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20. 如图,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$α$得到$△ ADE$,点$B$的对应点$D$落在边$BC$上,连接$CE$.
(1) 求证:$∠ CDE = α$.
(2) 若$AB // DE$,$BD = CD$,$CE = \sqrt{3}$,求$AB$的长.
(1) 求证:$∠ CDE = α$.
(2) 若$AB // DE$,$BD = CD$,$CE = \sqrt{3}$,求$AB$的长.
答案
20. (1) 证明: $\because$ 将 $△ ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ 得到 $△ ADE$,点 $B$ 的对应点 $D$ 落在边 $BC$ 上,$\therefore AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=α,∠ B=∠ ADE.\therefore ∠ B=∠ ADB.\because ∠ B+∠ ADB+∠ BAD=∠ ADB+∠ ADE+∠ CDE=180°,\therefore ∠ CDE=∠ BAD=α$.
(2) $\because AB// DE,\therefore ∠ B=∠ CDE=α,∠ BAD=∠ ADE=α$. 又由(1)知 $∠ B=∠ ADB$,$\therefore ∠ ADB=α.\because ∠ B+∠ BAD+∠ ADB=180°,\therefore ∠ B=∠ ADB=∠ BAD=∠ CAE=α=60°.\therefore △ ABD,△ ACE$ 是等边三角形.$\therefore ∠ ADB=∠ ACE=60°,AB=AD=BD$. 又 $BD=CD$,$\therefore AD=CD.\therefore ∠ DAC=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ADB=30°.\therefore ∠ DCE=∠ DCA+∠ ACE=90°$.设 $AB=x$,则 $CD=x,DE=BC=2x$.在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+CE^2=DE^2$,又 $CE=\sqrt{3}$,$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得 $x=1$ 或 $x=-1$(不合题意,舍去).$\therefore AB=1$.
(2) $\because AB// DE,\therefore ∠ B=∠ CDE=α,∠ BAD=∠ ADE=α$. 又由(1)知 $∠ B=∠ ADB$,$\therefore ∠ ADB=α.\because ∠ B+∠ BAD+∠ ADB=180°,\therefore ∠ B=∠ ADB=∠ BAD=∠ CAE=α=60°.\therefore △ ABD,△ ACE$ 是等边三角形.$\therefore ∠ ADB=∠ ACE=60°,AB=AD=BD$. 又 $BD=CD$,$\therefore AD=CD.\therefore ∠ DAC=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ADB=30°.\therefore ∠ DCE=∠ DCA+∠ ACE=90°$.设 $AB=x$,则 $CD=x,DE=BC=2x$.在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+CE^2=DE^2$,又 $CE=\sqrt{3}$,$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得 $x=1$ 或 $x=-1$(不合题意,舍去).$\therefore AB=1$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠CDE=α，首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等以及旋转角∠BAD=α，由AB=AD推出∠B=∠ADB，再结合三角形内角和与平角的定义，通过角的等量代换即可完成证明。
(2) 首先根据平行线的性质结合(1)的结论，推导得出△ABD的三个内角均为α，进而求出α=60°，判定△ABD和△ACE为等边三角形；再由BD=CD推出AD=CD，计算得到∠DCE=90°，最后设AB的长为x，在直角三角形CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 将 $△ ABC$ 绕点$A$逆时针旋转$α$得到$△ ADE$,点$B$的对应点$D$落在边$BC$上,
$\therefore AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=α,∠ B=∠ ADE$,
$\therefore ∠ B=∠ ADB$,
$\because ∠ B+∠ ADB+∠ BAD=180°,∠ ADB+∠ ADE+∠ CDE=180°$,
$\therefore ∠ CDE=∠ BAD=α$。
(2) 解：$\because AB// DE$,
$\therefore ∠ B=∠ CDE=α,∠ BAD=∠ ADE=α$,
又由(1)知 $∠ B=∠ ADB$,
$\therefore ∠ ADB=α$,
$\because ∠ B+∠ BAD+∠ ADB=180°$,
$\therefore ∠ B=∠ ADB=∠ BAD=∠ CAE=α=60°$,
$\therefore △ ABD,△ ACE$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACE=60°,AB=AD=BD$,
又 $BD=CD$,
$\therefore AD=CD$,
$\therefore ∠ DAC=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ADB=30°$,
