登录
1. 下列式子属于分式的是 （
A.$\dfrac{x-1}{x}$
B.$\dfrac{a+b}{3}$
C.$x-1$
D.$a+\dfrac{1}{2}$
A
）A.$\dfrac{x-1}{x}$
B.$\dfrac{a+b}{3}$
C.$x-1$
D.$a+\dfrac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个式子是否为分式，首先需明确分式的判定标准：分式是两个整式相除的商式，核心判定依据是分母中必须含有字母（注意π等特殊常数不算字母）。解题时我们只需对照这个标准，逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
根据分式的定义：若A、B为整式，且B中含有字母，则$\dfrac{A}{B}$为分式。
选项A：$\dfrac{x-1}{x}$的分母为$x$，含有字母，分子$x-1$是整式，符合分式的定义，属于分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{3}$的分母为3，是不含字母的常数，属于整式中的多项式，不是分式；
选项C：$x-1$是多项式，属于整式，不是分式；
选项D：$a+\dfrac{1}{2}$是多项式，属于整式，不是分式。
综上，只有选项A是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住“分母含字母”这一分式的核心判定特征，避免将分母为常数的整式错认为分式。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是否为分式，首先需明确分式的判定标准：分式是两个整式相除的商式，核心判定依据是分母中必须含有字母（注意π等特殊常数不算字母）。解题时我们只需对照这个标准，逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
根据分式的定义：若A、B为整式，且B中含有字母，则$\dfrac{A}{B}$为分式。
选项A：$\dfrac{x-1}{x}$的分母为$x$，含有字母，分子$x-1$是整式，符合分式的定义，属于分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{3}$的分母为3，是不含字母的常数，属于整式中的多项式，不是分式；
选项C：$x-1$是多项式，属于整式，不是分式；
选项D：$a+\dfrac{1}{2}$是多项式，属于整式，不是分式。
综上，只有选项A是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住“分母含字母”这一分式的核心判定特征，避免将分母为常数的整式错认为分式。
【难度系数】
0.9
2. 如果不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x＜1$，那么$a$必须满足 （
A.$a＜0$
B.$a≤1$
C.$a＞-1$
D.$a＜-1$
D
）A.$a＜0$
B.$a≤1$
C.$a＞-1$
D.$a＜-1$
答案
D
解析
【分析】
解这道题首先要联想到不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。观察题目给出的不等式，原不等号是“＞”，最终解集的不等号变成了“＜”，方向发生了反转，说明不等式两边同时除以的系数$(a+1)$是负数，由此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
已知不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a + 1 ＜ 0$
解这个不等式，两边同时减1，得：
$a ＜ -1$
因此$a$必须满足$a ＜ -1$。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；含参数的一元一次不等式
【点评】
本题是不等式章节的基础常考题，核心考查不等式性质的应用，解题的关键是根据不等号的方向变化，判断未知数系数的正负性，这也是解含参数不等式的核心突破口，要注意避免忽略不等号变向的条件导致出错。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要联想到不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。观察题目给出的不等式，原不等号是“＞”，最终解集的不等号变成了“＜”，方向发生了反转，说明不等式两边同时除以的系数$(a+1)$是负数，由此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
已知不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a + 1 ＜ 0$
解这个不等式，两边同时减1，得：
$a ＜ -1$
因此$a$必须满足$a ＜ -1$。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；含参数的一元一次不等式
【点评】
本题是不等式章节的基础常考题，核心考查不等式性质的应用，解题的关键是根据不等号的方向变化，判断未知数系数的正负性，这也是解含参数不等式的核心突破口，要注意避免忽略不等号变向的条件导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是 （
A.$ x(2x + 1) = 3x + 1 $
B.$ 1 - a^2 = (1 + a)(1 - a) $
C.$ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 $
D.$ a^2 - 2a + 3 = (a - 1)^2 + 2 $
B
）A.$ x(2x + 1) = 3x + 1 $
B.$ 1 - a^2 = (1 + a)(1 - a) $
C.$ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 $
D.$ a^2 - 2a + 3 = (a - 1)^2 + 2 $
答案
B
解析
【分析】
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需抓住3个核心要点：①变形的左边是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。我们只需逐一核对四个选项是否符合上述要点即可。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：左边展开为$2x^2+x$，和右边$3x+1$不相等，不是恒等变形，且右边是和的形式，不是整式的积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：左边是多项式$1-a^2$，右边是$(1+a)$和$(1-a)$两个整式的乘积，且符合平方差公式，是恒等变形，完全符合因式分解的定义，正确；
C选项：左边是两个整式的积，右边是多项式，这属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：右边是$(a-1)^2+2$，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的定义
2.整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的不同，牢记因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.9
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需抓住3个核心要点：①变形的左边是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。我们只需逐一核对四个选项是否符合上述要点即可。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：左边展开为$2x^2+x$，和右边$3x+1$不相等，不是恒等变形，且右边是和的形式，不是整式的积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：左边是多项式$1-a^2$，右边是$(1+a)$和$(1-a)$两个整式的乘积，且符合平方差公式，是恒等变形，完全符合因式分解的定义，正确；
C选项：左边是两个整式的积，右边是多项式，这属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：右边是$(a-1)^2+2$，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的定义
2.整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的不同，牢记因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.9
