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5. 如图,AC 是带有滑道的铁杠,AB,CD 是两段横木,E 是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉,BE,DE,PQ 是三段橡皮筋,其中,P,Q 分别是BE,DE 的中点,螺钉 E 在滑道 AC 内上下滑动时,橡皮筋 PQ 的长度会如何变化? 下列说法正确的是 (
A.螺钉 E 滑至 AC 两端时,PQ 的长度最大
B.螺钉 E 滑至 AC 中点处时,PQ 的长度最大
C.上下滑动时,PQ 的长度时而增大时而减小
D.上下滑动时,PQ 的长度始终不变
D
)A.螺钉 E 滑至 AC 两端时,PQ 的长度最大
B.螺钉 E 滑至 AC 中点处时,PQ 的长度最大
C.上下滑动时,PQ 的长度时而增大时而减小
D.上下滑动时,PQ 的长度始终不变
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先观察到P、Q分别是BE、DE的中点，联想到三角形中位线的相关知识，先连接固定端点B、D，判断PQ与BD的关系。因为B、D是固定横木的端点，BD长度固定不变，结合中位线的性质就能判断PQ的长度变化情况。
【解析】
连接BD，
∵P是BE的中点，Q是DE的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得$PQ=\frac{1}{2}BD$。
∵点B和点D的位置固定，
∴BD的长度是定值，
因此无论螺钉E在AC上如何滑动，PQ的长度始终等于BD长度的一半，保持不变。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题解题的关键是构造三角形，发现PQ为定长线段BD对应的中位线，利用中位线的性质即可快速判断线段长度的变化情况，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到P、Q分别是BE、DE的中点，联想到三角形中位线的相关知识，先连接固定端点B、D，判断PQ与BD的关系。因为B、D是固定横木的端点，BD长度固定不变，结合中位线的性质就能判断PQ的长度变化情况。
【解析】
连接BD，
∵P是BE的中点，Q是DE的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得$PQ=\frac{1}{2}BD$。
∵点B和点D的位置固定，
∴BD的长度是定值，
因此无论螺钉E在AC上如何滑动，PQ的长度始终等于BD长度的一半，保持不变。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题解题的关键是构造三角形，发现PQ为定长线段BD对应的中位线，利用中位线的性质即可快速判断线段长度的变化情况，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,王老师为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A,B两点的点O处,再分别取OA,OB的中点M,N,量得MN=10 m,则池塘的宽度AB为
20
m。答案
6.20
解析
【分析】
要计算无法直接测量的池塘宽度AB，首先观察已知条件：M、N分别是OA、OB的中点，可联想到三角形中位线的相关性质。我们先判断MN是△OAB的中位线，再利用中位线与第三边的数量关系即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵M是OA的中点，N是OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得AB=2MN，
已知MN=10 m，
∴AB=2×10=20（m）。
【答案】
20
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理在实际测量场景中的应用，解题核心是识别出中点连线为三角形中位线，直接利用定理计算即可，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.85
要计算无法直接测量的池塘宽度AB，首先观察已知条件：M、N分别是OA、OB的中点，可联想到三角形中位线的相关性质。我们先判断MN是△OAB的中位线，再利用中位线与第三边的数量关系即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵M是OA的中点，N是OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得AB=2MN，
已知MN=10 m，
∴AB=2×10=20（m）。
【答案】
20
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理在实际测量场景中的应用，解题核心是识别出中点连线为三角形中位线，直接利用定理计算即可，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.85
7.如图，在$□ ABCD$中，点M为边AD上一点，$AM=2MD$，点E，F分别是BM，CM的中点。若$EF=6$，则AM的长为
8
。答案
7.8
解析
【分析】
解题时首先观察点E、F的位置，二者分别是BM、CM的中点，可联想到三角形中位线定理，借助中位线与第三边的数量关系求出BC的长度；再利用平行四边形对边相等的性质得到AD的长度；最后结合AM=2MD的比例关系，即可计算出AM的长。
【解析】
∵点E，F分别是BM，CM的中点，
∴EF是△BCM的中位线，
根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}BC$，
∵$EF=6$，
∴$BC=2EF=2×6=12$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=12$。
∵$AM=2MD$，即$AM:AD=2:(2+1)=2:3$，
∴$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的性质；线段比例计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的性质，结合线段比例关系即可快速求解，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察点E、F的位置，二者分别是BM、CM的中点，可联想到三角形中位线定理，借助中位线与第三边的数量关系求出BC的长度；再利用平行四边形对边相等的性质得到AD的长度；最后结合AM=2MD的比例关系，即可计算出AM的长。
【解析】
∵点E，F分别是BM，CM的中点，
∴EF是△BCM的中位线，
根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}BC$，
∵$EF=6$，
∴$BC=2EF=2×6=12$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=12$。
∵$AM=2MD$，即$AM:AD=2:(2+1)=2:3$，
∴$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×12=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的性质；线段比例计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的性质，结合线段比例关系即可快速求解，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$，$F$分别是线段$AO$，$BO$的中点。若$AC+BD=24\ \mathrm{cm}$，$△ OAB$的周长是$18\ \mathrm{cm}$，则$EF$的长是
