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13.已知:如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别为$AB,CD$的中点,$DE$与$AF$交于点$M$,$CE$与$BF$交于点$N$。求证:$MN=\frac{1}{2}AB$。
答案
13.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD。
∵点E,F分别为AB,CD的中点,
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD,AE=BE=$\frac{1}{2}$AB。
∴DF=AE,CF=BE。
∴四边形ADFE,四边形CFEB是平行四边形。
∴FM=AM,FN=BN。
∴MN是△ABF的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD。
∵点E,F分别为AB,CD的中点,
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD,AE=BE=$\frac{1}{2}$AB。
∴DF=AE,CF=BE。
∴四边形ADFE,四边形CFEB是平行四边形。
∴FM=AM,FN=BN。
∴MN是△ABF的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
解析
【分析】
要证明$MN=\frac{1}{2}AB$，可从结论出发联想到三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边的一半，因此只需证明$MN$是$△ ABF$的中位线即可，即要证M、N分别是AF、BF的中点。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合E、F是AB、CD中点的条件，可证得四边形ADFE和四边形CFEB都是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，就能得到M、N分别是AF、BF的中点，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴$DF=CF=\frac{1}{2}CD$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，
∴$DF=AE$，$CF=BE$，且$DF// AE$，$CF// BE$，
∴四边形ADFE、四边形CFEB是平行四边形。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$FM=AM$，$FN=BN$，即M是AF的中点，N是BF的中点，
∴MN是$△ ABF$的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$MN=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
$MN=\frac{1}{2}AB$，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵点E,F分别为AB,CD的中点，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB。
∴DF=AE，CF=BE。
∴四边形ADFE，四边形CFEB是平行四边形。
∴FM=AM，FN=BN。
∴MN是△ABF的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，可采用逆推思路，从待证结论出发推导所需条件，再结合已知条件正向推导，即可快速找到解题路径，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明$MN=\frac{1}{2}AB$，可从结论出发联想到三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边的一半，因此只需证明$MN$是$△ ABF$的中位线即可，即要证M、N分别是AF、BF的中点。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合E、F是AB、CD中点的条件，可证得四边形ADFE和四边形CFEB都是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，就能得到M、N分别是AF、BF的中点，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴$DF=CF=\frac{1}{2}CD$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，
∴$DF=AE$，$CF=BE$，且$DF// AE$，$CF// BE$，
∴四边形ADFE、四边形CFEB是平行四边形。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$FM=AM$，$FN=BN$，即M是AF的中点，N是BF的中点，
∴MN是$△ ABF$的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$MN=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
$MN=\frac{1}{2}AB$，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵点E,F分别为AB,CD的中点，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB。
∴DF=AE，CF=BE。
∴四边形ADFE，四边形CFEB是平行四边形。
