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【学以致用3】设$ab＞0$，则“$a＞b$”是“$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”的（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
C 充分性：若$a＞b$，则$b-a＜0$，所以$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}＜0$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，故充分性成立。
必要性：若$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，则两边同时乘$ab$，得$b＜a$，故必要性成立。
所以当$ab＞0$时，“$a＞b$”是“$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”的充要条件。
必要性：若$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，则两边同时乘$ab$，得$b＜a$，故必要性成立。
所以当$ab＞0$时，“$a＞b$”是“$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”的充要条件。
【学以致用4】“$x^2+(y-2)^2=0$”是“$x(y-2)=0$”的 （
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
）A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
B 充分性：由$x^2+(y-2)^2=0$，解得$x=0$且$y=2$，所以$x(y-2)=0$，故充分性成立。
必要性：由$x(y-2)=0$，解得$x=0$或$y=2$，此时$x^2+(y-2)^2=0$不一定成立。
所以“$x^2+(y-2)^2=0$”是“$x(y-2)=0$”的充分不必要条件。
必要性：由$x(y-2)=0$，解得$x=0$或$y=2$，此时$x^2+(y-2)^2=0$不一定成立。
所以“$x^2+(y-2)^2=0$”是“$x(y-2)=0$”的充分不必要条件。
【学以致用5】若集合$A=\{x|-2≤ x≤3\}$，集合$B=\{x|0≤ x≤2\}$，则“$x\in A$”是“$x\in B$”的
（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（
B
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
B 因为$A=\{x|-2≤ x≤3\},B=\{x|0≤ x≤2\}$，所以$B⊂neqq A$，
所以“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件。
所以“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件。
【典例1】下列各题中，p是q的什么条件？
(1)在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$，$p:a^2 = b^2 + c^2$，$q:△ ABC$是直角三角形；
(2)$p:\sqrt{x+1} ≤ 2$，$q:|x-1| ＜ 2$；
(3)$p$是$r$的充要条件，$q$是$r$的必要条件，$s$是$r$的充分条件，$q$是$s$的充分条件；
(4)$p:a ＞ b$，$q:a^2 ＞ b^2$.
解题指导 分别判断$p$能否推出$q$和$q$能否推出$p$.
直角不一定是$∠ A$.
答案 解：(1)在$△ ABC$中，因为$a^2 = b^2 + c^2 ⇒ ∠ A = 90° ⇒ △ ABC$是直角三角形，但$△ ABC$是直角三角形$\nRightarrow a^2 = b^2 + c^2$，所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(2)解不等式$\sqrt{x+1} ≤ 2$，即$\begin{cases} x+1 ≥ 0, \\ x+1 ≤ 4, \end{cases}$得$-1 ≤ x ≤ 3$；
解不等式$|x-1| ＜ 2$，即$-2 ＜ x-1 ＜ 2$，得$-1 ＜ x ＜ 3$.
因为$\{x ∣ -1 ＜ x ＜ 3\} ⊂neqq \{x ∣ -1 ≤ x ≤ 3\}$，所以$p$是$q$的必要不充分条件.
(3)根据题意画图，如图所示.由图可知，①$p ⇒ r ⇒ q$，②$q ⇒ s ⇒ r ⇒ p$，所以$p ⇔ q$，$p$是$q$的充要条件.
(4)令$a=1,b=-1$，则$a ＞ b$，但不满足$a^2 ＞ b^2$.
令$a=-1,b=0$，则$a^2 ＞ b^2$，但不满足$a ＞ b$，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
▶方法总结
判断充分条件、必要条件、充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若$p$，则$q$”以及“若$q$，则$p$”的真假.
(2)集合法：详见本节“知识点5”表格.
(3)传递法：若问题中出现多个条件和结论，则根据由条件画出的用符号“$⇒$”表示的示意图进行判断.
(4)赋值法：适用于举反例，可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)的情况，但不适用于证明题.
初高衔接
解含有绝对值的不等式：
(1)在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$，$p:a^2 = b^2 + c^2$，$q:△ ABC$是直角三角形；
(2)$p:\sqrt{x+1} ≤ 2$，$q:|x-1| ＜ 2$；
(3)$p$是$r$的充要条件，$q$是$r$的必要条件，$s$是$r$的充分条件，$q$是$s$的充分条件；
(4)$p:a ＞ b$，$q:a^2 ＞ b^2$.
解题指导 分别判断$p$能否推出$q$和$q$能否推出$p$.
直角不一定是$∠ A$.