$\therefore ∠ DCE=∠ DCA+∠ ACE=90°$,
设 $AB=x$,则 $CD=x,DE=BC=2x$,
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+CE^2=DE^2$,
又 $CE=\sqrt{3}$,
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,
解得 $x=1$ 或 $x=-1$(不合题意,舍去),
$\therefore AB=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $1$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形变换与特殊三角形、勾股定理的结合应用，解题核心是先通过旋转性质挖掘隐含的边角相等关系，再逐步推导得到特殊三角形，最后利用方程思想求解线段长度，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠CDE=α，首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等以及旋转角∠BAD=α，由AB=AD推出∠B=∠ADB，再结合三角形内角和与平角的定义，通过角的等量代换即可完成证明。
(2) 首先根据平行线的性质结合(1)的结论，推导得出△ABD的三个内角均为α，进而求出α=60°，判定△ABD和△ACE为等边三角形；再由BD=CD推出AD=CD，计算得到∠DCE=90°，最后设AB的长为x，在直角三角形CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 将 $△ ABC$ 绕点$A$逆时针旋转$α$得到$△ ADE$,点$B$的对应点$D$落在边$BC$上,
$\therefore AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=α,∠ B=∠ ADE$,
$\therefore ∠ B=∠ ADB$,
$\because ∠ B+∠ ADB+∠ BAD=180°,∠ ADB+∠ ADE+∠ CDE=180°$,
$\therefore ∠ CDE=∠ BAD=α$。
(2) 解：$\because AB// DE$,
$\therefore ∠ B=∠ CDE=α,∠ BAD=∠ ADE=α$,
又由(1)知 $∠ B=∠ ADB$,
$\therefore ∠ ADB=α$,
$\because ∠ B+∠ BAD+∠ ADB=180°$,
$\therefore ∠ B=∠ ADB=∠ BAD=∠ CAE=α=60°$,
$\therefore △ ABD,△ ACE$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACE=60°,AB=AD=BD$,
又 $BD=CD$,
$\therefore AD=CD$,
$\therefore ∠ DAC=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ADB=30°$,
$\therefore ∠ DCE=∠ DCA+∠ ACE=90°$,
设 $AB=x$,则 $CD=x,DE=BC=2x$,
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+CE^2=DE^2$,
又 $CE=\sqrt{3}$,
$\therefore x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,
解得 $x=1$ 或 $x=-1$(不合题意,舍去),
$\therefore AB=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $1$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形变换与特殊三角形、勾股定理的结合应用，解题核心是先通过旋转性质挖掘隐含的边角相等关系，再逐步推导得到特殊三角形，最后利用方程思想求解线段长度，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
21. 如图,某小区矩形绿地的长、宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.
(1) 若扩充后的矩形绿地面积为$800\ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地的长与宽.
(2) 若扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$,求新的矩形绿地面积.
(1) 若扩充后的矩形绿地面积为$800\ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地的长与宽.
(2) 若扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$,求新的矩形绿地面积.
答案
21. (1) 设将矩形绿地的长、宽均增加 $x$ m,则新的矩形绿地的长为 $(35+x)\mathrm{m}$,宽为 $(15+x)\mathrm{m}$.根据题意,得 $(35+x)(15+x)=800$.整理,得 $x^2+50x-275=0$,解得 $x_1=5,x_2=-55$(不合题意,舍去),$\therefore 35+x=35+5=40,15+x=15+5=20$.答:新的矩形绿地的长为 40 m,宽为 20 m.
(2) 设将绿地的长、宽均增加 $y$ m,则新的矩形绿地的长为 $(35+y)\mathrm{m}$,宽为 $(15+y)\mathrm{m}$.根据题意,得 $(35+y):(15+y)=5:3$,即 $3(35+y)=5(15+y)$,解得 $y=15$,$\therefore (35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1\ 500$.答:新的矩形绿地面积为 $1\ 500\ \mathrm{m}^2$.
