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1.下列与集合$\{x|x^2 - 2026x + 2025 = 0\}$表示同一个集合的是（
A.$\{(2025,1)\}$
B.$\{(x,y)|x=2025,y=1\}$
C.$\{2025,1\}$
D.$\{x=2025,y=1\}$
C
）A.$\{(2025,1)\}$
B.$\{(x,y)|x=2025,y=1\}$
C.$\{2025,1\}$
D.$\{x=2025,y=1\}$
答案
1.C 集合$\{x|x^2 - 2026x + 2025 = 0\}=\{x|(x-1)(x-2025)=0\}=\{2025,1\}$,所以与集合$\{x|x^2 - 2026x + 2025 = 0\}$表示同一个集合的是$\{2025,1\}$.(注意A选项表示点的集合)
2.(北京卷)(一题多解)若$xy≠0$，则“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
2.(一题多解)C 方法1:充分性:因为$xy≠0$,且$x+y=0$,所以$x=-y$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{-y}{y}+\frac{y}{-y}=-1-1=-2$,所以充分性成立.
必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,所以$x^2+y^2=-2xy$,即$(x+y)^2=0$,所以$x+y=0$,所以必要性成立.
综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.
方法2:充分性:因为$xy≠0$,且$x+y=0$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2+y^2+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{-2xy}{xy}=-2$,所以充分性成立.
必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2+y^2+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}-2=-2$,所以$\frac{(x+y)^2}{xy}=0$,即$x+y=0$,所以必要性成立.
综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.
必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,所以$x^2+y^2=-2xy$,即$(x+y)^2=0$,所以$x+y=0$,所以必要性成立.
综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.
方法2:充分性:因为$xy≠0$,且$x+y=0$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2+y^2+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{-2xy}{xy}=-2$,所以充分性成立.
必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2+y^2+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}-2=-2$,所以$\frac{(x+y)^2}{xy}=0$,即$x+y=0$,所以必要性成立.
综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.
3.已知集合$U=\{x|x$是不大于5的自然数$\}$，$A=\{2,3,4\},B=\{x|-2≤ x＜2,x\in\mathbb{Z}\}$，则$(\complement_U A)∩ B=$（
A.$\{-2,-1,1\}$
B.$\{1\}$
C.$\{-2,-1,0,1\}$
D.$\{0,1\}$
D
）A.$\{-2,-1,1\}$
B.$\{1\}$
C.$\{-2,-1,0,1\}$
D.$\{0,1\}$
答案
3.D 根据题意可知,$U=\{0,1,2,3,4,5\}$.因为$A=\{2,3,4\}$,所以$\complement_U A=\{0,1,5\}$.易知$B=\{x|-2≤x＜2,x\in\mathbb{Z}\}=\{-2,-1,0,1\}$,所以$(\complement_U A)∩ B=\{0,1\}$.
4.设全集$U=\{2,3,m^2+m-4\}$，集合$A=\{m,2\}$。若$\complement_U A=\{3\}$，则$m=$（
A.$-2$
B.$2$
C.$\pm2$
D.$-4$
A
）A.$-2$
B.$2$
C.$\pm2$
D.$-4$
答案
4.A 因为$U=\{2,3,m^2+m-4\}$,集合$A=\{m,2\}$,$\complement_U A=\{3\}$,所以$m=m^2+m-4$,解得$m=±2$.
当$m=2$时,不满足集合间元素的互异性,故舍去;
当$m=-2$时,集合$A=\{-2,2\}$,$U=\{2,3,-2\}$,$\complement_U A=\{3\}$,符合题意.
综上所述,$m=-2$.
当$m=2$时,不满足集合间元素的互异性,故舍去;
当$m=-2$时,集合$A=\{-2,2\}$,$U=\{2,3,-2\}$,$\complement_U A=\{3\}$,符合题意.
综上所述,$m=-2$.
5.已知集合$A=\{0,1,2\}$，则集合$B=\{xy ∣ x\in A,y\in A\}$中的元素个数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
5.B 因为集合$A=\{0,1,2\}$,$B=\{xy|x\in A,y\in A\}$,分类讨论:
当$x=0$时,$xy=0$;当$x=1$时,$xy$的取值为0,1,2;当$x=2$时,$xy$的取值为0,2,4.综上,$B=\{xy|x\in A,y\in A\}=\{0,1,2,4\}$,所以集合$B$中的元素个数是4.
当$x=0$时,$xy=0$;当$x=1$时,$xy$的取值为0,1,2;当$x=2$时,$xy$的取值为0,2,4.综上,$B=\{xy|x\in A,y\in A\}=\{0,1,2,4\}$,所以集合$B$中的元素个数是4.
6.已知集合$A=\{0,1,a^2\},B=\{1,0,2a+3\}$。
若$A=B$,则$a=$ （
A.$-1$或$3$
B.$0$或$-1$
C.$-1$
D.$3$
若$A=B$,则$a=$ （
D
）A.$-1$或$3$
B.$0$或$-1$
C.$-1$
D.$3$
答案
6.D 因为$A=\{0,1,a^2\}$,$B=\{1,0,2a+3\}$,且$A=B$,所以$a^2=2a+3$,解得$a=-1$或$a=3$.当$a=-1$时,$a^2=2a+3=1$,不满足集合中元素之间的互异性,故舍去;当$a=3$时,$A=\{0,1,9\}$,$B=\{1,0,9\}$,符合题意.
