一、选择题
1. 下列等式从左边至右边的变形中,属于因式分解的是 （）

A.$x^2 + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
B.$x^2 - 4 + 3x = (x + 2)(x - 2) + 3x$
C.$24xy^2 = 3x · 8y^2$
D.$x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2 = (x + \frac{1}{2}y)^2$

1.D

2. 下列多项式中,没有公因式的是
()

A.$a(m+n)$和$(m+n)$
B.$32(x+y)$和$(-x+y)$
C.$3b(x-y)$和$2(x-y)$
D.$(3a-3b)$和$6(b-a)$

2.B

3. 下列各式能用公式法分解因式的是 （）

A.$x^2 - (-y^2)$
B.$4x^2 + 2xy + y^2$
C.$-x^2 + 4y^2$
D.$x^2 - 2xy - y^2$

3.C

4. 小明把多项式$2x^2 - 13x + n$分解因式，有一个因式是$(x - 5)$，则$n$的值为 （）

A.15
B.40
C.$-40$
D.$-15$

4.A

5. $(-2)^{2024} + (-2)^{2025}$计算后的结果是 （）

A.$2^{2024}$
B.$-2$
C.$-2^{2024}$
D.$-1$

5.C

6. 若多项式$4x^2 - axy + y^2$可用完全平方公式进行因式分解，则$a$的值为（）

A.4
B.$\pm 2$
C.2
D.$\pm 4$

6.D

7. 如果 $14^{4} - 1$ 能被 $n$ 整除，那么 $n$ 的值不可能是 （）

A.5
B.13
C.14
D.15

7.C

8. 我们知道,任意一个正整数 $ n $ 都可以进行这样的分解:$ n = p × q $（$ p,q $ 是正整数,且 $ p ≤ q $）,在 $ n $ 的所有这种分解中,如果 $ p,q $ 两因数之差的绝对值最小,我们就称 $ p × q $ 是 $ n $ 的最佳分解,并规定:$ F(n) = \frac{p}{q} $。例如:12 可以分解成 $ 1 × 12,2 × 6 $ 或 $ 3 × 4 $,因为 $ 12 - 1 ＞ 6 - 2 ＞ 4 - 3 $,所以 $ 3 × 4 $ 是 12 的最佳分解,所以 $ F(12) = \frac{3}{4} $。如果一个两位正整数 $ t, t = 10x + y $（$ 1 ≤ x ≤ y ≤ 9,x,y $ 为自然数）,交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36,那么我们称这个数 $ t $ 为“吉祥数”。根据以上新定义,下列说法正确的有（）
(1) $ F(48) = \frac{3}{4} $;(2) 15 和 26 是“吉祥数”;(3) “吉祥数”中,$ F(t) $ 的最大值为 $ \frac{3}{4} $;(4) 如果一个正整数 $ m $ 是另外一个正整数 $ n $ 的平方,我们称正整数 $ m $ 是完全平方数,那么对任意一个完全平方数 $ m $,总有 $ F(m) = 1 $。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

8.D