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10. 爷爷家有一块等边三角形的空地ABC如图所示，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，EF＝6 m。爷爷想把四边形BCFE用篱笆围一圈种植蔬菜，需要多长的篱笆？
答案
10.解:
∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=6 m,
∴EF是△ABC的中位线。
∴BC=2EF=12 m。
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=12 m。
∵点E,F分别是边AB,AC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=6 m,FC=$\frac{1}{2}$AC=6 m。
∴四边形BCFE的周长为6+6+6+12=30(m)。
∴需要30 m长的篱笆。
∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=6 m,
∴EF是△ABC的中位线。
∴BC=2EF=12 m。
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=12 m。
∵点E,F分别是边AB,AC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=6 m,FC=$\frac{1}{2}$AC=6 m。
∴四边形BCFE的周长为6+6+6+12=30(m)。
∴需要30 m长的篱笆。
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F是△ABC两边AB、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，先通过已知的EF长度求出等边三角形的边长BC；再结合等边三角形三边相等的性质，得到AB、AC的长度，进而根据中点的定义求出BE、FC的长度；最后需要的篱笆长度就是四边形BCFE的周长，将四条边的长度相加即可得到结果。
【解析】
∵点E,F分别是边AB,AC的中点，EF＝6 m，
∴EF是△ABC的中位线。
∴BC=2EF=12 m。
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=12 m。
∵点E,F分别是边AB,AC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=6 m，FC=$\frac{1}{2}$AC=6 m。
∴四边形BCFE的周长为EF+FC+BC+BE=6+6+12+6=30(m)。
即需要30 m长的篱笆。
【答案】
30 m
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用类题目，核心考查三角形中位线定理与等边三角形性质的综合运用，解题关键是明确篱笆长度对应四边形的周长，逐步推导各边长度即可求解，能够有效检验对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到E、F是△ABC两边AB、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，先通过已知的EF长度求出等边三角形的边长BC；再结合等边三角形三边相等的性质，得到AB、AC的长度，进而根据中点的定义求出BE、FC的长度；最后需要的篱笆长度就是四边形BCFE的周长，将四条边的长度相加即可得到结果。
【解析】
∵点E,F分别是边AB,AC的中点，EF＝6 m，
∴EF是△ABC的中位线。
∴BC=2EF=12 m。
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=12 m。
∵点E,F分别是边AB,AC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=6 m，FC=$\frac{1}{2}$AC=6 m。
∴四边形BCFE的周长为EF+FC+BC+BE=6+6+12+6=30(m)。
即需要30 m长的篱笆。
【答案】
30 m
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用类题目，核心考查三角形中位线定理与等边三角形性质的综合运用，解题关键是明确篱笆长度对应四边形的周长，逐步推导各边长度即可求解，能够有效检验对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
11. 如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（
A.12
B.14
C.24
D.21
A
）A.12
B.14
C.24
D.21
答案
11.A
解析
【分析】
要计算四边形EFGH的周长，需先求出它各边的长度：①首先观察到E、F、G、H均为三角形边的中点，可联想到三角形中位线定理，该定理能将四边形的边长和已知的AD、BC建立联系；②已知BD⊥CD，BD、CD的长度已知，可先通过勾股定理求出BC的长度；③再利用中位线定理算出四边形各边的长度，最后求和即可得到周长。
【解析】
1. 求BC的长度：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，即△BDC是直角三角形
在Rt△BDC中，BD=4，CD=3，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
2. 利用三角形中位线定理求四边形各边长度：
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线
∴$EF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×7=3.5$
同理，HG是△ACD的中位线，
∴$HG=\frac{1}{2}AD=3.5$
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线
∴$EH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$
同理，FG是△BCD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC=2.5$
3. 计算周长：
四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+HE=3.5+2.5+3.5+2.5=12
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，四边形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用三角形中位线定理把未知的四边形边长转化为已知线段的一半，解题时只要理清中位线对应的三角形，就能快速求出各边长度，计算量较小，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算四边形EFGH的周长，需先求出它各边的长度：①首先观察到E、F、G、H均为三角形边的中点，可联想到三角形中位线定理，该定理能将四边形的边长和已知的AD、BC建立联系；②已知BD⊥CD，BD、CD的长度已知，可先通过勾股定理求出BC的长度；③再利用中位线定理算出四边形各边的长度，最后求和即可得到周长。
【解析】
1. 求BC的长度：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，即△BDC是直角三角形
在Rt△BDC中，BD=4，CD=3，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
2. 利用三角形中位线定理求四边形各边长度：
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线
∴$EF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×7=3.5$
同理，HG是△ACD的中位线，
∴$HG=\frac{1}{2}AD=3.5$
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线
∴$EH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$
同理，FG是△BCD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC=2.5$
3. 计算周长：
四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+HE=3.5+2.5+3.5+2.5=12
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，四边形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用三角形中位线定理把未知的四边形边长转化为已知线段的一半，解题时只要理清中位线对应的三角形，就能快速求出各边长度，计算量较小，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,点P,M,N分别是AB,AC,BD的中点。若BC=6,则△PMN的周长是
9
。答案
12.9
解析
【分析】
题中出现多个中点，优先考虑三角形中位线定理解题：①先利用中位线定理分别求出PM、PN的长度，结合AD=BC可得PM=PN；②再根据中位线的平行性质，推导∠MPN的度数；③最后由“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△PMN的形状，求出MN的长度后即可计算周长。
【解析】
解：
∵点P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴$PM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，且$PM// BC$，
∴$∠ APM=∠ CBA=70°$。
∵点P、N分别是AB、BD的中点，
∴PN是△ABD的中位线，
∴$PN=\frac{1}{2}AD$，
又
∵$AD=BC=6$，
∴$PN=\frac{1}{2}×6=3$，且$PN// AD$，
∴$∠ BPN=∠ DAB=50°$。
∴$∠ MPN=180°-∠ APM-∠ BPN=180°-70°-50°=60°$，
又
∵$PM=PN=3$，
∴△PMN是等边三角形，即$MN=PM=PN=3$，
∴△PMN的周长为$3+3+3=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用中位线的性质得到边的数量关系、位置关系，进而推导三角形的形状，熟练掌握中位线定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
题中出现多个中点，优先考虑三角形中位线定理解题：①先利用中位线定理分别求出PM、PN的长度，结合AD=BC可得PM=PN；②再根据中位线的平行性质，推导∠MPN的度数；③最后由“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△PMN的形状，求出MN的长度后即可计算周长。
【解析】
解：
∵点P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴$PM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，且$PM// BC$，
∴$∠ APM=∠ CBA=70°$。
∵点P、N分别是AB、BD的中点，
∴PN是△ABD的中位线，
∴$PN=\frac{1}{2}AD$，
又
∵$AD=BC=6$，
∴$PN=\frac{1}{2}×6=3$，且$PN// AD$，
∴$∠ BPN=∠ DAB=50°$。
∴$∠ MPN=180°-∠ APM-∠ BPN=180°-70°-50°=60°$，
又
∵$PM=PN=3$，
∴△PMN是等边三角形，即$MN=PM=PN=3$，
∴△PMN的周长为$3+3+3=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用中位线的性质得到边的数量关系、位置关系，进而推导三角形的形状，熟练掌握中位线定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
