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7. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位:m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是$s_1^2$. 若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是$s_2^2$，则$s_1^2$
＞
(选填“＞”“＜”或“=”) $s_2^2$.答案
7.＞
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时为各数据与平均数差的平方的平均数。首先先确定加入第10次成绩后新的平均数是否变化：原前9次平均数为20m，第10次成绩为20m，计算可得10次成绩的平均数仍为20m。再对比两个方差的计算公式：$s_1^2$的分子是前9次数据与20的差的平方和，分母为9；$s_2^2$的分子和$s_1^2$的分子相等（因为第10次数据20与平均数20的差为0，不增加平方和），分母为10，分子相同分母越大值越小，即可判断两个方差的大小。
【解析】
设前9次成绩分别为$x_1,x_2,\dots,x_9$，已知前9次的平均数$\overline{x}_1=20\ \mathrm{m}$，根据方差公式：
$s_1^2=\frac{1}{9}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2]$
第10次成绩为20m，计算10次成绩的平均数：
$\overline{x}_2=\frac{9×20 + 20}{10}=20\ \mathrm{m}$
则10次成绩的方差：
$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2+(20-20)^2]=\frac{1}{10}[(x_1-20)^2+\dots+(x_9-20)^2]$
对比$s_1^2$和$s_2^2$，二者分子部分相同，分母$9＜10$，因此$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算、平均数的计算、方差的意义
【点评】
本题核心考查方差的变化规律，当新增数据等于原数据的平均数时，新数据组的波动会变小，方差也随之减小，掌握方差的计算公式和意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时为各数据与平均数差的平方的平均数。首先先确定加入第10次成绩后新的平均数是否变化：原前9次平均数为20m，第10次成绩为20m，计算可得10次成绩的平均数仍为20m。再对比两个方差的计算公式：$s_1^2$的分子是前9次数据与20的差的平方和，分母为9；$s_2^2$的分子和$s_1^2$的分子相等（因为第10次数据20与平均数20的差为0，不增加平方和），分母为10，分子相同分母越大值越小，即可判断两个方差的大小。
【解析】
设前9次成绩分别为$x_1,x_2,\dots,x_9$，已知前9次的平均数$\overline{x}_1=20\ \mathrm{m}$，根据方差公式：
$s_1^2=\frac{1}{9}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2]$
第10次成绩为20m，计算10次成绩的平均数：
$\overline{x}_2=\frac{9×20 + 20}{10}=20\ \mathrm{m}$
则10次成绩的方差：
$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2+(20-20)^2]=\frac{1}{10}[(x_1-20)^2+\dots+(x_9-20)^2]$
对比$s_1^2$和$s_2^2$，二者分子部分相同，分母$9＜10$，因此$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算、平均数的计算、方差的意义
【点评】
本题核心考查方差的变化规律，当新增数据等于原数据的平均数时，新数据组的波动会变小，方差也随之减小，掌握方差的计算公式和意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是3；若输出y的值是－3，则输入x的值是
－7
。答案
8.－7
解析
【分析】
首先利用已知条件“输入x=5时输出y=3”求出参数b的值，确定分段函数的具体表达式。再针对输出y=-3的情况，分x≥0和x＜0两种情况，分别代入对应函数式求解x，最后检验所得x是否符合对应自变量的取值范围，舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
1. 求参数b的值：
输入x=5时，
∵5≥0，
∴代入函数式$y=x-2b$，已知此时$y=3$，可得方程：
$3=5-2b$
解得：$2b=5-3=2$，即$b=1$。
因此该运算程序对应的函数为：
当$x≥0$时，$y=x-2$；当$x＜0$时，$y=x+4$。
2. 求y=-3时输入的x值，分两种情况讨论：
① 若$x≥0$，代入$y=x-2$得：$-3=x-2$，解得$x=-1$。
∵$-1＜0$，不符合$x≥0$的前提，故该解舍去。
② 若$x＜0$，代入$y=x+4$得：$-3=x+4$，解得$x=-7$。
∵$-7＜0$，符合$x＜0$的前提，该解有效。
【答案】
-7
【知识点】
分段函数，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题考查分段函数的实际应用，解题关键是明确不同自变量范围对应的函数解析式，求出x的解后要注意检验是否符合对应取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
首先利用已知条件“输入x=5时输出y=3”求出参数b的值，确定分段函数的具体表达式。再针对输出y=-3的情况，分x≥0和x＜0两种情况，分别代入对应函数式求解x，最后检验所得x是否符合对应自变量的取值范围，舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
1. 求参数b的值：
输入x=5时，
∵5≥0，
∴代入函数式$y=x-2b$，已知此时$y=3$，可得方程：
$3=5-2b$
解得：$2b=5-3=2$，即$b=1$。
因此该运算程序对应的函数为：
当$x≥0$时，$y=x-2$；当$x＜0$时，$y=x+4$。
2. 求y=-3时输入的x值，分两种情况讨论：
① 若$x≥0$，代入$y=x-2$得：$-3=x-2$，解得$x=-1$。
∵$-1＜0$，不符合$x≥0$的前提，故该解舍去。
② 若$x＜0$，代入$y=x+4$得：$-3=x+4$，解得$x=-7$。
∵$-7＜0$，符合$x＜0$的前提，该解有效。
【答案】
-7
【知识点】
分段函数，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题考查分段函数的实际应用，解题关键是明确不同自变量范围对应的函数解析式，求出x的解后要注意检验是否符合对应取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
9.我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”。它由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成。如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，若$b - a = 4$，$c = 20$，则每个直角三角形的面积为
96
。答案
9.96
解析
【分析】
本题要求直角三角形的面积，已知直角边为$a$、$b$，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。我们有两个已知条件：一是直角三角形满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，且已知$c=20$；二是$b-a=4$。我们可以将$b-a=4$两边平方，结合勾股定理的结论，即可直接求出$ab$的值，进而算出面积，无需分别求解$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ 直角三角形的两条直角边为$a$、$b$，斜边为$c$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：