7.下列不能表示图中阴影部分的集合为（
A.$B\cup (\complement_U A)$
B.$A∩ (\complement_U B)$
C.$\complement_A (A∩ B)$
D.$\complement_{(A\cup B)} B$
A
）A.$B\cup (\complement_U A)$
B.$A∩ (\complement_U B)$
C.$\complement_A (A∩ B)$
D.$\complement_{(A\cup B)} B$
答案
7.A 表示题图中阴影部分的集合为$A∩ (\complement_U B)$,$\complement_A(A∩ B)$,$\complement_{(A\cup B)} B$.而$B\cup (\complement_U A)$表示的是题图中非阴影部分,故A错误,符合题意.
8.已知集合$A=\{x|0＜x＜a\}, B=\{x|1＜x＜2\}$，若A为非空集合，且$B⊆ (\complement_\mathbb{R}A)$，则a的值可以是（
A.1
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
ACD
）A.1
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
8.ACD 因为$A=\{x|0＜x＜a\}$,且$A$为非空集合,所以$\complement_\mathbb{R}A=\{x|x≤0,或x≥a\}$,且$a＞0$.因为$B=\{x|1＜x＜2\}$,$B⊆ (\complement_\mathbb{R}A)$,所以$a≤1$.综上,$0＜a≤1$,故A,C,D正确,B错误.
9.已知集合$A=\{x|-1＜x≤3\}$，集合$B=\{x||x|≤2\}$，则下列关系式正确的是（
A.$A∩ B=∅$
B.$A\cup(\complement_{\mathbf{R}}B)=\{x|x≤-1或x＞2\}$
C.$A\cup B=\{x|-2≤ x≤3\}$
D.$A∩(\complement_{\mathbf{R}}B)=\{x|2＜x≤3\}$
CD
）A.$A∩ B=∅$
B.$A\cup(\complement_{\mathbf{R}}B)=\{x|x≤-1或x＞2\}$
C.$A\cup B=\{x|-2≤ x≤3\}$
D.$A∩(\complement_{\mathbf{R}}B)=\{x|2＜x≤3\}$
答案
9.CD 因为$A=\{x|-1＜x≤3\}$,$B=\{x||x|≤2\}=\{x|-2≤x≤2\}$,所以$A∩ B=\{x|-1＜x≤2\}$,故A错误;$A\cup B=\{x|-2≤x≤3\}$,故C正确;因为$\complement_\mathbb{R}B=\{x|x＜-2,或x＞2\}$,所以$A\cup (\complement_\mathbb{R}B)=\{x|x＜-2,或x＞-1\}$,故B错误;$A∩ (\complement_\mathbb{R}B)=\{x|2＜x≤3\}$,故D正确.
10.若“$x≤5$”是“$x ＜ a$”的必要不充分条件，则实数$a$的取值范围是
$\{a|a≤5\}$
。答案
10.$\{a|a≤5\}$ 若“$x≤5$”是“$x＜a$”的必要不充分条件,则$\{x|x＜a\}⊂neqq\{x|x≤5\}$,所以$a≤5$,即实数$a$的取值范围是$\{a|a≤5\}$.
11.设集合$A=\{-1,0\}$，集合$B=\{x\in\mathbf{N}|0≤ x＜a\}$，若$B$中恰有2个元素，且定义$A*B=\{(x,y)|x\in(A∩ B),y\in(A\cup B)\}$，则$A*B$的子集的个数是________.
答案
11.8 因为集合$B=\{x\in\mathbf{N}|0≤x＜a\}$,且$B$中恰有2个元素,所以$B=\{0,1\}$.因为$A=\{-1,0\}$,所以$A∩ B=\{0\}$,$A\cup B=\{-1,0,1\}$.又因为$A*B=\{(x,y)|x\in(A∩ B),y\in(A\cup B)\}$,所以$A*B=\{(0,-1),(0,0),(0,1)\}$,所以$A*B$的子集的个数是$2^3=8$.
12.设全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x ∣ 0＜x＜\frac{1}{2}\}$,
$B=\{x ∣ a x-1＞0\}$.
(1)当 $a=1$ 时,求 $A \cup B, \complement_U A$;
(2)若 $B ⊆(\complement_U A)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
$B=\{x ∣ a x-1＞0\}$.
(1)当 $a=1$ 时,求 $A \cup B, \complement_U A$;
(2)若 $B ⊆(\complement_U A)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
答案
12.解:(1)当$a=1$时,$B=\{x|x-1＞0\}=\{x|x＞1\}$.因为$A=\{x∣ 0＜x＜\frac{1}{2}\}$,所以$A\cup B=\{x∣ 0＜x＜\frac{1}{2},或x＞1\}$,$\complement_U A=\{x∣ x≤0,或x≥\frac{1}{2}\}$.
(2)因为$B⊆ (\complement_U A)$,所以$B=∅$或$B≠∅$当$a＞0$时,$B=\{x∣ x＞\frac{1}{a}\}$,所以$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$,解得$0＜a≤2$;
当$a=0$时,$B=∅$,符合题意;
当$a＜0$时,$B=\{x∣ x＜\frac{1}{a}\}$,所以$\frac{1}{a}≤0$,解得$a＜0$.
综上所述,实数$a$的取值范围是$\{a|a≤2\}$.
(2)因为$B⊆ (\complement_U A)$,所以$B=∅$或$B≠∅$当$a＞0$时,$B=\{x∣ x＞\frac{1}{a}\}$,所以$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$,解得$0＜a≤2$;
当$a=0$时,$B=∅$,符合题意;
当$a＜0$时,$B=\{x∣ x＜\frac{1}{a}\}$,所以$\frac{1}{a}≤0$,解得$a＜0$.
综上所述,实数$a$的取值范围是$\{a|a≤2\}$.
