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13. 关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$中$a$、$b$、$c$分别是$△ ABC$的三边.
(1) 若$x = -1$是该一元二次方程的一个根,试判断$△ ABC$的形状;
(2) 若该一元二次方程有两个相等的实数根,试判断$△ ABC$的形状;
(3) 若$△ ABC$是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根.
(1) 若$x = -1$是该一元二次方程的一个根,试判断$△ ABC$的形状;
(2) 若该一元二次方程有两个相等的实数根,试判断$△ ABC$的形状;
(3) 若$△ ABC$是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根.
答案
（1）$△ABC$是等腰三角形.理由如下:把$x=-1$代入方程,得$a+c-2b+a-c=0$.
∴$a=b$.
∴$△ABC$是等腰三角形 （2）$△ABC$是直角三角形.理由如下:根据题意,得$Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$,即$b^2+c^2=a^2$.
∴$△ABC$是直角三角形 （3）
∵$△ABC$是等边三角形,
∴$a=b=c$.
∴方程可化为$2x^2+2x=0$.解得$x_1=0$，$x_2=-1$
∴$a=b$.
∴$△ABC$是等腰三角形 （2）$△ABC$是直角三角形.理由如下:根据题意,得$Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$,即$b^2+c^2=a^2$.
∴$△ABC$是直角三角形 （3）
∵$△ABC$是等边三角形,
∴$a=b=c$.
∴方程可化为$2x^2+2x=0$.解得$x_1=0$，$x_2=-1$
解析
【分析】
本题是一元二次方程与三角形性质结合的综合题，解题思路如下：
(1) 已知$x=-1$是方程的根，根据“方程的根满足方程”的性质，将$x=-1$代入原方程，化简得到三边的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$，代入对应系数计算化简得到三边关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
(3) 已知$△ ABC$是等边三角形，可得三边相等$a=b=c$，将其代入原方程转化为普通一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入原方程，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$
合并同类项得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because$ 方程是一元二次方程且有两个相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = (2b)^2 - 4(a+c)(a - c) = 0$
展开计算：$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$
两边同时除以4得：$b^2 - a^2 + c^2 = 0$，整理得$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理逆定理，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a = b = c$，且$a＞0$
将$b=a$、$c=a$代入原方程，得：
$(a + a)x^2 + 2a x + (a - a) = 0$
化简得：$2a x^2 + 2a x = 0$
$\because a＞0$，两边同时除以$2a$得：$x^2 + x = 0$
因式分解得：$x(x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -1$
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $△ ABC$是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，同时考查一元二次方程的性质和三角形形状的判定，解题的关键是根据题干条件匹配对应的知识点推导计算，能够锻炼学生跨模块知识点的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程与三角形性质结合的综合题，解题思路如下：
(1) 已知$x=-1$是方程的根，根据“方程的根满足方程”的性质，将$x=-1$代入原方程，化简得到三边的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$，代入对应系数计算化简得到三边关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
(3) 已知$△ ABC$是等边三角形，可得三边相等$a=b=c$，将其代入原方程转化为普通一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入原方程，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$
合并同类项得：$2a - 2b = 0$，即$a = b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because$ 方程是一元二次方程且有两个相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = (2b)^2 - 4(a+c)(a - c) = 0$
展开计算：$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$
两边同时除以4得：$b^2 - a^2 + c^2 = 0$，整理得$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理逆定理，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a = b = c$，且$a＞0$
将$b=a$、$c=a$代入原方程，得：
$(a + a)x^2 + 2a x + (a - a) = 0$
化简得：$2a x^2 + 2a x = 0$
$\because a＞0$，两边同时除以$2a$得：$x^2 + x = 0$
因式分解得：$x(x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -1$
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $△ ABC$是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，同时考查一元二次方程的性质和三角形形状的判定，解题的关键是根据题干条件匹配对应的知识点推导计算，能够锻炼学生跨模块知识点的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (k + 2)x + 2k = 0 $.
（1）求证：无论 $ k $ 取何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a = 3 $，另两边 $ b $、$ c $ 恰好是这个方程的两个根，求 $ △ ABC $ 的周长.
（1）求证：无论 $ k $ 取何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a = 3 $，另两边 $ b $、$ c $ 恰好是这个方程的两个根，求 $ △ ABC $ 的周长.
答案
14. （1）$Δ=[-(k+2)]^2-4×1×2k=(k-2)^2$.
