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1. 计算$5x^2y^2 · (-2xy^3) =$ （
A.$10x^2y^6$
B.$-10x^2y^6$
C.$10x^3y^5$
D.$-10x^3y^5$
D
）A.$10x^2y^6$
B.$-10x^2y^6$
C.$10x^3y^5$
D.$-10x^3y^5$
答案
1.D
解析
【分析】
这是单项式乘单项式的运算题，解题时按照单项式乘法的运算规则分步计算即可：第一步先计算两个单项式系数的乘积，注意符号不要出错；第二步分别计算相同字母的幂的乘积，依据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加；最后将各部分结果相乘，对照选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数乘积：$5 × (-2) = -10$
2. 计算$x$的幂的乘积：$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
3. 计算$y$的幂的乘积：$y^2 · y^3 = y^{2+3} = y^5$
将上述结果相乘可得：$5x^2y^2 · (-2xy^3) = -10x^3y^5$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察单项式乘法的运算规则，解题时要注意符号的判断以及同底数幂运算时指数是相加而非相乘，熟练掌握相关运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
这是单项式乘单项式的运算题，解题时按照单项式乘法的运算规则分步计算即可：第一步先计算两个单项式系数的乘积，注意符号不要出错；第二步分别计算相同字母的幂的乘积，依据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加；最后将各部分结果相乘，对照选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数乘积：$5 × (-2) = -10$
2. 计算$x$的幂的乘积：$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
3. 计算$y$的幂的乘积：$y^2 · y^3 = y^{2+3} = y^5$
将上述结果相乘可得：$5x^2y^2 · (-2xy^3) = -10x^3y^5$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察单项式乘法的运算规则，解题时要注意符号的判断以及同底数幂运算时指数是相加而非相乘，熟练掌握相关运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
2.若$(x-1)(x+3)=x^2+ax+b$，则$a,b$的值分别为 （
A.$a=2,b=3$
B.$a=-2,b=-3$
C.$a=-2,b=3$
D.$a=2,b=-3$
D
）A.$a=2,b=3$
B.$a=-2,b=-3$
C.$a=-2,b=3$
D.$a=2,b=-3$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定a、b的取值，需先将等号左侧的多项式乘积展开并合并同类项，再根据等式两边多项式相等时，相同次数项的系数对应相等的规律，即可求出a、b的值。
【解析】
首先计算等号左侧的多项式乘法：
$\begin{aligned}(x-1)(x+3)&=x· x + x·3 -1· x -1×3\\&=x^2+3x-x-3\\&=x^2+2x-3\end{aligned}$
已知$(x-1)(x+3)=x^2+ax+b$，因此可得$x^2+2x-3=x^2+ax+b$。
对比等式两边同类项的系数：一次项系数对应相等得$a=2$，常数项对应相等得$b=-3$。
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式运算；恒等式系数对应相等
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，主要考查多项式乘法的计算能力，以及对多项式相等时同类项系数对应相等规律的应用，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要确定a、b的取值，需先将等号左侧的多项式乘积展开并合并同类项，再根据等式两边多项式相等时，相同次数项的系数对应相等的规律，即可求出a、b的值。
【解析】
首先计算等号左侧的多项式乘法：
$\begin{aligned}(x-1)(x+3)&=x· x + x·3 -1· x -1×3\\&=x^2+3x-x-3\\&=x^2+2x-3\end{aligned}$
已知$(x-1)(x+3)=x^2+ax+b$，因此可得$x^2+2x-3=x^2+ax+b$。
对比等式两边同类项的系数：一次项系数对应相等得$a=2$，常数项对应相等得$b=-3$。
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式运算；恒等式系数对应相等
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，主要考查多项式乘法的计算能力，以及对多项式相等时同类项系数对应相等规律的应用，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 计算$(-a - b)^2 =$ （
A.$a^2 + b^2$
B.$a^2 - b^2$
C.$a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
C
）A.$a^2 + b^2$
B.$a^2 - b^2$
C.$a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先处理式子的符号：观察到括号内两项都是负号，可以先提取公因式-1，将原式转化为$[-(a+b)]^2$，根据偶次幂的性质，负数的偶次幂是正数，因此负号平方后消失，原式转化为$(a+b)^2$，再套用完全平方和公式展开即可得到结果；也可以直接把$(-a)$和$(-b)$看作两个整体，直接套用完全平方公式展开计算。
