6
C.4
D.3
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先明确赵爽弦图的各部分边长关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得斜边平方为$a^2+b^2$，等于大正方形面积；小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$。接下来利用完全平方公式将$(a-b)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2$和$ab$的值即可求出结果。
【解析】
解：由题意可知，直角三角形的斜边长的平方为$a^2 + b^2$，大正方形的面积为16，因此：
$a^2 + b^2 = 16$
小正方形的边长为$a - b$，则小正方形的面积为：
$S=(a - b)^2$
根据完全平方公式展开得：
$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
已知$ab=6$，将$a^2 + b^2=16$、$ab=6$代入上式：
$(a - b)^2 = 16 - 2×6 = 16 - 12 = 4$
因此小正方形的面积为4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以我国古代经典的赵爽弦图为背景，将几何图形面积关系和代数公式运算结合，需要学生准确梳理图形各部分的数量关系，是数形结合思想的典型基础应用题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确赵爽弦图的各部分边长关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得斜边平方为$a^2+b^2$，等于大正方形面积；小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$。接下来利用完全平方公式将$(a-b)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2$和$ab$的值即可求出结果。
【解析】
解：由题意可知，直角三角形的斜边长的平方为$a^2 + b^2$，大正方形的面积为16，因此：
$a^2 + b^2 = 16$
小正方形的边长为$a - b$，则小正方形的面积为：
$S=(a - b)^2$
根据完全平方公式展开得：
$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
已知$ab=6$，将$a^2 + b^2=16$、$ab=6$代入上式：
$(a - b)^2 = 16 - 2×6 = 16 - 12 = 4$
因此小正方形的面积为4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以我国古代经典的赵爽弦图为背景，将几何图形面积关系和代数公式运算结合，需要学生准确梳理图形各部分的数量关系，是数形结合思想的典型基础应用题目。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AC，BD 是菱形 ABCD 的对角线，$BH ⊥ AD$，垂足为 H. 若 $AC = 4$，$BD = 3$，则 $BH$ 的长为 （
A.$2.4$
B.$2.5$
C.$4.8$
D.$5$
A
）A.$2.4$
B.$2.5$
C.$4.8$
D.$5$
答案
7. A
解析
【分析】
要求菱形的高BH，可利用菱形面积的两种计算方法求解：首先回忆菱形面积的两个计算公式：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高。第一步先根据已知的对角线长度算出菱形的面积；第二步利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长AD；最后根据两种方法算得的面积相等，列等式即可求出BH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=3，
∴菱形面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$DO=\frac{1}{2}BD=1.5$，且$AC⊥ BD$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$，
∵$BH⊥ AD$，菱形面积也可表示为$S=AD× BH$，
∴$2.5× BH=6$，
解得$BH=6÷2.5=2.4$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等面积法计算
【点评】
本题是典型的菱形相关计算问题，解题关键是熟练掌握菱形的性质，灵活运用菱形面积的两种计算方式建立等量关系，结合勾股定理求出边长后即可算出高，难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要求菱形的高BH，可利用菱形面积的两种计算方法求解：首先回忆菱形面积的两个计算公式：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高。第一步先根据已知的对角线长度算出菱形的面积；第二步利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长AD；最后根据两种方法算得的面积相等，列等式即可求出BH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=3，
∴菱形面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$DO=\frac{1}{2}BD=1.5$，且$AC⊥ BD$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$，
∵$BH⊥ AD$，菱形面积也可表示为$S=AD× BH$，
∴$2.5× BH=6$，
