1. 下列运算正确的是 (
A.$2a + a^2 = 2a^3$
B.$6a^2b ÷ a = 6b$
C.$(ab)^7 = a^7b^7$
D.$\sqrt{19} - \sqrt{6} = \sqrt{13}$
C
)A.$2a + a^2 = 2a^3$
B.$6a^2b ÷ a = 6b$
C.$(ab)^7 = a^7b^7$
D.$\sqrt{19} - \sqrt{6} = \sqrt{13}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查整式运算、积的乘方、二次根式运算的相关知识,解题思路为逐个分析每个选项,结合对应运算法则判断运算是否正确,排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆各类运算的规则:只有同类项/同类二次根式才能合并,单项式除法要分别对系数、同底数幂做运算,积的乘方要给每个因式分别乘方,再依据规则逐一验证即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证:
选项A:$2a$和$a^2$所含字母相同但相同字母的指数不同,不是同类项,无法合并,因此该运算错误。
选项B:单项式除以单项式时,系数、同底数幂分别相除,可得$6a^2b÷ a=6×(a^2÷ a)× b=6ab$,并非$6b$,因此该运算错误。
选项C:根据积的乘方法则,积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,因此$(ab)^7=a^7b^7$,该运算正确。
选项D:$\sqrt{19}$和$\sqrt{6}$是被开方数不同的二次根式,不是同类二次根式,不能直接合并相减,且计算近似值可知$\sqrt{19}-\sqrt{6}\approx1.91$,$\sqrt{13}\approx3.61$,二者不相等,因此该运算错误。
综上,只有选项C的运算正确。
【答案】
C
【知识点】
整式的运算;积的乘方;二次根式的运算
【点评】
本题属于基础运算类考题,核心考查对基本运算法则的掌握和辨析能力,解题时需注意只有同类项、同类二次根式才能合并,熟记各类基础运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查整式运算、积的乘方、二次根式运算的相关知识,解题思路为逐个分析每个选项,结合对应运算法则判断运算是否正确,排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆各类运算的规则:只有同类项/同类二次根式才能合并,单项式除法要分别对系数、同底数幂做运算,积的乘方要给每个因式分别乘方,再依据规则逐一验证即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证:
选项A:$2a$和$a^2$所含字母相同但相同字母的指数不同,不是同类项,无法合并,因此该运算错误。
选项B:单项式除以单项式时,系数、同底数幂分别相除,可得$6a^2b÷ a=6×(a^2÷ a)× b=6ab$,并非$6b$,因此该运算错误。
选项C:根据积的乘方法则,积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,因此$(ab)^7=a^7b^7$,该运算正确。
选项D:$\sqrt{19}$和$\sqrt{6}$是被开方数不同的二次根式,不是同类二次根式,不能直接合并相减,且计算近似值可知$\sqrt{19}-\sqrt{6}\approx1.91$,$\sqrt{13}\approx3.61$,二者不相等,因此该运算错误。
综上,只有选项C的运算正确。
【答案】
C
【知识点】
整式的运算;积的乘方;二次根式的运算
【点评】
本题属于基础运算类考题,核心考查对基本运算法则的掌握和辨析能力,解题时需注意只有同类项、同类二次根式才能合并,熟记各类基础运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
2.有一组数据:1,2,3,3,4,5.在这组数据中加入一个整数a,则一定不变的是 (
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
B
)A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆平均数、中位数、众数、方差四个统计量的定义和计算方法,先计算原数据的各统计量,再通过举反例逐一验证加入整数a后各统计量是否变化,排除会发生变化的选项即可得到正确答案。
【解析】
原数据为1,2,3,3,4,5,共6个数据:
1. 验证选项A(平均数):原平均数为$\frac{1+2+3+3+4+5}{6}=3$,加入整数a后,平均数变为$\frac{18+a}{7}$,当a取不同值时平均数会变化,比如a=0时平均数为$\frac{18}{7}≠3$,故A不符合要求。
2. 验证选项C(众数):原众数为3(出现次数最多,共2次),若加入a=2,此时2和3都出现2次,众数变为2和3,发生了变化,故C不符合要求。
3. 验证选项D(方差):方差反映数据的波动程度,加入不同的a数据波动情况会改变,比如加入a=100时,数据波动明显变大,方差改变,故D不符合要求。
4. 验证选项B(中位数):原数据排序后中间两个数都是3,原中位数为3。加入a后共7个数据,排序后中位数是第4个数据:若a≤3,排序后第4个数据仍为3;若a≥3,排序后第4个数据也为3,因此无论a取什么整数,中位数始终为3,一定不变。
