【变式1】已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，q是s的充分条件，r是s的必要条件.
回答下列问题：
(1)p是r的条件；
(2)s是q的条件；
(3)p，q，r，s中互为充要条件的是.

(1)充分 (2)充要 (3)q与s，s与r，r与q 由题可知，$p⇒ q,r⇒ q,q⇒ s,s⇒ r$。作出“$⇒$”图，
(1)因为$p⇒ q⇒ s⇒ r$，且r能否推出p未知，所以p是r的充分条件。
(2)因为$s⇒ r⇒ q,q⇒ s$，所以s是q的充要条件。
(3)共有三对互为充要条件：①$q⇔ s$；②$s⇔ r$；③$r⇔ q$。

【典例2】(1)“$a＞5$”的一个必要条件是（）

$\boldsymbol{a＞4}$

解：
根据必要条件的定义：若条件$p$成立可以推出条件$q$成立，则$q$是$p$的必要条件。
令$p: a＞5$，我们需要找到满足$p \implies q$的条件$q$。
当$a＞5$时，必有$a＞4$，因此“$a＞4$”是“$a＞5$”的一个必要条件。
最终

(2)若$a$是实数,则使得不等式$\frac{1}{a}＞5$成立的一个充分条件是 （）
A.$a＞5$
B.$a＜-1$
C.$0＜a＜\frac{1}{7}$
D.$-5＜a＜\frac{1}{5}$
解题指导 (1)根据必要条件的定义,知所求不等式的范围应该包含“$a＞5$”.
(2)第1步:解不等式$\frac{1}{a}＞5$,得出$a$的范围对应的集合.
第2步:根据充分条件的定义,知正确选项中的不等式所对应的集合应为上述集合的一个子集.
解析 (1)“$a＞5$”的必要条件对应的不等式的范围应包含“$a＞5$”,选项中仅有$a＞3$满足.
(2)由$\frac{1}{a}＞5$,得$0＜a＜\frac{1}{5}$.
根据题意,得正确选项中的不等式所对应的集合应该是$\{a|0＜a＜\frac{1}{5}\}$的一个子集,显然A,B,D中的不等式对应的集合不满足要求,而$0＜a＜\frac{1}{7}$对应的集合$\{a|0＜a＜\frac{1}{7}\}⊆\{a|0＜a＜\frac{1}{5}\}$,符合题意.
答案 (1)D (2)C

C

解：
解不等式$\frac{1}{a} ＞ 5$：
移项得$\frac{1}{a} - 5 ＞ 0$，通分后得$\frac{1-5a}{a} ＞ 0$，该不等式等价于$a(1-5a) ＞ 0$，即$a(5a-1) ＜ 0$，
解得$0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}$，即不等式$\frac{1}{a}＞5$的解集为$\{a∣ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}\}$。
根据充分条件的定义，若要找使得$\frac{1}{a}＞5$成立的充分条件，对应条件的集合必须是$\{a∣ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}\}$的子集：
选项A：$a＞5$对应的集合不是上述集合的子集，不符合要求；
选项B：$a＜-1$对应的集合不是上述集合的子集，不符合要求；
选项C：$0 ＜ a ＜ \frac{1}{7}$对应的集合$\{a∣ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{7}\} ⊂neqq \{a∣ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}\}$，是上述集合的真子集，符合要求；
选项D：$-5 ＜ a ＜ \frac{1}{5}$对应的集合不是上述集合的子集，不符合要求。