$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
又已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方：
$(b - a)^2 = 4^2$
展开完全平方得：
$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：
$2ab = 400 - 16 = 384$
∴ $ab = 192$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，代入得：
$S = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代赵爽弦图的背景出题，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题的关键是通过对已知差的等式平方，构造出面积所需的乘积项，避免单独求解$a$、$b$的繁琐计算，同时也能让学生感受我国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.7
本题要求直角三角形的面积，已知直角边为$a$、$b$，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。我们有两个已知条件：一是直角三角形满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，且已知$c=20$；二是$b-a=4$。我们可以将$b-a=4$两边平方，结合勾股定理的结论，即可直接求出$ab$的值，进而算出面积，无需分别求解$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ 直角三角形的两条直角边为$a$、$b$，斜边为$c$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：
$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
又已知$b - a = 4$，将等式两边同时平方：
$(b - a)^2 = 4^2$
展开完全平方得：
$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：
$2ab = 400 - 16 = 384$
∴ $ab = 192$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，代入得：
$S = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代赵爽弦图的背景出题，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题的关键是通过对已知差的等式平方，构造出面积所需的乘积项，避免单独求解$a$、$b$的繁琐计算，同时也能让学生感受我国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.7
10.如图所示，在菱形ABCD中，$AE ⊥ BC$，垂足为E，交BD于点F，$BE=CE$。若$AB=4\sqrt{3}$，则$AF=$
4
。答案
10.4
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，菱形四条边相等可得AB=BC，再结合AE垂直平分BC，推出AB=AC，进而判断出△ABC是等边三角形，求出AE的长度；再利用菱形对边平行的性质得到△ADF和△EBF相似，根据相似三角形的线段比例关系求出AF和EF的倍数关系，最后结合AE的总长度求出AF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，AD//BC。
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°。
在Rt△ABE中，AB=4√3，
∴BE=½AB=2√3，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36}=6$。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，∠DAF=∠BEF=90°，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$。
∵AD=BC=4√3，BE=2√3，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$，即AF=2EF。
又
∵AF + EF = AE=6，
∴2EF + EF=6，解得EF=2，
∴AF=6 - 2=4。
【答案】
4
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将菱形、等边三角形、相似三角形的知识点结合考察，解题的突破口是先通过垂直平分线的性质判断出△ABC为等边三角形，再借助相似三角形的比例关系求解线段长度，是菱形类考题的常见题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从菱形的性质入手，菱形四条边相等可得AB=BC，再结合AE垂直平分BC，推出AB=AC，进而判断出△ABC是等边三角形，求出AE的长度；再利用菱形对边平行的性质得到△ADF和△EBF相似，根据相似三角形的线段比例关系求出AF和EF的倍数关系，最后结合AE的总长度求出AF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，AD//BC。
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°。
在Rt△ABE中，AB=4√3，
∴BE=½AB=2√3，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36}=6$。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，∠DAF=∠BEF=90°，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$。
∵AD=BC=4√3，BE=2√3，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$，即AF=2EF。
又
∵AF + EF = AE=6，
∴2EF + EF=6，解得EF=2，
∴AF=6 - 2=4。
【答案】
4
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将菱形、等边三角形、相似三角形的知识点结合考察，解题的突破口是先通过垂直平分线的性质判断出△ABC为等边三角形，再借助相似三角形的比例关系求解线段长度，是菱形类考题的常见题型。
【难度系数】
0.6
11.某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩(单位:分)如下：
甲组 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98
乙组 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法。
甲组 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98
乙组 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法。
答案
11.解:(1)把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为 60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，
最小值是 60,下四分位数是 70,中位数是$\frac{89+91}{2}=90$,上四分位数是 96,最大值是 100.
