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12. 如图所示，在$△ ABC$中，D，E分别为AB，AC的中点，$DF ⊥ BC$，垂足为F，点G在DE的延长线上，$DG=FC$。
(1)求证:四边形DFCG是矩形；
(2)若$∠ B=45°$，$DF=3$，$DG=5$，求BC和AC的长。
(1)求证:四边形DFCG是矩形；
(2)若$∠ B=45°$，$DF=3$，$DG=5$，求BC和AC的长。
答案
12.(1)证明:$\because D,E$分别为$AB,AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线.$\therefore DE// BC$.
$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形DFCG是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$.$\therefore$ 四边形DFCG是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$.
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.$\therefore BF=DF=3$.
$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$.
由(1),可知 DE 是$△ ABC$的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$.$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$.
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
$\because E$为$AC$的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形DFCG是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$.$\therefore$ 四边形DFCG是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$.
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.$\therefore BF=DF=3$.
$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$.
由(1),可知 DE 是$△ ABC$的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$.$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$.
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
$\because E$为$AC$的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1)证明矩形可优先选择“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路。首先根据D、E是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，推出DG//BC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形为矩形。
(2)求BC长度时，可将BC拆分为BF+FC两段计算：FC与已知DG相等，BF可通过∠B=45°、DF⊥BC推出△BDF为等腰直角三角形，得到BF=DF，两段相加即可得BC的长。求AC长度时，先利用三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长度；再结合矩形性质得到CG的长度和∠G为直角，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可求出AC的长度。
【解析】
(1)证明:$\because D,E$分别为$AB,AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线.$\therefore DE// BC$.
$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形DFCG是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$.$\therefore$ 四边形DFCG是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$.
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.$\therefore BF=DF=3$.
$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$.
由(1),可知 DE 是$△ ABC$的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$.$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$.
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
$\because E$为$AC$的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；(2)$BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了三角形、特殊四边形、直角三角形的核心考点，解题时需要逐步转化线段与角度的关系，对逻辑推导能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.7
(1)证明矩形可优先选择“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路。首先根据D、E是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，推出DG//BC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形为矩形。
(2)求BC长度时，可将BC拆分为BF+FC两段计算：FC与已知DG相等，BF可通过∠B=45°、DF⊥BC推出△BDF为等腰直角三角形，得到BF=DF，两段相加即可得BC的长。求AC长度时，先利用三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长度；再结合矩形性质得到CG的长度和∠G为直角，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可求出AC的长度。
【解析】
(1)证明:$\because D,E$分别为$AB,AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线.$\therefore DE// BC$.
$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形DFCG是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$.$\therefore$ 四边形DFCG是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$.
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.$\therefore BF=DF=3$.
$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$.
由(1),可知 DE 是$△ ABC$的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$.$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$.
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
$\because E$为$AC$的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；(2)$BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了三角形、特殊四边形、直角三角形的核心考点，解题时需要逐步转化线段与角度的关系，对逻辑推导能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.7
13.新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障.某校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表(单位:万个,精确到0.1):
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率(精确到1%).
(2)小组成员建立平面直角坐标系,并根据表中数据画出相对应的点(如图所示).从图中可以看出,这些点大致分布在一条直线附近.他们选择了两个点A(2019,45.3),B(2024,104.5)作一条直线来近似地表示y的值随年份x不断增长的变化趋势.设直线AB上点的坐标满足函数解析式$y=kx+b$,试求出k的值,并写出k的实际意义,再预测我国2025年发明专利申请授权数.
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率(精确到1%).
(2)小组成员建立平面直角坐标系,并根据表中数据画出相对应的点(如图所示).从图中可以看出,这些点大致分布在一条直线附近.他们选择了两个点A(2019,45.3),B(2024,104.5)作一条直线来近似地表示y的值随年份x不断增长的变化趋势.设直线AB上点的坐标满足函数解析式$y=kx+b$,试求出k的值,并写出k的实际意义,再预测我国2025年发明专利申请授权数.
答案
13.解:(1)$(69.6-53.0)÷53.0×100\%\approx31\%$,
$\therefore$2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%.