4. 下列长度的三条线段,能组成直角三角形的是 （
A.$3^2,4^2,5^2$
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
D.$7,12,13$
C
）A.$3^2,4^2,5^2$
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
D.$7,12,13$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们用勾股定理的逆定理解题即可：若三角形三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。解题时先确定每个选项里的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等就能判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三条线段长度分别为$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，最长边为25。
两短边平方和：$9^2+16^2=81+256=337$，最长边平方：$25^2=625$，$337≠625$，不能组成直角三角形。
选项B：三条线段中最长边为$\frac{1}{3}$。
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形。
选项C：三条线段中最长边为$\frac{5}{3}$。
两短边平方和：$1^2+(\frac{4}{3})^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$，最长边平方：$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，二者相等，能组成直角三角形。
选项D：三条线段中最长边为13。
两短边平方和：$7^2+12^2=49+144=193$，最长边平方：$13^2=169$，$193≠169$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，易错点是容易误选A选项，忽略A中线段是3、4、5平方后的数值，解题时要先准确计算各线段长度，再验证平方和关系。
【难度系数】
0.7
这道题考查直角三角形的判定，我们用勾股定理的逆定理解题即可：若三角形三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。解题时先确定每个选项里的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等就能判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三条线段长度分别为$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，最长边为25。
两短边平方和：$9^2+16^2=81+256=337$，最长边平方：$25^2=625$，$337≠625$，不能组成直角三角形。
选项B：三条线段中最长边为$\frac{1}{3}$。
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形。
选项C：三条线段中最长边为$\frac{5}{3}$。
两短边平方和：$1^2+(\frac{4}{3})^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$，最长边平方：$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，二者相等，能组成直角三角形。
选项D：三条线段中最长边为13。
两短边平方和：$7^2+12^2=49+144=193$，最长边平方：$13^2=169$，$193≠169$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，易错点是容易误选A选项，忽略A中线段是3、4、5平方后的数值，解题时要先准确计算各线段长度，再验证平方和关系。
【难度系数】
0.7
5. 在$y=(k+2)x + k^2 -4$中，若$y$是$x$的正比例函数，则$k$的值为 （
A.2
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.无法确定
A
）A.2
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】要确定k的值，首先需明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，核心特征有两个：一是x的系数不为0，二是常数项为0。我们可以根据这两个特征分别列等式和不等式，求解后取公共的k值即可。
【解析】解：$\because y=(k+2)x + k^2 -4$是正比例函数
$\therefore$ 需同时满足两个条件：
1. 常数项为0：$k^2 - 4 = 0$，
解这个方程得：$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$；
2. 一次项系数不为0：$k+2≠0$，
解得：$k≠-2$。
综合两个条件，排除$k=-2$，故$k=2$。
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义；解含平方的方程；不等式应用
【点评】本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略正比例函数中一次项系数不为0的限制条件，误选C选项。解题时要牢记正比例函数定义的两个要求，分别求解后取符合所有条件的结果即可。
【难度系数】0.7
【解析】解：$\because y=(k+2)x + k^2 -4$是正比例函数
$\therefore$ 需同时满足两个条件：
1. 常数项为0：$k^2 - 4 = 0$，
解这个方程得：$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$；
2. 一次项系数不为0：$k+2≠0$，
解得：$k≠-2$。
综合两个条件，排除$k=-2$，故$k=2$。
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义；解含平方的方程；不等式应用
【点评】本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略正比例函数中一次项系数不为0的限制条件，误选C选项。解题时要牢记正比例函数定义的两个要求，分别求解后取符合所有条件的结果即可。
【难度系数】0.7
6.关于一次函数$y=x-2$，下列说法不正确的是 （
A.函数值$y$随自变量$x$的增大而增大
B.图象经过第一、三、四象限
C.图象与$y$轴交于点$(0,-2)$
D.当$x＜2$时，$y＞0$
D
）A.函数值$y$随自变量$x$的增大而增大
B.图象经过第一、三、四象限
C.图象与$y$轴交于点$(0,-2)$
D.当$x＜2$时，$y＞0$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查一次函数的图象与性质，解题时我们结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的意义逐一分析选项：先根据$k$的正负判断函数增减性，再结合$b$的正负判断图象经过的象限，代入$x=0$求函数与$y$轴的交点，最后通过解不等式判断$x＜2$时$y$的取值范围，找出不正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：一次函数$y=x-2$中$k=1＞0$，因此函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，该说法正确，不符合题意；
B选项：$k=1＞0$说明图象经过第一、三象限，$b=-2＜0$说明图象与$y$轴交于负半轴，因此图象整体经过第一、三、四象限，该说法正确，不符合题意；
C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=0-2=-2$，因此图象与$y$轴交于点$(0,-2)$，该说法正确，不符合题意；