【解析】
方法一：先提取公负号变形计算
$(-a - b)^2 = [-(a + b)]^2$
根据积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$[-(a + b)]^2 = (-1)^2 × (a + b)^2 = 1 × (a + b)^2$
再根据完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入$m=a$，$n=b$得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
方法二：直接套用完全平方公式计算
把$(-a)$、$(-b)$看作两个整体，根据完全平方公式得：
$(-a - b)^2 = (-a)^2 + 2×(-a)×(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，易错点是混淆完全平方公式的符号，或者错误认为平方后负号仍保留导致计算错误，计算时可先提取括号内的公负号简化运算，降低符号出错的概率。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先处理式子的符号：观察到括号内两项都是负号，可以先提取公因式-1，将原式转化为$[-(a+b)]^2$，根据偶次幂的性质，负数的偶次幂是正数，因此负号平方后消失，原式转化为$(a+b)^2$，再套用完全平方和公式展开即可得到结果；也可以直接把$(-a)$和$(-b)$看作两个整体，直接套用完全平方公式展开计算。
【解析】
方法一：先提取公负号变形计算
$(-a - b)^2 = [-(a + b)]^2$
根据积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$[-(a + b)]^2 = (-1)^2 × (a + b)^2 = 1 × (a + b)^2$
再根据完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入$m=a$，$n=b$得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
方法二：直接套用完全平方公式计算
把$(-a)$、$(-b)$看作两个整体，根据完全平方公式得：
$(-a - b)^2 = (-a)^2 + 2×(-a)×(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，易错点是混淆完全平方公式的符号，或者错误认为平方后负号仍保留导致计算错误，计算时可先提取括号内的公负号简化运算，降低符号出错的概率。
【难度系数】
0.7
4. 下面各式中，其运算结果为$x^2 - 3x - 18$的是 （
A.$x(x-3)-18$
B.$(x+2)(x-9)$
C.$(x-3)(x+6)$
D.$(x+3)(x+6)$
A
）A.$x(x-3)-18$
B.$(x+2)(x-9)$
C.$(x-3)(x+6)$
D.$(x+3)(x+6)$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查整式运算结果的判断，解题思路是将每个选项的整式按照运算法则逐一化简，再把化简结果与题干给出的$x^2 - 3x - 18$进行对比，结果一致的即为正确选项。计算时先算乘法，再合并同类项，注意符号不要出错。
【解析】
我们逐个化简各选项：
A选项：$x(x-3)-18$，先计算单项式乘多项式：
$x(x-3)=x^2 - 3x$，再减18得$x^2 - 3x -18$，与题干结果一致。
B选项：根据多项式乘多项式法则计算$(x+2)(x-9)$：
$(x+2)(x-9)=x^2 -9x +2x -18 = x^2 -7x -18$，与题干结果不符。
C选项：计算$(x-3)(x+6)$：
$(x-3)(x+6)=x^2 +6x -3x -18 = x^2 +3x -18$，与题干结果不符。
D选项：计算$(x+3)(x+6)$：
$(x+3)(x+6)=x^2 +6x +3x +18 = x^2 +9x +18$，与题干结果不符。
综上，只有A选项运算结果符合要求。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考察整式乘法运算规则的应用，解题时只要逐项计算、仔细核对结果即可，计算过程中要特别注意正负号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式运算结果的判断，解题思路是将每个选项的整式按照运算法则逐一化简，再把化简结果与题干给出的$x^2 - 3x - 18$进行对比，结果一致的即为正确选项。计算时先算乘法，再合并同类项，注意符号不要出错。
【解析】
我们逐个化简各选项：
A选项：$x(x-3)-18$，先计算单项式乘多项式：
$x(x-3)=x^2 - 3x$，再减18得$x^2 - 3x -18$，与题干结果一致。
B选项：根据多项式乘多项式法则计算$(x+2)(x-9)$：
$(x+2)(x-9)=x^2 -9x +2x -18 = x^2 -7x -18$，与题干结果不符。
C选项：计算$(x-3)(x+6)$：
$(x-3)(x+6)=x^2 +6x -3x -18 = x^2 +3x -18$，与题干结果不符。
D选项：计算$(x+3)(x+6)$：
$(x+3)(x+6)=x^2 +6x +3x +18 = x^2 +9x +18$，与题干结果不符。
综上，只有A选项运算结果符合要求。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考察整式乘法运算规则的应用，解题时只要逐项计算、仔细核对结果即可，计算过程中要特别注意正负号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
5.若$m$，$n$是长方形的长和宽，且$(m+n)^2=9$，$(m-n)^2=1$，则这个长方形的面积是（