答案 解：(1)在$△ ABC$中，因为$a^2 = b^2 + c^2 ⇒ ∠ A = 90° ⇒ △ ABC$是直角三角形，但$△ ABC$是直角三角形$\nRightarrow a^2 = b^2 + c^2$，所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(2)解不等式$\sqrt{x+1} ≤ 2$，即$\begin{cases} x+1 ≥ 0, \\ x+1 ≤ 4, \end{cases}$得$-1 ≤ x ≤ 3$；
解不等式$|x-1| ＜ 2$，即$-2 ＜ x-1 ＜ 2$，得$-1 ＜ x ＜ 3$.
因为$\{x ∣ -1 ＜ x ＜ 3\} ⊂neqq \{x ∣ -1 ≤ x ≤ 3\}$，所以$p$是$q$的必要不充分条件.
(3)根据题意画图，如图所示.由图可知，①$p ⇒ r ⇒ q$，②$q ⇒ s ⇒ r ⇒ p$，所以$p ⇔ q$，$p$是$q$的充要条件.
(4)令$a=1,b=-1$，则$a ＞ b$，但不满足$a^2 ＞ b^2$.
令$a=-1,b=0$，则$a^2 ＞ b^2$，但不满足$a ＞ b$，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
▶方法总结
判断充分条件、必要条件、充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若$p$，则$q$”以及“若$q$，则$p$”的真假.
(2)集合法：详见本节“知识点5”表格.
(3)传递法：若问题中出现多个条件和结论，则根据由条件画出的用符号“$⇒$”表示的示意图进行判断.
(4)赋值法：适用于举反例，可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)的情况，但不适用于证明题.
初高衔接
解含有绝对值的不等式：
答案
解：
(1) 在$△ ABC$中，
由$a^2 = b^2 + c^2$可推出$∠ A = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形，故$p\implies q$；
但$△ ABC$是直角三角形时，直角不一定是$∠ A$，无法推出$a^2 = b^2 + c^2$，即$q\nRightarrow p$，
因此$p$是$q$的充分不必要条件。
(2) 解不等式$\sqrt{x+1}\le 2$，
即$\begin{cases}x+1\ge0 \\ x+1\le4\end{cases}$，解得$-1\le x\le3$，即$p$对应的集合为$\{x∣ -1\le x\le3\}$；
解不等式$|x-1|＜2$，即$-2＜x-1＜2$，解得$-1＜x＜3$，即$q$对应的集合为$\{x∣ -1＜x＜3\}$。
由于$\{x∣ -1＜x＜3\}⊂neqq\{x∣ -1\le x\le3\}$，即$q\implies p$，但$p\nRightarrow q$，
因此$p$是$q$的必要不充分条件。
(3) 由已知条件可得：
$p\iff r$，$r\implies q$，$s\implies r$，$q\implies s$，
因此可推出$p\implies r\implies q$，同时$q\implies s\implies r\implies p$，即$p\iff q$，
因此$p$是$q$的充要条件。
(4) 取$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=1$，不满足$a^2＞b^2$，故$p\nRightarrow q$；
取$a=-1$，$b=0$，满足$a^2＞b^2$，但$a＜b$，不满足$a＞b$，故$q\nRightarrow p$，
因此$p$是$q$的既不充分也不必要条件。
(1) 在$△ ABC$中，
由$a^2 = b^2 + c^2$可推出$∠ A = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形，故$p\implies q$；
但$△ ABC$是直角三角形时，直角不一定是$∠ A$，无法推出$a^2 = b^2 + c^2$，即$q\nRightarrow p$，
因此$p$是$q$的充分不必要条件。
(2) 解不等式$\sqrt{x+1}\le 2$，
即$\begin{cases}x+1\ge0 \\ x+1\le4\end{cases}$，解得$-1\le x\le3$，即$p$对应的集合为$\{x∣ -1\le x\le3\}$；
解不等式$|x-1|＜2$，即$-2＜x-1＜2$，解得$-1＜x＜3$，即$q$对应的集合为$\{x∣ -1＜x＜3\}$。
由于$\{x∣ -1＜x＜3\}⊂neqq\{x∣ -1\le x\le3\}$，即$q\implies p$，但$p\nRightarrow q$，
因此$p$是$q$的必要不充分条件。
(3) 由已知条件可得：
$p\iff r$，$r\implies q$，$s\implies r$，$q\implies s$，
因此可推出$p\implies r\implies q$，同时$q\implies s\implies r\implies p$，即$p\iff q$，
因此$p$是$q$的充要条件。
(4) 取$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=1$，不满足$a^2＞b^2$，故$p\nRightarrow q$；
取$a=-1$，$b=0$，满足$a^2＞b^2$，但$a＜b$，不满足$a＞b$，故$q\nRightarrow p$，
因此$p$是$q$的既不充分也不必要条件。