D选项：令$y＞0$，即$x-2＞0$，解得$x＞2$，说明只有当$x＞2$时$y＞0$，当$x＜2$时$y＜0$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数解析式中$k$、$b$分别对函数增减性、图象所在象限的影响，能结合解析式求解对应函数值的取值范围即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这道题考查一次函数的图象与性质，解题时我们结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的意义逐一分析选项：先根据$k$的正负判断函数增减性，再结合$b$的正负判断图象经过的象限，代入$x=0$求函数与$y$轴的交点，最后通过解不等式判断$x＜2$时$y$的取值范围，找出不正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：一次函数$y=x-2$中$k=1＞0$，因此函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，该说法正确，不符合题意；
B选项：$k=1＞0$说明图象经过第一、三象限，$b=-2＜0$说明图象与$y$轴交于负半轴，因此图象整体经过第一、三、四象限，该说法正确，不符合题意；
C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=0-2=-2$，因此图象与$y$轴交于点$(0,-2)$，该说法正确，不符合题意；
D选项：令$y＞0$，即$x-2＞0$，解得$x＞2$，说明只有当$x＞2$时$y＞0$，当$x＜2$时$y＜0$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数解析式中$k$、$b$分别对函数增减性、图象所在象限的影响，能结合解析式求解对应函数值的取值范围即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7.已知一组数据:6,2,4,x,5,它们的平均数是4,则x的值为 （
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
本题考查算术平均数的应用，解题思路如下：首先回忆算术平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。题目已经给出这组数据的平均数和除x外的其他数据，我们可以先根据平均数求出这组数据的总和，再用总和减去已知数据的和，即可求出x的值；也可以直接根据平均数公式列一元一次方程求解。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$（其中$\bar{x}$为平均数，$n$为数据的个数）。
已知这组数据共有5个，平均数为4，因此这组数据的总和为：$4×5=20$。
已知的4个数据的和为：$6+2+4+5=17$。
因此$x=20-17=3$。
也可列方程求解：$\frac{6+2+4+x+5}{5}=4$，
化简得：$17+x=20$，
解得：$x=3$。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平均数计算公式的掌握，计算过程中只要注意数据求和的准确性，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平均数的应用，解题思路如下：首先回忆算术平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。题目已经给出这组数据的平均数和除x外的其他数据，我们可以先根据平均数求出这组数据的总和，再用总和减去已知数据的和，即可求出x的值；也可以直接根据平均数公式列一元一次方程求解。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$（其中$\bar{x}$为平均数，$n$为数据的个数）。
已知这组数据共有5个，平均数为4，因此这组数据的总和为：$4×5=20$。
已知的4个数据的和为：$6+2+4+5=17$。
因此$x=20-17=3$。
也可列方程求解：$\frac{6+2+4+x+5}{5}=4$，
化简得：$17+x=20$，
解得：$x=3$。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平均数计算公式的掌握，计算过程中只要注意数据求和的准确性，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,P是AB的中点,连接DP,E是DP的中点,连接OE,则OE的长是 (
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4
C
)A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的平行四边形入手，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得点O是BD的中点；再结合E是DP中点的条件，联想到三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是中位线，中位线长度等于第三边的一半。我们先求出BP的长度，再利用中位线的性质就能算出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分）
∵E是DP的中点
∴OE是△DPB的中位线
∴OE = $\frac{1}{2}$BP
又
∵P是AB的中点，AB=8
∴BP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4
∴OE = $\frac{1}{2}$×4 = 2
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考察平行四边形性质和三角形中位线定理的结合应用，解题的关键是准确识别出三角形的中位线，推导线段之间的数量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的平行四边形入手，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得点O是BD的中点；再结合E是DP中点的条件，联想到三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是中位线，中位线长度等于第三边的一半。我们先求出BP的长度，再利用中位线的性质就能算出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分）
∵E是DP的中点
∴OE是△DPB的中位线
∴OE = $\frac{1}{2}$BP
又
∵P是AB的中点，AB=8
∴BP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4
∴OE = $\frac{1}{2}$×4 = 2
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考察平行四边形性质和三角形中位线定理的结合应用，解题的关键是准确识别出三角形的中位线，推导线段之间的数量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
9.若分式$\frac{x^2 -4}{x -2}$的值为0，则$x=$
-2
。答案
-2
解析
【分析】要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。我们可以先求出使分子为0的x的取值，再代入分母验证，排除让分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】分式$\frac{x^2 -4}{x -2}$的值为0，需同时满足：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$(x+2)(x-2)=0$
解得：$x=2$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$
结合两个条件，排除$x=2$，可得$x=-2$
【答案】-2
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】本题是分式相关的基础常考题，易错点是解题时只考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，从而误填2，解题时要牢记两个条件需同时满足，最后要代入验证分母的取值。
【难度系数】0.7
【解析】分式$\frac{x^2 -4}{x -2}$的值为0，需同时满足：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$(x+2)(x-2)=0$
解得：$x=2$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$
结合两个条件，排除$x=2$，可得$x=-2$
【答案】-2
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】本题是分式相关的基础常考题，易错点是解题时只考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，从而误填2，解题时要牢记两个条件需同时满足，最后要代入验证分母的取值。
【难度系数】0.7
