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10.若$x^2 + ax + b = (x + 2)(x + 3)$，则$a + b =$
11
.答案
11
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用多项式乘法将等式右侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的性质，求出参数a、b的值，最后代入计算a+b的结果即可。具体思考步骤：第一步回忆多项式乘多项式的运算法则，第二步展开右侧式子并合并同类项，第三步对比左右两侧同类项的系数得到a、b的值，第四步计算a+b的和。
【解析】
首先运用多项式乘多项式的法则展开等式右侧的式子：
$\begin{aligned}(x + 2)(x + 3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
已知$x^2 + ax + b = (x + 2)(x + 3)$，因此$x^2 + ax + b = x^2 + 5x + 6$。
根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，可得：
一次项系数：$a = 5$
常数项：$b = 6$
因此$a + b = 5 + 6 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
多项式乘多项式运算；多项式相等的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查多项式乘法的计算能力，以及对多项式相等本质的理解，计算时注意合并同类项不要出错即可。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心思路是利用多项式乘法将等式右侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的性质，求出参数a、b的值，最后代入计算a+b的结果即可。具体思考步骤：第一步回忆多项式乘多项式的运算法则，第二步展开右侧式子并合并同类项，第三步对比左右两侧同类项的系数得到a、b的值，第四步计算a+b的和。
【解析】
首先运用多项式乘多项式的法则展开等式右侧的式子：
$\begin{aligned}(x + 2)(x + 3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
已知$x^2 + ax + b = (x + 2)(x + 3)$，因此$x^2 + ax + b = x^2 + 5x + 6$。
根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，可得：
一次项系数：$a = 5$
常数项：$b = 6$
因此$a + b = 5 + 6 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
多项式乘多项式运算；多项式相等的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查多项式乘法的计算能力，以及对多项式相等本质的理解，计算时注意合并同类项不要出错即可。
【难度系数】
0.9
11.如图,在$□ ABCD$中,$AE ⊥ CD$于点$E$,$∠ B=65°$,则$∠ DAE$的度数为
25°
.答案
25°
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形对角相等的性质，可得∠D与已知∠B的度数相等；再结合AE垂直CD的条件，可知△AED是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，因此用90°减去∠D的度数，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D = ∠B = 65°（平行四边形的对角相等），
∵AE⊥CD，
∴∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，∠DAE + ∠D = 90°，
∴∠DAE = 90° - ∠D = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何题，结合了平行四边形的角的性质和直角三角形的内角性质考查，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形对角相等的性质，可得∠D与已知∠B的度数相等；再结合AE垂直CD的条件，可知△AED是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，因此用90°减去∠D的度数，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D = ∠B = 65°（平行四边形的对角相等），
∵AE⊥CD，
∴∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，∠DAE + ∠D = 90°，
∴∠DAE = 90° - ∠D = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何题，结合了平行四边形的角的性质和直角三角形的内角性质考查，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
12.如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到$△ DEF$.若$AB=8\ \mathrm{cm},BE=4\ \mathrm{cm},DH=3\ \mathrm{cm}$,则图中阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
26
解析
【分析】
解题时我们可以利用平移的性质做面积转化求解：首先平移前后的两个图形全等、面积相等，观察图形可得△ABC和△DEF是平移得到的全等三角形，两个三角形同时减去公共重叠部分△HEC后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再计算梯形ABEH的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的
∴△ABC≌△DEF，DE=AB=8cm，因此$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
给两个三角形面积同时减去公共部分$△ HEC$的面积，可得：
$S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，即$S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$
已知DH=3cm，因此$HE=DE-DH=8-3=5\mathrm{cm}$
又已知$BE=4\mathrm{cm}$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$：
$S_{梯形ABEH}=\frac{1}{2}×(HE+AB)× BE=\frac{1}{2}×(5+8)×4=26\mathrm{cm}^2$
【答案】
26
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，全等三角形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质做面积转化，无需直接计算不规则阴影部分的面积，将其转化为规则梯形的面积求解即可，是平移应用的典型题型，掌握面积转化的思想可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用平移的性质做面积转化求解：首先平移前后的两个图形全等、面积相等，观察图形可得△ABC和△DEF是平移得到的全等三角形，两个三角形同时减去公共重叠部分△HEC后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再计算梯形ABEH的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的
∴△ABC≌△DEF，DE=AB=8cm，因此$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
给两个三角形面积同时减去公共部分$△ HEC$的面积，可得：
$S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，即$S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$
已知DH=3cm，因此$HE=DE-DH=8-3=5\mathrm{cm}$
又已知$BE=4\mathrm{cm}$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$：
$S_{梯形ABEH}=\frac{1}{2}×(HE+AB)× BE=\frac{1}{2}×(5+8)×4=26\mathrm{cm}^2$
【答案】
26
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，全等三角形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质做面积转化，无需直接计算不规则阴影部分的面积，将其转化为规则梯形的面积求解即可，是平移应用的典型题型，掌握面积转化的思想可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
答案
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又
∵BE=DF,
∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF,
∴$S_{△ ABE}=S_{△ AEF}=2$.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴$S_{△ AEF}=S_{△ CEF}=2$,$EO=FO$.