解得$BH=6÷2.5=2.4$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等面积法计算
【点评】
本题是典型的菱形相关计算问题，解题关键是熟练掌握菱形的性质，灵活运用菱形面积的两种计算方式建立等量关系，结合勾股定理求出边长后即可算出高，难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
8. 在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,-1),B(5,1),C(7,7),D(1,5)$,若一次函数$y=mx-5m+1(m≠0)$的图象将四边形$ABCD$分成面积比为$1:3$的两部分,则$m$的值为（
A.$-5$或$-\dfrac{1}{4}$
B.$-4$或$-\dfrac{1}{5}$
C.$-4$或$-\dfrac{1}{4}$
D.$-5$或$-\dfrac{1}{5}$
D
）A.$-5$或$-\dfrac{1}{4}$
B.$-4$或$-\dfrac{1}{5}$
C.$-4$或$-\dfrac{1}{4}$
D.$-5$或$-\dfrac{1}{5}$
答案
8. D
解析
【分析】
解题首先要先判断四边形ABCD的形状，通过计算对角线中点可发现它是平行四边形，对角线可将其分成面积相等的两部分；接着整理一次函数解析式，可发现该函数恒过点B(5,1)；要使直线将四边形面积分成1:3的两部分，说明较小部分面积是平行四边形总面积的1/4，即等于对角线分出的单个三角形面积的一半，因此直线只需经过AD边的中点或CD边的中点，最后将两个中点分别代入函数解析式即可求出m的两个取值。
【解析】
1. 判断四边形形状：
计算对角线中点：AC的中点为$(\dfrac{-1+7}{2},\dfrac{-1+7}{2})=(3,3)$，BD的中点为$(\dfrac{5+1}{2},\dfrac{1+5}{2})=(3,3)$，对角线互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形，对角线BD可将其分成面积相等的两部分，每部分面积为总面积的$\dfrac{1}{2}$。
2. 确定一次函数过定点：
整理解析式$y=mx-5m+1=m(x-5)+1$，当$x=5$时，$y=1$，因此该直线恒过点$B(5,1)$。
3. 分情况计算m的值：
要使直线分四边形面积为$1:3$，则较小部分面积为平行四边形总面积的$\dfrac{1}{4}$，即等于$△ ABD$或$△ BCD$面积的$\dfrac{1}{2}$，此时直线需经过AD中点或CD中点：
情况1：直线过AD中点：A(-1,-1)、D(1,5)的中点为$(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{-1+5}{2})=(0,2)$，代入解析式得：$2=m×0-5m+1$，解得$m=-\dfrac{1}{5}$。
情况2：直线过CD中点：C(7,7)、D(1,5)的中点为$(\dfrac{7+1}{2},\dfrac{7+5}{2})=(4,6)$，代入解析式得：$6=4m-5m+1$，解得$m=-5$。
综上，$m$的值为$-5$或$-\dfrac{1}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，一次函数的定点，中点坐标公式
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，解题核心是先找到一次函数的定点，再结合平行四边形的面积分割特征确定直线经过的特殊点，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题首先要先判断四边形ABCD的形状，通过计算对角线中点可发现它是平行四边形，对角线可将其分成面积相等的两部分；接着整理一次函数解析式，可发现该函数恒过点B(5,1)；要使直线将四边形面积分成1:3的两部分，说明较小部分面积是平行四边形总面积的1/4，即等于对角线分出的单个三角形面积的一半，因此直线只需经过AD边的中点或CD边的中点，最后将两个中点分别代入函数解析式即可求出m的两个取值。
【解析】
1. 判断四边形形状：
计算对角线中点：AC的中点为$(\dfrac{-1+7}{2},\dfrac{-1+7}{2})=(3,3)$，BD的中点为$(\dfrac{5+1}{2},\dfrac{1+5}{2})=(3,3)$，对角线互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形，对角线BD可将其分成面积相等的两部分，每部分面积为总面积的$\dfrac{1}{2}$。
2. 确定一次函数过定点：
整理解析式$y=mx-5m+1=m(x-5)+1$，当$x=5$时，$y=1$，因此该直线恒过点$B(5,1)$。
3. 分情况计算m的值：
要使直线分四边形面积为$1:3$，则较小部分面积为平行四边形总面积的$\dfrac{1}{4}$，即等于$△ ABD$或$△ BCD$面积的$\dfrac{1}{2}$，此时直线需经过AD中点或CD中点：
情况1：直线过AD中点：A(-1,-1)、D(1,5)的中点为$(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{-1+5}{2})=(0,2)$，代入解析式得：$2=m×0-5m+1$，解得$m=-\dfrac{1}{5}$。
情况2：直线过CD中点：C(7,7)、D(1,5)的中点为$(\dfrac{7+1}{2},\dfrac{7+5}{2})=(4,6)$，代入解析式得：$6=4m-5m+1$，解得$m=-5$。
综上，$m$的值为$-5$或$-\dfrac{1}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，一次函数的定点，中点坐标公式
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，解题核心是先找到一次函数的定点，再结合平行四边形的面积分割特征确定直线经过的特殊点，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