∵无论$k$取何实数，$(k-2)^2≥0$，即$Δ≥0$，
∴无论$k$取何实数，方程总有实数根 （2）① 当$b=c$时，$Δ=0$，即$(k-2)^2=0$.解得$k=2$.方程可化为$x^2-4x+4=0$.
∴$x_1=x_2=2$.即$b=c=2$.
∴$△ABC$的周长$=a+b+c=3+2+2=7$. ② 当$b=a=3$时，
∵$x^2-(k+2)x+2k=0$，
∴$(x-2)(x-k)=0$.
∴$x=2$或$x=k$.
∵另两边$b$、$c$恰好是这个方程的两个根，
∴$k=b=a=3$.
∴$c=2$.
∴$△ABC$的周长$=a+b+c=3+3+2=8$. 综上，$△ABC$的周长为7或8
∵无论$k$取何实数，$(k-2)^2≥0$，即$Δ≥0$，
∴无论$k$取何实数，方程总有实数根 （2）① 当$b=c$时，$Δ=0$，即$(k-2)^2=0$.解得$k=2$.方程可化为$x^2-4x+4=0$.
∴$x_1=x_2=2$.即$b=c=2$.
∴$△ABC$的周长$=a+b+c=3+2+2=7$. ② 当$b=a=3$时，
∵$x^2-(k+2)x+2k=0$，
∴$(x-2)(x-k)=0$.
∴$x=2$或$x=k$.
∵另两边$b$、$c$恰好是这个方程的两个根，
∴$k=b=a=3$.
∴$c=2$.
∴$△ABC$的周长$=a+b+c=3+3+2=8$. 综上，$△ABC$的周长为7或8
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论k取何值都有实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，证明$\Delta≥0$恒成立即可。（2）结合等腰三角形的性质解题，需分两类讨论：①若边长为3的边是底边，则另两边$b=c$，对应方程有两个相等的实根，即$\Delta=0$，求出k后得到边长，再计算周长；②若边长为3的边是腰，则$x=3$是方程的一个根，代入方程求出k后得到另一个根，验证三边符合三角形三边关系后计算周长。
【解析】
（1）证明：对于方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k$
$=k^2+4k+4-8k$
$=k^2-4k+4$
$=(k-2)^2$
∵无论k取任意实数，$(k-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴无论k取何实数，方程总有实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
① 当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，
∴$(k-2)^2=0$，解得$k=2$，
代入原方程得$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$，
此时三边长为3、2、2，满足三角形三边关系，周长为$3+2+2=7$；
② 当边长为3的边为腰时，即$x=3$是方程的一个根，
原方程因式分解得$(x-2)(x-k)=0$，解得$x=2$或$x=k$，
∴$k=3$，方程另一根为2，即第三边长为2，
此时三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，周长为$3+3+2=8$。
综上，$△ ABC$的周长为7或8。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{7}$或$\boxed{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的常考题型，重点考查分类讨论思想，解题时注意要对等腰三角形的边长情况分类讨论，最后验证三边是否符合构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.65
（1）要证明一元二次方程无论k取何值都有实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，证明$\Delta≥0$恒成立即可。（2）结合等腰三角形的性质解题，需分两类讨论：①若边长为3的边是底边，则另两边$b=c$，对应方程有两个相等的实根，即$\Delta=0$，求出k后得到边长，再计算周长；②若边长为3的边是腰，则$x=3$是方程的一个根，代入方程求出k后得到另一个根，验证三边符合三角形三边关系后计算周长。
【解析】
（1）证明：对于方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k$
$=k^2+4k+4-8k$
$=k^2-4k+4$
$=(k-2)^2$
∵无论k取任意实数，$(k-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴无论k取何实数，方程总有实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
① 当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，
∴$(k-2)^2=0$，解得$k=2$，
代入原方程得$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$，
此时三边长为3、2、2，满足三角形三边关系，周长为$3+2+2=7$；
② 当边长为3的边为腰时，即$x=3$是方程的一个根，
原方程因式分解得$(x-2)(x-k)=0$，解得$x=2$或$x=k$，
∴$k=3$，方程另一根为2，即第三边长为2，
此时三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，周长为$3+3+2=8$。
综上，$△ ABC$的周长为7或8。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{7}$或$\boxed{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的常考题型，重点考查分类讨论思想，解题时注意要对等腰三角形的边长情况分类讨论，最后验证三边是否符合构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.65