综上,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的定义;众数的定义;平均数的计算
【点评】
本题考查对常用统计量含义的理解,解题时可通过举反例快速排除错误选项,需注意计算中位数前要先将数据按大小顺序排列。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平均数、中位数、众数、方差四个统计量的定义和计算方法,先计算原数据的各统计量,再通过举反例逐一验证加入整数a后各统计量是否变化,排除会发生变化的选项即可得到正确答案。
【解析】
原数据为1,2,3,3,4,5,共6个数据:
1. 验证选项A(平均数):原平均数为$\frac{1+2+3+3+4+5}{6}=3$,加入整数a后,平均数变为$\frac{18+a}{7}$,当a取不同值时平均数会变化,比如a=0时平均数为$\frac{18}{7}≠3$,故A不符合要求。
2. 验证选项C(众数):原众数为3(出现次数最多,共2次),若加入a=2,此时2和3都出现2次,众数变为2和3,发生了变化,故C不符合要求。
3. 验证选项D(方差):方差反映数据的波动程度,加入不同的a数据波动情况会改变,比如加入a=100时,数据波动明显变大,方差改变,故D不符合要求。
4. 验证选项B(中位数):原数据排序后中间两个数都是3,原中位数为3。加入a后共7个数据,排序后中位数是第4个数据:若a≤3,排序后第4个数据仍为3;若a≥3,排序后第4个数据也为3,因此无论a取什么整数,中位数始终为3,一定不变。
综上,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的定义;众数的定义;平均数的计算
【点评】
本题考查对常用统计量含义的理解,解题时可通过举反例快速排除错误选项,需注意计算中位数前要先将数据按大小顺序排列。
【难度系数】
0.7
3.在平面直角坐标系中,点$A(3,y_1)$,$B(4,y_2)$均在直线$y=kx(k≠0)$上,若$y_1<y_2$,则该直线经过的点的坐标还可以是(
A.$(1,0)$
B.$(-1,-3)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,2)$
B
)A.$(1,0)$
B.$(-1,-3)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,2)$
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路:首先结合点A、B的横坐标大小关系和对应y值的大小关系,判断正比例函数比例系数k的正负;再将各选项的点坐标代入y=kx,计算对应k值,选出k值符合正负要求的选项即可。
核心逻辑:正比例函数y=kx中,y随x的变化规律由k的符号决定:k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小。先根据已知条件确定k的符号,再逐一验证选项即可。
【解析】
解:
∵ 点$A(3,y_1)$、$B(4,y_2)$均在直线$y=kx(k≠0)$上
∴ $y_1=3k$,$y_2=4k$
∵ $y_1<y_2$
∴ $3k<4k$,解得$k>0$,即该直线的比例系数为正数。
逐一验证选项:
A. 将$(1,0)$代入$y=kx$,得$0=k×1$,解得$k=0$,不符合$k≠0$的要求,排除;
B. 将$(-1,-3)$代入$y=kx$,得$-3=k×(-1)$,解得$k=3>0$,符合要求;
C. 将$(1,-2)$代入$y=kx$,得$-2=k×1$,解得$k=-2<0$,不符合要求,排除;
D. 将$(-1,2)$代入$y=kx$,得$2=k×(-1)$,解得$k=-2<0$,不符合要求,排除。
故选:B
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的增减性与系数的关系,解题关键是先根据已知点的坐标变化规律判断k的正负,再代入选项验证,属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路:首先结合点A、B的横坐标大小关系和对应y值的大小关系,判断正比例函数比例系数k的正负;再将各选项的点坐标代入y=kx,计算对应k值,选出k值符合正负要求的选项即可。
核心逻辑:正比例函数y=kx中,y随x的变化规律由k的符号决定:k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小。先根据已知条件确定k的符号,再逐一验证选项即可。
【解析】
解:
∵ 点$A(3,y_1)$、$B(4,y_2)$均在直线$y=kx(k≠0)$上
∴ $y_1=3k$,$y_2=4k$
∵ $y_1<y_2$
∴ $3k<4k$,解得$k>0$,即该直线的比例系数为正数。
逐一验证选项:
A. 将$(1,0)$代入$y=kx$,得$0=k×1$,解得$k=0$,不符合$k≠0$的要求,排除;
B. 将$(-1,-3)$代入$y=kx$,得$-3=k×(-1)$,解得$k=3>0$,符合要求;
C. 将$(1,-2)$代入$y=kx$,得$-2=k×1$,解得$k=-2<0$,不符合要求,排除;
D. 将$(-1,2)$代入$y=kx$,得$2=k×(-1)$,解得$k=-2<0$,不符合要求,排除。
故选:B