3
$\mathrm{cm}$。答案
8.3
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知AC+BD的长度，求出OA与OB的长度和；再根据△OAB的周长，计算出AB的长度；最后根据E、F是AO、BO的中点，判断EF是△OAB的中位线，利用三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD
∵AC + BD = 24 cm
∴OA + OB = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm
∵△OAB的周长为18 cm，即OA + OB + AB = 18 cm
∴AB = 18 - (OA + OB) = 18 - 12 = 6 cm
又
∵E、F分别是线段AO、BO的中点
∴EF是△OAB的中位线
根据三角形中位线定理，EF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3 cm
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先通过平行四边形对角线性质和三角形周长求出AB的长度，再利用中位线定理得到所求线段长度，是平面几何中性质结合应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知AC+BD的长度，求出OA与OB的长度和；再根据△OAB的周长，计算出AB的长度；最后根据E、F是AO、BO的中点，判断EF是△OAB的中位线，利用三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD
∵AC + BD = 24 cm
∴OA + OB = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm
∵△OAB的周长为18 cm，即OA + OB + AB = 18 cm
∴AB = 18 - (OA + OB) = 18 - 12 = 6 cm
又
∵E、F分别是线段AO、BO的中点
∴EF是△OAB的中位线
根据三角形中位线定理，EF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3 cm
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先通过平行四边形对角线性质和三角形周长求出AB的长度，再利用中位线定理得到所求线段长度，是平面几何中性质结合应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
9.已知:如图,点D,E,F分别是△ABC三边的中点。
求证:四边形ADEF是平行四边形。
求证:四边形ADEF是平行四边形。
答案
9.证明:
∵点D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE//AC。
∵点E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF//AB。
∴四边形ADEF是平行四边形。
∵点D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE//AC。
∵点E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF//AB。
∴四边形ADEF是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形ADEF是平行四边形，可使用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法。已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，我们可以借助三角形中位线定理推导对边的平行关系：首先由D、E分别是AB、BC的中点，可得DE是△ABC的中位线，从而推出DE平行于AC；再由E、F分别是BC、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，从而推出EF平行于AB，两组对边分别平行即可判定该四边形为平行四边形。
【解析】
证明：
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得DE//AC。
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得EF//AB。
∵四边形ADEF的两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，
∴四边形ADEF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵点D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE//AC。
∵点E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF//AB。
∴四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合中点条件识别三角形中位线，利用中位线的性质得到对边平行的关系，再结合平行四边形的判定定理即可完成证明，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ADEF是平行四边形，可使用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法。已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，我们可以借助三角形中位线定理推导对边的平行关系：首先由D、E分别是AB、BC的中点，可得DE是△ABC的中位线，从而推出DE平行于AC；再由E、F分别是BC、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，从而推出EF平行于AB，两组对边分别平行即可判定该四边形为平行四边形。
【解析】
证明：
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得DE//AC。
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得EF//AB。
∵四边形ADEF的两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，
∴四边形ADEF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵点D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE//AC。
∵点E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF//AB。
∴四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合中点条件识别三角形中位线，利用中位线的性质得到对边平行的关系，再结合平行四边形的判定定理即可完成证明，难度较低。
【难度系数】
0.8
