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1.（扬州中考）关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论中正确的是
【 】
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
【 】
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值来判断。解题步骤为：第一步先从给定的一元二次方程中找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入公式计算得：$\Delta = (-3)^2 -4×1×1 =9-4=5$，
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查根的判别式的应用，只需牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值来判断。解题步骤为：第一步先从给定的一元二次方程中找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入公式计算得：$\Delta = (-3)^2 -4×1×1 =9-4=5$，
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查根的判别式的应用，只需牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.（潍坊中考）若一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$有两个相等的实数根，则c的值为【 】
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
答案
D
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，求参数c的值，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题对应$\Delta=0$的情况，我们只需从给定方程中找出$a$、$b$的值，代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$c$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入$a$、$b$的值得：$(-2)^2 - 4×1× c = 0$，
计算得：$4 - 4c = 0$，
移项得：$4c = 4$，
解得：$c = 1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，求参数c的值，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题对应$\Delta=0$的情况，我们只需从给定方程中找出$a$、$b$的值，代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$c$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入$a$、$b$的值得：$(-2)^2 - 4×1× c = 0$，
计算得：$4 - 4c = 0$，
移项得：$4c = 4$，
解得：$c = 1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. (安徽中考)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 【 】
A.$ x^2 + 1 = 0 $
B.$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
C.$ x^2 + x + 1 = 0 $
D.$ x^2 + x - 1 = 0 $
A.$ x^2 + 1 = 0 $
B.$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
C.$ x^2 + x + 1 = 0 $
D.$ x^2 + x - 1 = 0 $
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式相关知识。解题思路为：首先明确对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；接下来分别计算四个选项中方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：
若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合题意；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合题意；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程实根个数的对应关系，只要熟练掌握判别式的计算方法和判定规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式相关知识。解题思路为：首先明确对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；接下来分别计算四个选项中方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：
若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合题意；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合题意；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程实根个数的对应关系，只要熟练掌握判别式的计算方法和判定规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
4.（内江中考）若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$有实数根，则实数a的取值范围是 【 】
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心要求：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们需要分别根据这两个条件列出关于a的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意不能遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，否则容易出错。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a ≥ 0$
解不等式$8-4a≥0$：
移项得$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$
综上，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的易错题，核心陷阱在于容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到$a≤2$错选A。解题时要先满足方程的类型要求，再结合根的情况用判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需明确两个核心要求：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们需要分别根据这两个条件列出关于a的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意不能遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，否则容易出错。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a ≥ 0$
解不等式$8-4a≥0$：
移项得$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$
综上，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的易错题，核心陷阱在于容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到$a≤2$错选A。解题时要先满足方程的类型要求，再结合根的情况用判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.7
5. (西宁中考)若关于x的一元二次方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值：
-1(答案不唯一)
.答案
5. -1(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件确定k的取值范围：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，因此首先排除k=0的情况；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入系数计算Δ并解不等式，就能得到k的取值范围，最后在范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$
解不等式$4-4k＞0$，得：
$4 ＞ 4k$，即$k ＜ 1$
综上，k的取值范围为$k ＜ 1$且$k ≠ 0$，取该范围内任意一个数即可，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程相关概念的综合应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致取值范围出错，只要牢记相关概念和判别式的使用规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件确定k的取值范围：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，因此首先排除k=0的情况；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入系数计算Δ并解不等式，就能得到k的取值范围，最后在范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$
解不等式$4-4k＞0$，得：
$4 ＞ 4k$，即$k ＜ 1$
综上，k的取值范围为$k ＜ 1$且$k ≠ 0$，取该范围内任意一个数即可，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程相关概念的综合应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致取值范围出错，只要牢记相关概念和判别式的使用规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
6. (上海中考)如果一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么m的取值范围是
$m＞\frac{1}{8}$
。答案
6. $m＞\frac{1}{8}$
解析
【分析】
要解决一元二次方程无实数根求参数取值范围的问题，首先回忆一元二次方程根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。本题中先确定方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta＜0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：
$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记不同根的情况对应的判别式符号，同时解含负系数的不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程无实数根求参数取值范围的问题，首先回忆一元二次方程根的判别式与根的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。本题中先确定方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta＜0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：
$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记不同根的情况对应的判别式符号，同时解含负系数的不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
7. 已知一元二次方程$(a - 3)x^2 - 4x + 2 = 0$.
（1）若方程的一个根为$x=-1$,则$a$的值为
（2）若方程有两个相等的实数根,求$a$的值.
（1）若方程的一个根为$x=-1$,则$a$的值为
-3
;（2）若方程有两个相等的实数根,求$a$的值.
答案
7. （1）-3 （2）根据题意，得Δ=16-8(a-3)=0且a-3≠0.解得a=5
解析
【分析】
（1）已知方程的根求参数时，根据方程根的定义，根能使方程左右两边相等，因此将x=-1代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解后验证二次项系数不为0即可；
（2）一元二次方程有两个相等实数根需满足两个条件：一是根的判别式Δ=0，二是二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程）。先确定方程的各项系数，代入判别式公式列方程，结合二次项系数的限制条件求解即可。
【解析】
（1）将$x=-1$代入一元二次方程$(a - 3)x^2 - 4x + 2 = 0$，得：
$(a-3)×(-1)^2 -4×(-1) +2 = 0$
化简得：$a-3 +4 +2 =0$，即$a+3=0$，解得$a=-3$。
此时$a-3=-6≠0$，符合一元二次方程的要求。
（2）对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。
本题中$A=a-3$，$B=-4$，$C=2$，根据题意得：
$\begin{cases}\Delta=(-4)^2 -4×(a-3)×2=0 \\a-3≠0\end{cases}$
解第一个方程：$16 - 8(a-3)=0$，化简得$16-8a+24=0$，即$40-8a=0$，解得$a=5$。
验证$a=5$时$a-3=2≠0$，符合条件。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$；（2）$\boldsymbol{a=5}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，牢记相关概念和判别式的应用规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）已知方程的根求参数时，根据方程根的定义，根能使方程左右两边相等，因此将x=-1代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解后验证二次项系数不为0即可；
（2）一元二次方程有两个相等实数根需满足两个条件：一是根的判别式Δ=0，二是二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程）。先确定方程的各项系数，代入判别式公式列方程，结合二次项系数的限制条件求解即可。
【解析】
（1）将$x=-1$代入一元二次方程$(a - 3)x^2 - 4x + 2 = 0$，得：
$(a-3)×(-1)^2 -4×(-1) +2 = 0$
化简得：$a-3 +4 +2 =0$，即$a+3=0$，解得$a=-3$。
此时$a-3=-6≠0$，符合一元二次方程的要求。
（2）对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。
本题中$A=a-3$，$B=-4$，$C=2$，根据题意得：
$\begin{cases}\Delta=(-4)^2 -4×(a-3)×2=0 \\a-3≠0\end{cases}$
解第一个方程：$16 - 8(a-3)=0$，化简得$16-8a+24=0$，即$40-8a=0$，解得$a=5$。
验证$a=5$时$a-3=2≠0$，符合条件。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$；（2）$\boldsymbol{a=5}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，牢记相关概念和判别式的应用规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