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的增减性与系数的关系,解题关键是先根据已知点的坐标变化规律判断k的正负,再代入选项验证,属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示,在$△ ABC$中,$AB≠AC$,点$D$,$E$,$F$分别是边$AB$,$AC$,$BC$的中点,则下列结论错误的是 (

A.$DE// BC$
B.$∠ B=∠ EFC$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$OD=OE$
C
)A.$DE// BC$
B.$∠ B=∠ EFC$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$OD=OE$
答案
4.C
解析
【分析】
本题可结合三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质逐一判断选项:首先根据中点条件判断中位线,验证A、B选项;再结合AB≠AC的条件,判断中线AF是否同时为角平分线,验证C选项;最后通过中点判定平行四边形,利用平行四边形性质验证D选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析:
A. 点D、E分别是AB、AC的中点,DE是△ABC的中位线,根据三角形中位线定理可得$DE// BC$,该选项结论正确,不符合题意;
B. 点E、F分别是AC、BC的中点,EF是△ABC的中位线,因此$EF// AB$,根据“两直线平行,同位角相等”可得$∠ B=∠ EFC$,该选项结论正确,不符合题意;
C. 已知$AB≠ AC$,说明△ABC不是等腰三角形,F是BC中点,AF仅为△ABC的中线,不具备平分顶角的性质,因此$∠ BAF≠∠ CAF$,该选项结论错误,符合题意;
D. 由D、E、F分别为三边中点,可得$DE// BC$、$EF// AB$,因此四边形ADFE是平行四边形,平行四边形对角线互相平分,AF与DE为平行四边形的对角线,交点为O,因此$OD=OE$,该选项结论正确,不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理,平行四边形的性质,等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题,综合考查三角形中点相关的性质,解题时要注意等腰三角形“三线合一”仅适用于等腰三角形,不可随意在非等腰三角形中套用该性质。
【难度系数】
0.8
本题可结合三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质逐一判断选项:首先根据中点条件判断中位线,验证A、B选项;再结合AB≠AC的条件,判断中线AF是否同时为角平分线,验证C选项;最后通过中点判定平行四边形,利用平行四边形性质验证D选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析:
A. 点D、E分别是AB、AC的中点,DE是△ABC的中位线,根据三角形中位线定理可得$DE// BC$,该选项结论正确,不符合题意;
B. 点E、F分别是AC、BC的中点,EF是△ABC的中位线,因此$EF// AB$,根据“两直线平行,同位角相等”可得$∠ B=∠ EFC$,该选项结论正确,不符合题意;
C. 已知$AB≠ AC$,说明△ABC不是等腰三角形,F是BC中点,AF仅为△ABC的中线,不具备平分顶角的性质,因此$∠ BAF≠∠ CAF$,该选项结论错误,符合题意;
D. 由D、E、F分别为三边中点,可得$DE// BC$、$EF// AB$,因此四边形ADFE是平行四边形,平行四边形对角线互相平分,AF与DE为平行四边形的对角线,交点为O,因此$OD=OE$,该选项结论正确,不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理,平行四边形的性质,等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题,综合考查三角形中点相关的性质,解题时要注意等腰三角形“三线合一”仅适用于等腰三角形,不可随意在非等腰三角形中套用该性质。
【难度系数】
0.8
5. 直角三角形的两条直角边长分别为$a$,$b$,斜边上的高为$h$,则下列各式总能成立的是(
A.$ab=h^2$
B.$a^2+b^2=2h^2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$
D.$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
D
)A.$ab=h^2$
B.$a^2+b^2=2h^2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$
D.$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
答案
5.D
解析
【分析】
要判断四个选项哪个总能成立,可结合直角三角形的两个核心性质思考:一是勾股定理,二是直角三角形的两种面积计算方法。首先通过面积相等得到直角边、斜边、斜边上高的关系,再结合勾股定理对式子变形,即可验证各个选项;也可以举符合条件的特殊直角三角形,代入数值排除错误选项,快速得到答案。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$。