∴FM=AM，FN=BN。
∴MN是△ABF的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，可采用逆推思路，从待证结论出发推导所需条件，再结合已知条件正向推导，即可快速找到解题路径，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
十元钱哪里去了？
一家烘焙店推出一些优惠活动。每天出售30份A种糕点，10元钱卖3份；30份B种糕点，10元钱卖2份。几天后伙计提出：每天60份糕点，一半10元钱卖3份，一半10元钱卖2份，按20元卖5份，不是一样的吗？老板一想也对，就同意了。一天下来糕点卖完了，可一盘点少收了10元钱。你知道这是为什么吗？
一家烘焙店推出一些优惠活动。每天出售30份A种糕点，10元钱卖3份；30份B种糕点，10元钱卖2份。几天后伙计提出：每天60份糕点，一半10元钱卖3份，一半10元钱卖2份，按20元卖5份，不是一样的吗？老板一想也对，就同意了。一天下来糕点卖完了，可一盘点少收了10元钱。你知道这是为什么吗？
答案
解：
1. 计算原售卖方案的总收入：
A种糕点总售价：$30÷3×10=100$（元）
B种糕点总售价：$30÷2×10=150$（元）
原方案总营收：$100+150=250$（元）
2. 计算伙计提出的售卖方案的总收入：
60份糕点按20元卖5份的规则售卖，总营收为：$60÷5×20=240$（元）
两种方案总营收相差$250-240=10$元。
伙计的错误在于混淆了平均单价：原方案中A种糕点单价为$\frac{10}{3}$元/份，B种糕点单价为5元/份，整体平均单价为$\frac{25}{6}$元/份；而合并后20元卖5份的平均单价仅为4元/份，低于原方案的平均售价，因此最终总营收少了10元，不存在十元钱无故消失，是错误的定价逻辑导致少收了货款。
答：合并售卖的方案平均单价比原分开售卖的平均单价低，最终总售价比原方案少10元，因此盘点时少收了10元。
1. 计算原售卖方案的总收入：
A种糕点总售价：$30÷3×10=100$（元）
B种糕点总售价：$30÷2×10=150$（元）
原方案总营收：$100+150=250$（元）
2. 计算伙计提出的售卖方案的总收入：
60份糕点按20元卖5份的规则售卖，总营收为：$60÷5×20=240$（元）
两种方案总营收相差$250-240=10$元。
伙计的错误在于混淆了平均单价：原方案中A种糕点单价为$\frac{10}{3}$元/份，B种糕点单价为5元/份，整体平均单价为$\frac{25}{6}$元/份；而合并后20元卖5份的平均单价仅为4元/份，低于原方案的平均售价，因此最终总营收少了10元，不存在十元钱无故消失，是错误的定价逻辑导致少收了货款。
答：合并售卖的方案平均单价比原分开售卖的平均单价低，最终总售价比原方案少10元，因此盘点时少收了10元。
解析
【分析】
解决本题的核心是分别计算两种售卖方案的总收入，通过对比差额结合平均单价分析原因。首先按照原分开售卖的规则，分别计算A、B两类糕点的总售价，求和得到原方案总营收；再按照伙计提出的混合售卖规则计算总营收，对比两者的差值；最后通过计算两种方案的平均单价，就能理解收入减少的本质原因。
【解析】
1. 计算原售卖方案的总收入：
A种糕点总售价：$30÷3×10=100$（元）
B种糕点总售价：$30÷2×10=150$（元）
原方案总营收：$100+150=250$（元）
2. 计算伙计提出的售卖方案的总收入：
60份糕点按20元卖5份的规则售卖，总营收为：$60÷5×20=240$（元）
两种方案总营收相差：$250-240=10$（元）
3. 原因分析：原方案中A种糕点单价为$\frac{10}{3}$元/份，B种糕点单价为5元/份，整体平均单价为$\frac{25}{6}$元/份（约4.17元/份）；而合并后20元卖5份的平均单价仅为4元/份，低于原方案的平均售价，因此最终总营收少了10元，是错误的定价逻辑导致少收了货款。
【答案】
合并售卖的方案平均单价比原分开售卖的平均单价低，最终总售价比原方案少10元，因此盘点时少收了10元。
【知识点】
1. 单价数量总价的关系
2. 平均数的计算
【点评】
这是一道贴近生活的数学应用问题，看似合理的组合售卖规则实际上忽略了不同商品的单价差异，通过计算对比就能发现逻辑漏洞，提醒我们要学会用数学知识分析生活中的实际问题，不要被表面的规律迷惑。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是分别计算两种售卖方案的总收入，通过对比差额结合平均单价分析原因。首先按照原分开售卖的规则，分别计算A、B两类糕点的总售价，求和得到原方案总营收；再按照伙计提出的混合售卖规则计算总营收，对比两者的差值；最后通过计算两种方案的平均单价，就能理解收入减少的本质原因。
【解析】
1. 计算原售卖方案的总收入：
A种糕点总售价：$30÷3×10=100$（元）
B种糕点总售价：$30÷2×10=150$（元）
原方案总营收：$100+150=250$（元）
2. 计算伙计提出的售卖方案的总收入：
60份糕点按20元卖5份的规则售卖，总营收为：$60÷5×20=240$（元）
两种方案总营收相差：$250-240=10$（元）
3. 原因分析：原方案中A种糕点单价为$\frac{10}{3}$元/份，B种糕点单价为5元/份，整体平均单价为$\frac{25}{6}$元/份（约4.17元/份）；而合并后20元卖5份的平均单价仅为4元/份，低于原方案的平均售价，因此最终总营收少了10元，是错误的定价逻辑导致少收了货款。
【答案】
合并售卖的方案平均单价比原分开售卖的平均单价低，最终总售价比原方案少10元，因此盘点时少收了10元。
【知识点】
1. 单价数量总价的关系
2. 平均数的计算
【点评】
这是一道贴近生活的数学应用问题，看似合理的组合售卖规则实际上忽略了不同商品的单价差异，通过计算对比就能发现逻辑漏洞，提醒我们要学会用数学知识分析生活中的实际问题，不要被表面的规律迷惑。
【难度系数】
0.7