(2) 设将绿地的长、宽均增加 $y$ m,则新的矩形绿地的长为 $(35+y)\mathrm{m}$,宽为 $(15+y)\mathrm{m}$.根据题意,得 $(35+y):(15+y)=5:3$,即 $3(35+y)=5(15+y)$,解得 $y=15$,$\therefore (35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1\ 500$.答:新的矩形绿地面积为 $1\ 500\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 要计算扩充后矩形的长和宽，先设长、宽增加的相同长度为$x$ m，可得新的长为$(35+x)\mathrm{m}$、宽为$(15+x)\mathrm{m}$，结合“矩形面积=长×宽”和已知扩充后面积为$800\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，注意增加的长度不能为负，需舍去负根，最后代入得到新的长和宽即可。
(2) 要计算扩充后的矩形面积，先设长、宽增加的相同长度为$y$ m，结合新长宽比为$5:3$列比例式，利用比例“内项积等于外项积”的性质求解$y$，再代入长、宽表达式相乘即可得到面积。
【解析】
(1) 设矩形绿地的长、宽均增加$x$ m，则新矩形绿地的长为$(35+x)\mathrm{m}$，宽为$(15+x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$(35+x)(15+x)=800$
整理得：
$x^2+50x-275=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-55$，由于增加的长度不能为负，$x_2=-55$不符合题意，舍去。
因此新的长为$35+5=40\ (\mathrm{m})$，新的宽为$15+5=20\ (\mathrm{m})$。
(2) 设矩形绿地的长、宽均增加$y$ m，则新矩形绿地的长为$(35+y)\mathrm{m}$，宽为$(15+y)\mathrm{m}$。
根据题意列比例式：
$(35+y):(15+y)=5:3$
由比例的基本性质得：
$3(35+y)=5(15+y)$
解得$y=15$。
新矩形的面积为：
$(35+15)×(15+15)=50×30=1500\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) 新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m；
(2) 新的矩形绿地面积为$1500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的方程类应用题，解题核心是找准等量关系正确设未知数列方程，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，舍去不符合要求的解，整体思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算扩充后矩形的长和宽，先设长、宽增加的相同长度为$x$ m，可得新的长为$(35+x)\mathrm{m}$、宽为$(15+x)\mathrm{m}$，结合“矩形面积=长×宽”和已知扩充后面积为$800\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，注意增加的长度不能为负，需舍去负根，最后代入得到新的长和宽即可。
(2) 要计算扩充后的矩形面积，先设长、宽增加的相同长度为$y$ m，结合新长宽比为$5:3$列比例式，利用比例“内项积等于外项积”的性质求解$y$，再代入长、宽表达式相乘即可得到面积。
【解析】
(1) 设矩形绿地的长、宽均增加$x$ m，则新矩形绿地的长为$(35+x)\mathrm{m}$，宽为$(15+x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$(35+x)(15+x)=800$
整理得：
$x^2+50x-275=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-55$，由于增加的长度不能为负，$x_2=-55$不符合题意，舍去。
因此新的长为$35+5=40\ (\mathrm{m})$，新的宽为$15+5=20\ (\mathrm{m})$。
(2) 设矩形绿地的长、宽均增加$y$ m，则新矩形绿地的长为$(35+y)\mathrm{m}$，宽为$(15+y)\mathrm{m}$。
根据题意列比例式：
$(35+y):(15+y)=5:3$
由比例的基本性质得：
$3(35+y)=5(15+y)$
解得$y=15$。
新矩形的面积为：
$(35+15)×(15+15)=50×30=1500\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) 新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m；
(2) 新的矩形绿地面积为$1500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的方程类应用题，解题核心是找准等量关系正确设未知数列方程，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，舍去不符合要求的解，整体思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
22. 某市从 2023 年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”.已知每年投入资金的增长率相同，2023 年投入资金 1 000 万元，2025 年投入资金1 440 万元.
（1）求该市改造小区投入资金的年增长率.
（2）2025 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，2026 年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2026 年最多可以改造多少个小区.
（1）求该市改造小区投入资金的年增长率.