1. 根据勾股定理可得:$c^2=a^2+b^2$。
2. 根据直角三角形面积的两种计算方法:面积既等于两条直角边乘积的一半,也等于斜边乘斜边上高的一半,即:
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$,化简得$ab=ch$,因此$c=\frac{ab}{h}$。
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子中:
$(\frac{ab}{h})^2=a^2+b^2$,即$\frac{a^2b^2}{h^2}=a^2+b^2$。
4. 等式两边同时除以$a^2b^2$($a$、$b$为直角边长,均不为0,可作除数):
$\frac{1}{h^2}=\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}$,即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$,可知D选项成立。
也可举特例验证:取直角边$a=3$、$b=4$,则斜边$c=5$,斜边上的高$h=\frac{3×4}{5}=2.4$。代入选项:A选项$ab=12$,$h^2=5.76$,不相等,错误;B选项$a^2+b^2=25$,$2h^2=11.52$,不相等,错误;C选项$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{12}$,$\frac{1}{h}=\frac{5}{12}$,不相等,错误;只有D选项成立。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理;直角三角形面积计算;代数式变形
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的综合应用,将面积公式与勾股定理联立变形是解题的核心思路,也可通过代入特殊值快速排除错误选项,提升解题速度。
【难度系数】
0.6
要判断四个选项哪个总能成立,可结合直角三角形的两个核心性质思考:一是勾股定理,二是直角三角形的两种面积计算方法。首先通过面积相等得到直角边、斜边、斜边上高的关系,再结合勾股定理对式子变形,即可验证各个选项;也可以举符合条件的特殊直角三角形,代入数值排除错误选项,快速得到答案。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$。
1. 根据勾股定理可得:$c^2=a^2+b^2$。
2. 根据直角三角形面积的两种计算方法:面积既等于两条直角边乘积的一半,也等于斜边乘斜边上高的一半,即:
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$,化简得$ab=ch$,因此$c=\frac{ab}{h}$。
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子中:
$(\frac{ab}{h})^2=a^2+b^2$,即$\frac{a^2b^2}{h^2}=a^2+b^2$。
4. 等式两边同时除以$a^2b^2$($a$、$b$为直角边长,均不为0,可作除数):
$\frac{1}{h^2}=\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}$,即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$,可知D选项成立。
也可举特例验证:取直角边$a=3$、$b=4$,则斜边$c=5$,斜边上的高$h=\frac{3×4}{5}=2.4$。代入选项:A选项$ab=12$,$h^2=5.76$,不相等,错误;B选项$a^2+b^2=25$,$2h^2=11.52$,不相等,错误;C选项$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{12}$,$\frac{1}{h}=\frac{5}{12}$,不相等,错误;只有D选项成立。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理;直角三角形面积计算;代数式变形
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的综合应用,将面积公式与勾股定理联立变形是解题的核心思路,也可通过代入特殊值快速排除错误选项,提升解题速度。
【难度系数】
0.6
6.“一方有难,八方支援”是中华民族的传统美德.在某次救援行动中,上午8时,甲、乙两辆车同时从M地驶向N地,路程$y$(单位:km)与时间$x$(单位:h)的函数关系如图所示.甲车在上午10时30分到达N地,则下列说法错误的是 (

A.乙车先到达N地
B.乙车出发$\frac{5}{3}$ h后追上甲车
C.甲、乙两车在出发1 h后相距最远
D.乙车在上午10时11分到达N地
D
)A.乙车先到达N地
B.乙车出发$\frac{5}{3}$ h后追上甲车
C.甲、乙两车在出发1 h后相距最远
D.乙车在上午10时11分到达N地
答案
6.D
解析
【分析】
解决本题首先要结合图像用待定系数法求出甲、乙两车路程关于时间的函数解析式,再根据行程问题的基本关系(路程=速度×时间),逐一分析每个选项:先判断两车的到达时间,再计算追上的时间,接着分析两车距离的变化规律,最终找出错误的说法。
【解析】
1. 求乙车的路程函数:
