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8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$.
（1）若方程有一个根为0，求$k$的值；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根.
（1）若方程有一个根为0，求$k$的值；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根.
答案
（1）由条件可知，$0^2-(2k+1)×0+k^2+k=0$，即$k^2+k=0$.解得$k=0$或$k=-1$ （2）
∵Δ=$[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根
∵Δ=$[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根
解析
【分析】
（1）已知方程的一个根为0，根据一元二次方程根的定义，将x=0代入原方程，即可得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值；
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，只需证明一元二次方程根的判别式Δ＞0即可，先确定方程各项的系数a、b、c，代入Δ=b²-4ac计算，判断结果的正负性即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$有一个根为0，
∴把$x=0$代入方程得：$0^2-(2k+1)×0+k^2+k=0$，
整理得$k^2 +k=0$，
因式分解得$k(k+1)=0$，
解得$k=0$或$k=-1$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，
其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2 +k$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2k+1)]^2-4×1×(k^2 +k)$
$=4k^2 +4k +1 -4k^2 -4k$
$=1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$k=0$或$k=-1$；
（2）方程有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问直接利用根的定义代入求解即可，难度较低；第二问考查根的判别式的应用，计算时需注意完全平方公式展开和合并同类项的准确性，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）已知方程的一个根为0，根据一元二次方程根的定义，将x=0代入原方程，即可得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值；
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，只需证明一元二次方程根的判别式Δ＞0即可，先确定方程各项的系数a、b、c，代入Δ=b²-4ac计算，判断结果的正负性即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$有一个根为0，
∴把$x=0$代入方程得：$0^2-(2k+1)×0+k^2+k=0$，
整理得$k^2 +k=0$，
因式分解得$k(k+1)=0$，
解得$k=0$或$k=-1$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，
其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2 +k$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2k+1)]^2-4×1×(k^2 +k)$
$=4k^2 +4k +1 -4k^2 -4k$
$=1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$k=0$或$k=-1$；
（2）方程有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问直接利用根的定义代入求解即可，难度较低；第二问考查根的判别式的应用，计算时需注意完全平方公式展开和合并同类项的准确性，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.（宿迁中考）规定：对于任意实数$a$、$b$、$c$，有$[a, b]★c = ac + b$，其中等式右边是通常的乘法和加法运算。例如，$[2, 3]★1 = 2×1 + 3 =5$。若关于$x$的方程$[x, x+1]★(mx)=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围为
【 】
A.$m ＜ \frac{1}{4}$
B.$m ＞ \frac{1}{4}$
C.$m ＞ \frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$
【 】
A.$m ＜ \frac{1}{4}$
B.$m ＞ \frac{1}{4}$
C.$m ＞ \frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$
答案
D
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的新定义运算规则，把含新运算的方程转化为我们熟悉的整式方程；其次题目提到方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，需要先满足二次项系数不为0的前提，再结合一元二次方程根的判别式Δ＞0列不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算$[a, b]★c = ac + b$，将$[x, x+1]★(mx)=0$展开整理：
$\begin{aligned}x· mx + (x+1) &= 0 \\mx^2 + x + 1 &= 0\end{aligned}$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$m ≠ 0$
再根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$\begin{aligned}1^2 - 4× m × 1 &＞ 0 \\1 - 4m &＞ 0 \\m &＜ \frac{1}{4}\end{aligned}$
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m ≠ 0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的性质结合考查，解题的核心是正确将新运算转化为常规方程，易错点是容易忽略“方程有两个不等实根”的前提是方程为一元二次方程，遗漏二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.6
首先要读懂题目给出的新定义运算规则，把含新运算的方程转化为我们熟悉的整式方程；其次题目提到方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，需要先满足二次项系数不为0的前提，再结合一元二次方程根的判别式Δ＞0列不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算$[a, b]★c = ac + b$，将$[x, x+1]★(mx)=0$展开整理：
$\begin{aligned}x· mx + (x+1) &= 0 \\mx^2 + x + 1 &= 0\end{aligned}$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$m ≠ 0$
再根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$\begin{aligned}1^2 - 4× m × 1 &＞ 0 \\1 - 4m &＞ 0 \\m &＜ \frac{1}{4}\end{aligned}$
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m ≠ 0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的性质结合考查，解题的核心是正确将新运算转化为常规方程，易错点是容易忽略“方程有两个不等实根”的前提是方程为一元二次方程，遗漏二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.6
10. 关于$x$的方程$mx^2 - 4x + 4 = 0$有实数根，则$m$的取值范围为 【 】
A.$m ≤ 1$
B.$m ≥ 1$
C.$m ≠ 0$
D.$m ≤ 1$且$m ≠ 0$
A.$m ≤ 1$
B.$m ≥ 1$
C.$m ≠ 0$
D.$m ≤ 1$且$m ≠ 0$
答案
A
解析
【分析】