(2)由题意,可得$\begin{cases}2019k+b=45.3,\\2024k+b=104.5.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=11.84,\\b=-23~859.66.\end{cases}$
$\therefore y=11.84x-23~859.66$.
其中k的实际意义为2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个.
当$x=2~025$时,$y=11.84×2~025-23~859.66=116.34$,
$\therefore$预测我国2025年发明专利申请授权数约为116.34万个.
$\therefore$2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%.
(2)由题意,可得$\begin{cases}2019k+b=45.3,\\2024k+b=104.5.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=11.84,\\b=-23~859.66.\end{cases}$
$\therefore y=11.84x-23~859.66$.
其中k的实际意义为2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个.
当$x=2~025$时,$y=11.84×2~025-23~859.66=116.34$,
$\therefore$预测我国2025年发明专利申请授权数约为116.34万个.
解析
【分析】
(1) 计算增长率需牢记公式：增长率=（现期量-基期量）÷基期量×100%，本题中2020年的授权数是基期量，2021年的授权数是现期量，代入对应数值计算即可。
(2) 求一次函数$y=kx+b$的解析式可使用待定系数法：将已知的两个点A、B的坐标分别代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，用加减消元法求解即可得到k、b的值；k是一次函数的斜率，实际含义为每年发明专利申请授权数的平均增长量；最后将$x=2025$代入解析式，即可计算出2025年的预测授权数。
【解析】
(1) 由表格可知2020年发明专利申请授权数为53.0万个，2021年为69.6万个，
增长率为$\frac{69.6-53.0}{53.0}×100\%\approx31\%$。
(2) 将$A(2019,45.3)$、$B(2024,104.5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2019k+b=45.3\\2024k+b=104.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=59.2$，解得$k=11.84$，
将$k=11.84$代入$2019k+b=45.3$，解得$b=-23859.66$，
因此函数解析式为$y=11.84x-23859.66$。
k的实际意义：2019-2024年我国发明专利申请授权数平均每年增长约11.84万个。
当$x=2025$时，$y=11.84×2025-23859.66=116.34$。
【答案】
(1) 2020到2021年发明专利申请授权数的增长率约为31%；
(2) $k=11.84$，实际意义为2019-2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个，预测2025年发明专利申请授权数约为116.34万个。
【知识点】
增长率计算，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合科技创新的现实背景出题，贴合社会热点，既考查了基础的计算能力，又考查了用函数模型解决实际问题的能力，需要同学们掌握待定系数法的操作步骤，同时理解函数参数的实际含义，学会用所得函数模型做预测。
【难度系数】
0.7
(1) 计算增长率需牢记公式：增长率=（现期量-基期量）÷基期量×100%，本题中2020年的授权数是基期量，2021年的授权数是现期量，代入对应数值计算即可。
(2) 求一次函数$y=kx+b$的解析式可使用待定系数法：将已知的两个点A、B的坐标分别代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，用加减消元法求解即可得到k、b的值；k是一次函数的斜率，实际含义为每年发明专利申请授权数的平均增长量；最后将$x=2025$代入解析式，即可计算出2025年的预测授权数。
【解析】
(1) 由表格可知2020年发明专利申请授权数为53.0万个，2021年为69.6万个，
增长率为$\frac{69.6-53.0}{53.0}×100\%\approx31\%$。
(2) 将$A(2019,45.3)$、$B(2024,104.5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2019k+b=45.3\\2024k+b=104.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=59.2$，解得$k=11.84$，
将$k=11.84$代入$2019k+b=45.3$，解得$b=-23859.66$，
因此函数解析式为$y=11.84x-23859.66$。
k的实际意义：2019-2024年我国发明专利申请授权数平均每年增长约11.84万个。
当$x=2025$时，$y=11.84×2025-23859.66=116.34$。
【答案】
(1) 2020到2021年发明专利申请授权数的增长率约为31%；
(2) $k=11.84$，实际意义为2019-2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个，预测2025年发明专利申请授权数约为116.34万个。
【知识点】
增长率计算，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合科技创新的现实背景出题，贴合社会热点，既考查了基础的计算能力，又考查了用函数模型解决实际问题的能力，需要同学们掌握待定系数法的操作步骤，同时理解函数参数的实际含义，学会用所得函数模型做预测。
【难度系数】
0.7