（2）2025 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，2026 年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2026 年最多可以改造多少个小区.
答案
22. (1) 设该市政改造小区投入资金的年增长率为 $x$.根据题意,得 $1\ 000(1+x)^2=1\ 440$,解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(不合题意,舍去).答:该市政改造小区投入资金的年增长率为 $20\%$.
(2) 设该市在 2026 年可以改造 $y$ 个小区.根据题意,得 $80×(1+20\%)y≤ 1\ 440×(1+20\%)$,解得 $y≤ 18$.又$\because y$ 为整数,$\therefore y$ 的最大值为 18.答:该市在 2026 年最多可以改造 18 个小区.
(2) 设该市在 2026 年可以改造 $y$ 个小区.根据题意,得 $80×(1+20\%)y≤ 1\ 440×(1+20\%)$,解得 $y≤ 18$.又$\because y$ 为整数,$\therefore y$ 的最大值为 18.答:该市在 2026 年最多可以改造 18 个小区.
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率类应用题，解题思路清晰：首先牢记增长率问题核心等量关系：最终量=初始量×(1+年增长率)^间隔年数。本题中2023年投入的1000万元是初始量，2025年投入的1440万元是间隔2年后的最终量，设年增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到正确的年增长率。
（2）第二问是不等式的实际应用，解题思路为：先分别计算出2026年的总投入资金、2026年单个小区的改造费用，再根据“改造所有小区的总花费≤2026年总投入资金”的不等关系列不等式，结合小区个数为正整数的实际限制，取最大的整数解就是最多可改造的小区数量。
【解析】
（1）设该市改造小区投入资金的年增长率为$x$，根据题意列方程：
$1000(1+x)^2=1440$
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（年增长率不能为负，不符合实际，舍去）
（2）设该市2026年可以改造$y$个小区，
2026年单个小区改造费用为：$80×(1+20\%)=96$（万元）
2026年总投入资金为：$1440×(1+20\%)=1728$（万元）
根据总花费不超过总投入列不等式：
$96y≤1728$
解得$y≤18$
由于$y$为小区个数，必须是正整数，因此$y$的最大值为18。
【答案】
（1）该市改造小区投入资金的年增长率为20%；
（2）该市2026年最多可以改造18个小区。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题的解的取舍
【点评】
本题结合民生热点场景出题，贴近现实生活，主要考察方程与不等式在实际问题中的应用，解题时需要注意结合现实意义对解进行筛选，避免出现负增长率、非整数的小区个数这类不符合实际的结果，整体计算量小，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.75
（1）第一问属于增长率类应用题，解题思路清晰：首先牢记增长率问题核心等量关系：最终量=初始量×(1+年增长率)^间隔年数。本题中2023年投入的1000万元是初始量，2025年投入的1440万元是间隔2年后的最终量，设年增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到正确的年增长率。
（2）第二问是不等式的实际应用，解题思路为：先分别计算出2026年的总投入资金、2026年单个小区的改造费用，再根据“改造所有小区的总花费≤2026年总投入资金”的不等关系列不等式，结合小区个数为正整数的实际限制，取最大的整数解就是最多可改造的小区数量。
【解析】
（1）设该市改造小区投入资金的年增长率为$x$，根据题意列方程：
$1000(1+x)^2=1440$
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（年增长率不能为负，不符合实际，舍去）
（2）设该市2026年可以改造$y$个小区，
2026年单个小区改造费用为：$80×(1+20\%)=96$（万元）
2026年总投入资金为：$1440×(1+20\%)=1728$（万元）
根据总花费不超过总投入列不等式：
$96y≤1728$
解得$y≤18$
由于$y$为小区个数，必须是正整数，因此$y$的最大值为18。
【答案】
（1）该市改造小区投入资金的年增长率为20%；
（2）该市2026年最多可以改造18个小区。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题的解的取舍
【点评】
本题结合民生热点场景出题，贴近现实生活，主要考察方程与不等式在实际问题中的应用，解题时需要注意结合现实意义对解进行筛选，避免出现负增长率、非整数的小区个数这类不符合实际的结果，整体计算量小，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.75