A.1
B.2
C.3
D.6
B
）A.1
B.2
C.3
D.6
答案
5.B
解析
【分析】
要计算长方形的面积，已知长为m、宽为n，因此核心是求出mn的值。我们可以从两个角度思考：方法一，利用完全平方公式将已知的两个等式展开，通过两式相减消去m²和n²项，直接得到含mn的等式求解；方法二，因为m、n均为正数，可先对两个完全平方等式开平方得到m+n和m-n的数值，再解二元一次方程组求出m、n的具体值，最后计算面积。
【解析】
方法一：
长方形面积$S = mn$，先展开已知的完全平方等式：
1. 由完全平方公式得：$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$ ①
2. $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 1$ ②
3. 用①减去②，左边化简得：$(m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) = 4mn$，右边为$9-1=8$
4. 因此$4mn=8$，解得$mn=2$，即长方形面积为2。
方法二：
因为m、n是长方形的长宽，均为正数，因此：
1. 由$(m+n)^2=9$得$m+n=3$，由$(m-n)^2=1$得$m-n=1$
2. 联立两式相加得$2m=4$，解得$m=2$，代入$m+n=3$得$n=1$
3. 长方形面积为$m× n=2×1=2$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用，既可以通过整体变形直接求出目标代数式的值，也可以通过解方程求出参数的具体值计算，体现了整体代入思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
要计算长方形的面积，已知长为m、宽为n，因此核心是求出mn的值。我们可以从两个角度思考：方法一，利用完全平方公式将已知的两个等式展开，通过两式相减消去m²和n²项，直接得到含mn的等式求解；方法二，因为m、n均为正数，可先对两个完全平方等式开平方得到m+n和m-n的数值，再解二元一次方程组求出m、n的具体值，最后计算面积。
【解析】
方法一：
长方形面积$S = mn$，先展开已知的完全平方等式：
1. 由完全平方公式得：$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$ ①
2. $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 1$ ②
3. 用①减去②，左边化简得：$(m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) = 4mn$，右边为$9-1=8$
4. 因此$4mn=8$，解得$mn=2$，即长方形面积为2。
方法二：
因为m、n是长方形的长宽，均为正数，因此：
1. 由$(m+n)^2=9$得$m+n=3$，由$(m-n)^2=1$得$m-n=1$
2. 联立两式相加得$2m=4$，解得$m=2$，代入$m+n=3$得$n=1$
3. 长方形面积为$m× n=2×1=2$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用，既可以通过整体变形直接求出目标代数式的值，也可以通过解方程求出参数的具体值计算，体现了整体代入思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
6.若$a^2 - 2a - 1 = 0$，则$(a - 1)^2$的值为
2
。答案
6.2
解析
【分析】
本题要求代数式的值，可先利用完全平方公式将待求式展开，观察展开式与已知等式的关系，发现展开式中包含已知等式中的同类项$a^2 - 2a$，因此可以通过移项先求出$a^2 - 2a$的值，再整体代入展开式计算即可，无需单独求出a的取值，简化计算过程。
【解析】
首先根据完全平方公式展开待求式：
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$
已知$a^2 - 2a - 1 = 0$，对等式移项可得：
$a^2 - 2a = 1$
将$a^2 - 2a = 1$代入展开后的式子计算：
$(a - 1)^2 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.等式的性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，结合已知条件采用整体代入的方法计算，避免了求解未知数的复杂过程，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式的值，可先利用完全平方公式将待求式展开，观察展开式与已知等式的关系，发现展开式中包含已知等式中的同类项$a^2 - 2a$，因此可以通过移项先求出$a^2 - 2a$的值，再整体代入展开式计算即可，无需单独求出a的取值，简化计算过程。
【解析】
首先根据完全平方公式展开待求式：
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$
已知$a^2 - 2a - 1 = 0$，对等式移项可得：
$a^2 - 2a = 1$
将$a^2 - 2a = 1$代入展开后的式子计算：
$(a - 1)^2 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.等式的性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，结合已知条件采用整体代入的方法计算，避免了求解未知数的复杂过程，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
7.已知单项式$3x^2y^3$与$-5x^2y^2$的积为$mx^4y^n$，那么$m - n =$
$-20$
。答案
7.$-20$
解析
【分析】