本题未明确说明方程是一元二次方程，因此需对二次项系数m分类讨论求解：首先考虑m=0的情况，此时方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；再考虑m≠0的情况，此时方程为一元二次方程，根据方程有实根可得判别式Δ≥0，计算该情况下m的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到m的总取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ m=0 $时，原方程化为一元一次方程：$ -4x + 4 = 0 $，解得$ x=1 $，存在实数根，符合题意，故$ m=0 $成立；
2. 当$ m≠0 $时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$ Δ = b^2 - 4ac ≥ 0 $。
其中$ a=m $，$ b=-4 $，$ c=4 $，代入得：
$ Δ = (-4)^2 - 4×m×4 = 16 - 16m ≥ 0 $
解不等式得：$ m ≤ 1 $，结合前提$ m≠0 $，此时$ m $的取值范围是$ m ≤ 1 $且$ m≠0 $。
综合以上两种情况，$ m $的取值范围为$ m ≤ 1 $，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式应用；一元一次方程定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易默认方程为一元二次方程，忽略$ m=0 $的情况，从而错误选择D选项。解题时要注意，若题目未明确说明是二次方程，需分一次方程和二次方程两种情况讨论，保证考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.6
本题未明确说明方程是一元二次方程，因此需对二次项系数m分类讨论求解：首先考虑m=0的情况，此时方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；再考虑m≠0的情况，此时方程为一元二次方程，根据方程有实根可得判别式Δ≥0，计算该情况下m的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到m的总取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ m=0 $时，原方程化为一元一次方程：$ -4x + 4 = 0 $，解得$ x=1 $，存在实数根，符合题意，故$ m=0 $成立；
2. 当$ m≠0 $时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$ Δ = b^2 - 4ac ≥ 0 $。
其中$ a=m $，$ b=-4 $，$ c=4 $，代入得：
$ Δ = (-4)^2 - 4×m×4 = 16 - 16m ≥ 0 $
解不等式得：$ m ≤ 1 $，结合前提$ m≠0 $，此时$ m $的取值范围是$ m ≤ 1 $且$ m≠0 $。
综合以上两种情况，$ m $的取值范围为$ m ≤ 1 $，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式应用；一元一次方程定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易默认方程为一元二次方程，忽略$ m=0 $的情况，从而错误选择D选项。解题时要注意，若题目未明确说明是二次方程，需分一次方程和二次方程两种情况讨论，保证考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.6
11.(广元中考)若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则$a=$
-1
.答案
11. -1
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个知识点思考：①首先一元二次方程要求二次项系数不为0，先得到a的第一个限制条件；②方程有两个相等的实数根，说明判别式Δ=0，代入对应系数列方程求解，最后结合前面的限制条件舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$
化简计算：
$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合$a≠1$的限制，舍去$a=1$，故$a=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，直接根据判别式解出a的值后未排除不符合要求的解，解题时要注意先确定方程的类型，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个知识点思考：①首先一元二次方程要求二次项系数不为0，先得到a的第一个限制条件；②方程有两个相等的实数根，说明判别式Δ=0，代入对应系数列方程求解，最后结合前面的限制条件舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$
化简计算：
$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合$a≠1$的限制，舍去$a=1$，故$a=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，直接根据判别式解出a的值后未排除不符合要求的解，解题时要注意先确定方程的类型，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.6
12. (禹州期末)设关于$x$的一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$. 现有如下两组条件:①$b=-2$，$c=-4$；②$b=2$，$c=4$. 请从这两组条件中选择其中一组$b$、$c$的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
答案
∵方程$2x^2 +bx +c=0$有两个不相等的实数根，
∴$b^2-4ac＞0$，即$b^2＞8c$.
∵选择①时，$b^2=(-2)^2=4$，$8c=8×(-4)=-32$，$4＞-32$，符合题意；选择②时，$b^2=2^2=4$，$8c=8×4=32$，$4＜32$，不符合题意，
∴选择条件①.此时方程为$2x^2-2x-4=0$.整理，得$x^2-x-2=0$.解得$x_1=2$，$x_2=-1$
解析
【分析】
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0。解题思路如下：第一步先写出本题中一元二次方程的判别式Δ的表达式；第二步分别代入两组b、c的值计算Δ，判断哪组满足Δ＞0的条件；第三步将符合条件的b、c代入原方程，再求解一元二次方程即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$，其中$a=2$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×2× c = b^2 - 8c$。
若方程有两个不相等的实数根，则$\Delta＞0$，即$b^2＞8c$。
分别验证两组条件：
选择条件①$b=-2$，$c=-4$时：$b^2=(-2)^2=4$，$8c=8×(-4)=-32$，显然$4＞-32$，满足$b^2＞8c$，符合要求；
选择条件②$b=2$，$c=4$时：$b^2=2^2=4$，$8c=8×4=32$，$4＜32$，不满足$b^2＞8c$，不符合要求。
因此选择条件①，此时原方程为$2x^2 - 2x - 4 = 0$。
整理方程：两边同时除以2得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
选择条件①，方程的解为$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用与一元二次方程的求解，解题关键是牢记判别式与方程根的个数的对应关系，先筛选出符合要求的参数再解方程。
【难度系数】
0.8
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0。解题思路如下：第一步先写出本题中一元二次方程的判别式Δ的表达式；第二步分别代入两组b、c的值计算Δ，判断哪组满足Δ＞0的条件；第三步将符合条件的b、c代入原方程，再求解一元二次方程即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$，其中$a=2$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×2× c = b^2 - 8c$。
若方程有两个不相等的实数根，则$\Delta＞0$，即$b^2＞8c$。
分别验证两组条件：
选择条件①$b=-2$，$c=-4$时：$b^2=(-2)^2=4$，$8c=8×(-4)=-32$，显然$4＞-32$，满足$b^2＞8c$，符合要求；
选择条件②$b=2$，$c=4$时：$b^2=2^2=4$，$8c=8×4=32$，$4＜32$，不满足$b^2＞8c$，不符合要求。
因此选择条件①，此时原方程为$2x^2 - 2x - 4 = 0$。
整理方程：两边同时除以2得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
选择条件①，方程的解为$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用与一元二次方程的求解，解题关键是牢记判别式与方程根的个数的对应关系，先筛选出符合要求的参数再解方程。
【难度系数】
0.8