乙的图像是过原点$(0,0)$和$(1,32)$的直线,设解析式为$y=kx$,将$(1,32)$代入得$k=32$,即乙的解析式为$y=32x\ (x≥0)$。
乙行驶70km到达N地的时间为$x=\frac{70}{32}=\frac{35}{16}\mathrm{h}=2\mathrm{h}11.25\mathrm{min}$,即8点出发后,10时11分15秒到达N地。
2. 求甲车的路程函数:
① 当$0≤ x≤1$时,图像过$(0,0)$和$(1,40)$,解析式为$y=40x$;
② 当$x≥1$时,图像过$A(1,40)$和$B(2.5,70)$,设解析式为$y=ax+b$,代入两点得:
$\begin{cases}a+b=40\\2.5a+b=70\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=20\\b=20\end{cases}$,即解析式为$y=20x+20\ (x≥1)$,甲全程用时2.5h,与题目表述一致。
3. 逐一分析选项:
A. 乙到达时间约为2.1875h,小于甲的2.5h,故乙先到达N地,A正确;
B. 乙追上甲车时路程相等,$x>1$时列方程$32x=20x+20$,解得$x=\frac{5}{3}\mathrm{h}$,即乙出发$\frac{5}{3}\mathrm{h}$后追上甲车,B正确;
C. $0∼1\mathrm{h}$时甲速度40km/h大于乙速度32km/h,两车距离逐渐增大,1h时相差$40-32=8\mathrm{km}$;$1\mathrm{h}∼\frac{5}{3}\mathrm{h}$时甲速度20km/h小于乙速度32km/h,距离逐渐缩小到0;$\frac{5}{3}\mathrm{h}$后乙超过甲,距离逐渐增大,乙到达终点时两车相差$70-(20×\frac{35}{16}+20)=6.25\mathrm{km}<8\mathrm{km}$,故出发1h后两车相距最远,C正确;
D. 乙到达时间为10时11分15秒,不是10时11分,D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用,行程问题,一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合实际行程场景考察一次函数的应用,核心是通过图像提取关键坐标点求出函数解析式,再结合分段函数的性质分析运动过程,需要注意时间单位的换算和分段讨论的严谨性。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要结合图像用待定系数法求出甲、乙两车路程关于时间的函数解析式,再根据行程问题的基本关系(路程=速度×时间),逐一分析每个选项:先判断两车的到达时间,再计算追上的时间,接着分析两车距离的变化规律,最终找出错误的说法。
【解析】
1. 求乙车的路程函数:
乙的图像是过原点$(0,0)$和$(1,32)$的直线,设解析式为$y=kx$,将$(1,32)$代入得$k=32$,即乙的解析式为$y=32x\ (x≥0)$。
乙行驶70km到达N地的时间为$x=\frac{70}{32}=\frac{35}{16}\mathrm{h}=2\mathrm{h}11.25\mathrm{min}$,即8点出发后,10时11分15秒到达N地。
2. 求甲车的路程函数:
① 当$0≤ x≤1$时,图像过$(0,0)$和$(1,40)$,解析式为$y=40x$;
② 当$x≥1$时,图像过$A(1,40)$和$B(2.5,70)$,设解析式为$y=ax+b$,代入两点得:
$\begin{cases}a+b=40\\2.5a+b=70\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=20\\b=20\end{cases}$,即解析式为$y=20x+20\ (x≥1)$,甲全程用时2.5h,与题目表述一致。
3. 逐一分析选项:
A. 乙到达时间约为2.1875h,小于甲的2.5h,故乙先到达N地,A正确;
B. 乙追上甲车时路程相等,$x>1$时列方程$32x=20x+20$,解得$x=\frac{5}{3}\mathrm{h}$,即乙出发$\frac{5}{3}\mathrm{h}$后追上甲车,B正确;
C. $0∼1\mathrm{h}$时甲速度40km/h大于乙速度32km/h,两车距离逐渐增大,1h时相差$40-32=8\mathrm{km}$;$1\mathrm{h}∼\frac{5}{3}\mathrm{h}$时甲速度20km/h小于乙速度32km/h,距离逐渐缩小到0;$\frac{5}{3}\mathrm{h}$后乙超过甲,距离逐渐增大,乙到达终点时两车相差$70-(20×\frac{35}{16}+20)=6.25\mathrm{km}<8\mathrm{km}$,故出发1h后两车相距最远,C正确;
D. 乙到达时间为10时11分15秒,不是10时11分,D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用,行程问题,一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合实际行程场景考察一次函数的应用,核心是通过图像提取关键坐标点求出函数解析式,再结合分段函数的性质分析运动过程,需要注意时间单位的换算和分段讨论的严谨性。
【难度系数】
0.65
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