解题时首先需要运用单项式乘单项式的运算法则计算两个已知单项式的乘积，再将计算结果与题干给出的$mx^4y^n$进行对比，根据“两个单项式相等时，对应系数相等、相同字母的指数相等”的规律，分别求出$m$和$n$的值，最后代入$m-n$计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算$3x^2y^3$与$-5x^2y^2$的积：
根据单项式乘法法则，系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，指数相加：
系数：$3×(-5)=-15$
$x$的部分：$x^2· x^2=x^{2+2}=x^4$
$y$的部分：$y^3· y^2=y^{3+2}=y^5$
因此乘积为$-15x^4y^5$。
2. 对比乘积$mx^4y^n$，可得：
$m=-15$，$n=5$
3. 计算$m-n$：
$m-n=-15-5=-20$
【答案】
$-20$
【知识点】
单项式乘法，同底数幂运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式乘法的运算规则，解题时需注意系数的符号计算以及同底数幂相加的运算规律，避免因粗心算错系数或指数。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要运用单项式乘单项式的运算法则计算两个已知单项式的乘积，再将计算结果与题干给出的$mx^4y^n$进行对比，根据“两个单项式相等时，对应系数相等、相同字母的指数相等”的规律，分别求出$m$和$n$的值，最后代入$m-n$计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算$3x^2y^3$与$-5x^2y^2$的积：
根据单项式乘法法则，系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，指数相加：
系数：$3×(-5)=-15$
$x$的部分：$x^2· x^2=x^{2+2}=x^4$
$y$的部分：$y^3· y^2=y^{3+2}=y^5$
因此乘积为$-15x^4y^5$。
2. 对比乘积$mx^4y^n$，可得：
$m=-15$，$n=5$
3. 计算$m-n$：
$m-n=-15-5=-20$
【答案】
$-20$
【知识点】
单项式乘法，同底数幂运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式乘法的运算规则，解题时需注意系数的符号计算以及同底数幂相加的运算规律，避免因粗心算错系数或指数。
【难度系数】
0.8
8. 某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2-\frac{1}{2}x+1$，那么正确的计算结果是
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
。答案
8.$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据错误的运算结果反推出原本的多项式。学生错把乘法运算算成了加法运算，即原多项式加上$-3x^2$得到了$x^2-\frac{1}{2}x+1$，因此先用错误的结果减去$-3x^2$就能求出原多项式，再用原多项式乘$-3x^2$，即可得到正确的计算结果。
【解析】
解：设该多项式为$A$
根据错误运算的关系可得：
$A + (-3x^2) = x^2-\frac{1}{2}x+1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(x^2-\frac{1}{2}x+1) - (-3x^2)\\&=x^2-\frac{1}{2}x+1 + 3x^2\\&=4x^2-\frac{1}{2}x+1\end{aligned}$
正确运算为原多项式乘$-3x^2$，计算得：
$\begin{aligned}A·(-3x^2)&=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)×(-3x^2)\\&=4x^2×(-3x^2) + (-\frac{1}{2}x)×(-3x^2) + 1×(-3x^2)\\&=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【知识点】
整式的加减、单项式乘多项式、错中求解
【点评】
本题属于整式运算中的错中求解类题型，解题核心是先通过错误的运算关系还原未知的原多项式，再代入正确运算计算结果，既考查学生对整式运算法则的掌握熟练度，也锻炼逆向推导的思维能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据错误的运算结果反推出原本的多项式。学生错把乘法运算算成了加法运算，即原多项式加上$-3x^2$得到了$x^2-\frac{1}{2}x+1$，因此先用错误的结果减去$-3x^2$就能求出原多项式，再用原多项式乘$-3x^2$，即可得到正确的计算结果。
【解析】
解：设该多项式为$A$
根据错误运算的关系可得：
$A + (-3x^2) = x^2-\frac{1}{2}x+1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(x^2-\frac{1}{2}x+1) - (-3x^2)\\&=x^2-\frac{1}{2}x+1 + 3x^2\\&=4x^2-\frac{1}{2}x+1\end{aligned}$
正确运算为原多项式乘$-3x^2$，计算得：
$\begin{aligned}A·(-3x^2)&=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)×(-3x^2)\\&=4x^2×(-3x^2) + (-\frac{1}{2}x)×(-3x^2) + 1×(-3x^2)\\&=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【知识点】
整式的加减、单项式乘多项式、错中求解
【点评】
本题属于整式运算中的错中求解类题型，解题核心是先通过错误的运算关系还原未知的原多项式，再代入正确运算计算结果，既考查学生对整式运算法则的掌握熟练度，也锻炼逆向推导的思维能力。
【难度系数】
0.7