∴$S_{△ CFO}=1$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又
∵BE=DF,
∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF,
∴$S_{△ ABE}=S_{△ AEF}=2$.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴$S_{△ AEF}=S_{△ CEF}=2$,$EO=FO$.
∴$S_{△ CFO}=1$.
解析
【分析】
（1）要证明四边形AECF是平行四边形，结合已知条件涉及平行四边形对角线、对角线上的线段相等，优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理：首先根据平行四边形ABCD的性质得到AO=CO，BO=DO，再结合BE=DF，推导得出EO=FO，即可满足AECF对角线互相平分的判定条件。
（2）求△CFO的面积，利用等底同高的三角形面积相等的规律推导：首先由BE=EF可知△ABE和△AEF等底同高，面积相等；再由平行四边形AECF的性质得到△AEF和△CEF面积相等，且O是EF中点，因此△CFO的面积为△CEF面积的一半，即可求出结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又
∵BE=DF,
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∵AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF，△ABE和△AEF以BE、EF为底时高均为点A到BD的距离，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ AEF}=2$.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴对角线AF将平行四边形AECF分为面积相等的两部分，即$S_{△ AEF}=S_{△ CEF}=2$，且由平行四边形性质得EO=FO.
∵△CFO和△CEO以FO、EO为底时高均为点C到BD的距离，
∴$S_{△ CFO}=\frac{1}{2}S_{△ CEF}=1$.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，证明成立；
(2) $△ CFO$的面积为1
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，等积变换
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与判定，以及三角形面积的等积变换规律，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，灵活运用“等底同高的三角形面积相等”的结论推导面积关系，属于基础的几何综合题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形AECF是平行四边形，结合已知条件涉及平行四边形对角线、对角线上的线段相等，优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理：首先根据平行四边形ABCD的性质得到AO=CO，BO=DO，再结合BE=DF，推导得出EO=FO，即可满足AECF对角线互相平分的判定条件。
（2）求△CFO的面积，利用等底同高的三角形面积相等的规律推导：首先由BE=EF可知△ABE和△AEF等底同高，面积相等；再由平行四边形AECF的性质得到△AEF和△CEF面积相等，且O是EF中点，因此△CFO的面积为△CEF面积的一半，即可求出结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又
∵BE=DF,
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∵AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF，△ABE和△AEF以BE、EF为底时高均为点A到BD的距离，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ AEF}=2$.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴对角线AF将平行四边形AECF分为面积相等的两部分，即$S_{△ AEF}=S_{△ CEF}=2$，且由平行四边形性质得EO=FO.