(2)甲组的箱线图如图所示
.(3)根据箱线图和四分位数,可知甲组数据跨度大更分散,乙组数据更集中.
解析
【分析】
解决这道题要按照统计量的计算逻辑逐步推导：(1)计算甲组的各类统计量，首先要将甲组数据从小到大排序，最小值、最大值就是排序后首尾的数据；偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数；下四分位数是排序后前半部分数据的中位数，上四分位数是后半部分数据的中位数。(2)绘制箱线图只需要将第一问求出的五个统计量对应到纵坐标位置，仿照乙组箱线图的格式绘制即可。(3)分析两组成绩时，对比箱线图的整体跨度、箱体宽度，就能判断数据的集中或分散程度。
【解析】
(1) 先将甲组的10个成绩按从小到大的顺序排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
最小值为排序后的第一个数据，即60；
共10个数据，下四分位数取前5个数据的中位数，前5个数据为60、70、70、80、89，中位数为70，即下四分位数是70；
中位数为第5个和第6个数据的平均数，计算得$\frac{89+91}{2}=90$；
上四分位数取后5个数据的中位数，后5个数据为91、92、96、98、100，中位数为96，即上四分位数是96；
最大值为排序后的最后一个数据，即100。
(2) 按照甲组求出的最小值60、下四分位数70、中位数90、上四分位数96、最大值100，对应纵轴刻度绘制箱线图即可。
(3) 对比两组箱线图可知，甲组成绩的跨度远大于乙组，说明甲组成绩更分散；乙组成绩范围更小、箱体更窄，说明乙组成绩更集中，整体发挥更稳定。
【答案】
(1) 最小值是60，下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96，最大值是100；
(2) 甲组的箱线图如图所示；
(3) 甲组数据跨度大更分散，乙组数据更集中。
【知识点】
中位数计算；四分位数；箱线图
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计特征量的计算与数据分析能力，要求学生掌握数据排序、特征数计算的方法，能通过箱线图直观判断数据的分布特点，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解决这道题要按照统计量的计算逻辑逐步推导：(1)计算甲组的各类统计量，首先要将甲组数据从小到大排序，最小值、最大值就是排序后首尾的数据；偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数；下四分位数是排序后前半部分数据的中位数，上四分位数是后半部分数据的中位数。(2)绘制箱线图只需要将第一问求出的五个统计量对应到纵坐标位置，仿照乙组箱线图的格式绘制即可。(3)分析两组成绩时，对比箱线图的整体跨度、箱体宽度，就能判断数据的集中或分散程度。
【解析】
(1) 先将甲组的10个成绩按从小到大的顺序排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
最小值为排序后的第一个数据，即60；
共10个数据，下四分位数取前5个数据的中位数，前5个数据为60、70、70、80、89，中位数为70，即下四分位数是70；
中位数为第5个和第6个数据的平均数，计算得$\frac{89+91}{2}=90$；
上四分位数取后5个数据的中位数，后5个数据为91、92、96、98、100，中位数为96，即上四分位数是96；
最大值为排序后的最后一个数据，即100。
(2) 按照甲组求出的最小值60、下四分位数70、中位数90、上四分位数96、最大值100，对应纵轴刻度绘制箱线图即可。
(3) 对比两组箱线图可知，甲组成绩的跨度远大于乙组，说明甲组成绩更分散；乙组成绩范围更小、箱体更窄，说明乙组成绩更集中，整体发挥更稳定。
【答案】
(1) 最小值是60，下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96，最大值是100；
(2) 甲组的箱线图如图所示
；(3) 甲组数据跨度大更分散，乙组数据更集中。
【知识点】
中位数计算；四分位数；箱线图
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计特征量的计算与数据分析能力，要求学生掌握数据排序、特征数计算的方法，能通过箱线图直观判断数据的分布特点，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