∵△CFO和△CEO以FO、EO为底时高均为点C到BD的距离，
∴$S_{△ CFO}=\frac{1}{2}S_{△ CEF}=1$.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，证明成立；
(2) $△ CFO$的面积为1
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，等积变换
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与判定，以及三角形面积的等积变换规律，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，灵活运用“等底同高的三角形面积相等”的结论推导面积关系，属于基础的几何综合题型。
【难度系数】
0.7
14.【情境题】2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的$\frac{4}{5}$，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
答案
(1)解:设每个A种挂件的价格为x元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元,根据题意,得
$\frac{300}{\frac{4}{5}x}=\frac{200}{x}+7$,
解得x=25.
经检验,x=25是所列方程的根,且符合题意.
答:每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客最多购买m个A种挂件,
则购买(m+5)个B种挂件,
又结合(1)知每个A种挂件的价格为25元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}×25=20$(元),
∴25m+20(m+5)≤600.
∴$m≤11\frac{1}{9}$.
又
∵m为整数,
∴m=11.
答:该游客最多购买11个A种挂件.
$\frac{300}{\frac{4}{5}x}=\frac{200}{x}+7$,
解得x=25.
经检验,x=25是所列方程的根,且符合题意.
答:每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客最多购买m个A种挂件,
则购买(m+5)个B种挂件,
又结合(1)知每个A种挂件的价格为25元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}×25=20$(元),
∴25m+20(m+5)≤600.
∴$m≤11\frac{1}{9}$.
又
∵m为整数,
∴m=11.
答:该游客最多购买11个A种挂件.
解析
【分析】
(1) 本题属于分式方程的实际应用问题，首先设每个A种挂件的价格为x元，即可表示出B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元，再根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”这一等量关系列分式方程，求解后注意检验根是否符合方程和实际意义。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用问题，设购买A种挂件的数量为m个，即可表示出B种挂件的购买数量为(m+5)个，结合(1)求出的两种挂件单价，根据“总费用不超过600元”的不等关系列不等式，求解后结合m为正整数的实际要求，取符合条件的最大值即可。
【解析】
(1)解:设每个A种挂件的价格为x元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元,根据题意,得
$\frac{300}{\frac{4}{5}x}=\frac{200}{x}+7$,
解得x=25.
经检验,x=25是所列方程的根,且符合题意.
答:每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客购买m个A种挂件,
则购买(m+5)个B种挂件,
结合(1)知每个A种挂件的价格为25元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}×25=20$(元),
根据总费用不超过600元列不等式：
$25m+20(m+5)≤600$,
解得$m≤11\frac{1}{9}$.
∵m为正整数,
∴m的最大值为11.
答:该游客最多购买11个A种挂件.
【答案】
(1)25元；(2)11个
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合运动会文创产品的生活情境命题，趣味性强，解题核心是准确梳理题干中的等量关系、不等关系，列出对应的方程和不等式求解，需要注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题的解要符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于分式方程的实际应用问题，首先设每个A种挂件的价格为x元，即可表示出B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元，再根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”这一等量关系列分式方程，求解后注意检验根是否符合方程和实际意义。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用问题，设购买A种挂件的数量为m个，即可表示出B种挂件的购买数量为(m+5)个，结合(1)求出的两种挂件单价，根据“总费用不超过600元”的不等关系列不等式，求解后结合m为正整数的实际要求，取符合条件的最大值即可。
【解析】
(1)解:设每个A种挂件的价格为x元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元,根据题意,得
$\frac{300}{\frac{4}{5}x}=\frac{200}{x}+7$,
解得x=25.
经检验,x=25是所列方程的根,且符合题意.
答:每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客购买m个A种挂件,
则购买(m+5)个B种挂件,
结合(1)知每个A种挂件的价格为25元,则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}×25=20$(元),
根据总费用不超过600元列不等式：
$25m+20(m+5)≤600$,
解得$m≤11\frac{1}{9}$.
∵m为正整数,
∴m的最大值为11.
答:该游客最多购买11个A种挂件.
【答案】
(1)25元；(2)11个
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合运动会文创产品的生活情境命题，趣味性强，解题核心是准确梳理题干中的等量关系、不等关系，列出对应的方程和不等式求解，需要注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题的解要符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
